The Fundamental Theorem of Calculus and Accumulation Functions · El Teorema Fundamental del Cálculo y las Funciones de Acumulación
| English | Español |
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| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | Teorema Fundamental del Cálculo |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | función de acumulación |
The bridge between area and slope
- Differentiation (slopes) and integration (areas) look unrelated — but they are inverses.
- The Fundamental Theorem of Calculus 微积分基本定理 (FTC) is that stunning connection.
- Its first part is about a function defined by an integral, called an accumulation function 累积函数.
- Take its derivative and — magically — you get the integrand back.
El puente entre área y pendiente
- La diferenciación (pendientes) y la integración (áreas) parecen no tener relación — pero son inversas.
- El Teorema Fundamental del Cálculo 微积分基本定理 (TFC) es esa conexión asombrosa.
- Su primera parte trata sobre una función definida por una integral, llamada función acumuladora 累积函数.
- Si tomas su derivada y — mágicamente — obtienes de nuevo el integrando.
The accumulation function
- Fix a lower limit $a$ and let the upper limit vary: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ is the accumulated (signed) area under $f$ from $a$ up to $x$.
- As $x$ moves right, $g$ collects more area; the variable of integration $t$ is just a placeholder.
- $g$ is a genuine function of $x$ — you can graph it, differentiate it, and analyze it.
La función acumuladora
- Fija un límite inferior $a$ y deja que el límite superior varíe: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ es el área acumulada (con signo) bajo $f$ desde $a$ hasta $x$.
- A medida que $x$ se mueve hacia la derecha, $g$ acumula más área; la variable de integración $t$ es simplemente un marcador de posición.
- $g$ es una función genuina de $x$ — puedes graficarla, derivarla y analizarla.
Area accumulating up to x · Área acumulada hasta x
y = t² + 1 (integrand) · y = t² + 1 (integrando)
As the upper limit slides right, $g(x)$ collects more area; its instantaneous growth rate is exactly $f(x)$. · A medida que el límite superior se desliza hacia la derecha, $g(x)$ acumula más área; su tasa de crecimiento instantáneo es exactamente $f(x)$.
A function of the form $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ is called an ____ function. · Una función de la forma $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ se llama una función de ____.
It accumulates signed area up to $x$. · Acumula área signada hasta $x$.
In $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, the variable $t$ is... · En $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, la variable $t$ es...
$t$ is a dummy variable; $x$ is the actual input of $g$. · $t$ es una variable dummy; $x$ es la entrada real de $g$.
FTC Part 1: the derivative undoes the integral
- The first part of the FTC says:
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$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- In words: the derivative of the accumulation function is the integrand itself.
- Rate of area accumulation at $x$ = the height $f(x)$ there. Beautifully simple.
TFC Parte 1: la derivada deshace la integral
- La primera parte del TFC dice:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- En palabras: la derivada de la función acumuladora es el propio integrando.
- La tasa de acumulación de área en $x$ = la altura $f(x)$ en ese punto. Hermosamente simple.
By FTC Part 1, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$ · Por la Parte 1 del TFC, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
The derivative of the accumulation function is the integrand $f(x)$. · La derivada de la función de acumulación es el integrando $f(x)$.
For · A favor $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, find $g'(3)$. · Para $g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$, encuentre $g'(3)$.
$g'(x)=x^2+1$, so $g'(3)=10$. · $g'(x)=x^2+1$, por lo tanto $g'(3)=10$.
With a chain-rule twist
- If the upper limit is a function $u(x)$, the chain rule kicks in:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Plug the upper limit into $f$, then multiply by the derivative of that upper limit.
- (A variable lower limit flips the sign, since swapping limits negates the integral.)
Con un giro de la regla de la cadena
- Si el límite superior es una función $u(x)$, entra en juego la regla de la cadena:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- Sustituye el límite superior en $f$, luego multiplica por la derivada de ese límite superior.
- (Un límite inferior variable invierte el signo, ya que intercambiar los límites cambia el signo de la integral.)
For · A favor $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, the answer is... · Para $\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$, la respuesta es...
Chain rule: plug in the upper limit, times its derivative $2x$. · Regla de la cadena: sustituya el límite superior, multiplicado por su derivada $2x$.
When the upper limit is $u(x)$, you multiply the integrand-at-$u$ by $u'(x)$. · Cuando el límite superior es $u(x)$, se multiplica el integrando evaluado en $u$ por $u'(x)$.
That chain-rule factor is required. · Ese factor de regla de la cadena es necesario.
FTC Part 1 gives $g'(x)=f(x)$ only when $x$ is the plain upper limit. If the upper limit is $u(x)$ (like $x^2$), you must multiply by $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Forgetting that chain-rule factor is the classic mistake.
El TFC Parte 1 da $g'(x)=f(x)$ solo cuando $x$ es el límite superior simple. Si el límite superior es $u(x)$ (como $x^2$), debes multiplicar por $u'(x)$: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. Olvidar ese factor de la regla de la cadena es el error clásico.
Let $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Find $g'(x)$ and $g'(3)$.
- By FTC Part 1: $g'(x)=x^2+1$ (just the integrand with $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (No need to compute the integral itself — the derivative reads it straight off.)
Sea $g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$. Encuentra $g'(x)$ y $g'(3)$.
- Por el TFC Parte 1: $g'(x)=x^2+1$ (simplemente el integrando con $t\to x$).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (No es necesario calcular la integral en sí — la derivada la lee directamente).
An accumulation function $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ collects signed area up to $x$. FTC Part 1: $g'(x)=f(x)$ — differentiating an accumulation function returns the integrand. If the upper limit is $u(x)$, multiply by $u'(x)$ (chain rule).
Una función acumuladora $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ acumula área con signo hasta $x$. TFC Parte 1: $g'(x)=f(x)$ — derivar una función acumuladora devuelve el integrando. Si el límite superior es $u(x)$, multiplica por $u'(x)$ (regla de la cadena).