Determining Limits Using the Squeeze Theorem · Determinar límites usando el Teorema del Sándwich
| English | Español |
|---|---|
| Squeeze Theorem/skwiːz ˈθɪərəm/ | Teorema del emparedado |
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | la desigualdad |
Trap a wild function between two tame ones
- Some limits resist substitution and algebra — like $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, which wiggles infinitely fast.
- The escape: trap the messy function between two friendlier ones.
- If the upper and lower "walls" both head to the same height, the trapped function has nowhere else to go.
- This is the Squeeze Theorem 夹逼定理 (also called the Sandwich Theorem).
Encerrar una función salvaje entre dos tranquilas
- Algunos límites resisten la sustitución y el álgebra — como $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$, que oscila infinitamente rápido.
- La solución: encerrar la función complicada entre dos más amigables.
- Si tanto la "pared" superior como la inferior tienden a la misma altura, la función encerrada no tiene adónde ir más.
- Este es el Teorema del Sándwich 夹逼定理 (también llamado Teorema de Apretón).
Trapping a function between two others with equal limits uses the ____ Theorem. · Atrapar una función entre otras dos con límites iguales usa el Teorema de ____.
Also called the Sandwich Theorem. · También llamado Teorema del Sándwich (Sandwich Theorem).
What the theorem says
- Suppose near $c$ (except maybe at $c$ itself) we have $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- If $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, then $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ too.
- The two bounds squeeze $f$ onto the single value $L$.
- You need two things: a valid inequality 不等式 near $c$, and equal limits for the bounds.
Lo que dice el teorema
- Supongamos que cerca de $c$ (excepto quizás en $c$ mismo) se cumple $g(x)\le f(x)\le h(x)$.
- Si $\displaystyle\lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L$, entonces $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x)=L$ también.
- Los dos límites aprietan a $f$ hacia un único valor $L$.
- Necesitas dos cosas: una desigualdad válida 不等式 cerca de $c$, y límites iguales para los acotadores.
To apply the Squeeze Theorem to $f$ near $c$, you need all · todos of... · Para aplicar el Teorema del Sándwich a $f$ cerca de $c$, necesitas todo lo siguiente...
You need two-sided bounds with equal limits, valid near $c$. $f$ need not be a polynomial — that is the whole point. · Necesitas cotas por ambos lados con límites iguales, válidas cerca de $c$. $f$ no necesita ser un polinomio — ese es todo el punto.
The classic wiggle
- $\sin\tfrac1x$ swings between $-1$ and $1$ forever as $x\to0$ — no limit on its own.
- But multiply by $x^2$: since $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, we get $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Both walls $\pm x^2 \to 0$ as $x\to0$.
- Squeezed between them, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
La oscilación clásica
- $\sin\tfrac1x$ oscila entre $-1$ y $1$ eternamente cuando $x\to0$ — sin límite por sí solo.
- Pero al multiplicar por $x^2$: como $-1\le\sin\tfrac1x\le1$, obtenemos $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$.
- Ambas paredes $\pm x^2 \to 0$ cuando $x\to0$.
- Apretada entre ellas, $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x=0$.
The squeezing wall $y=x^2$ · La pared de compresión $y=x^2$
y = ax²
The parabola $y=x^2$ and its mirror $-x^2$ both pinch to $0$ at the origin — anything trapped between them is forced to $0$. · La parábola $y=x^2$ y su espejo $-x^2$ se comprimen hacia $0$ en el origen — cualquier cosa atrapada entre ellas se ve forzada a $0$.
Using $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, find $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$. · Usando $-x^2\le x^2\sin\tfrac1x\le x^2$, encuentra $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\sin\tfrac1x$.
Both walls $\pm x^2\to 0$, so the trapped function $\to 0$. · Ambas paredes $\pm x^2\to 0$, por lo que la función atrapada $\to 0$.
Checking the setup honestly
- The inequality only has to hold near $c$, not everywhere — a small interval around $c$ is enough.
- The bounds' limits must be equal; if the walls head to different heights, the theorem says nothing.
- Squeeze is the standard route to the famous $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, from the geometric bounds $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Always name your two bounding functions explicitly — that is the heart of the argument.
Verificar el planteamiento con honestidad
- La desigualdad solo debe cumplirse cerca de $c$, no en todas partes; un pequeño intervalo alrededor de $c$ es suficiente.
- Los límites de los acotadores deben ser iguales; si las paredes tienden a distintas alturas, el teorema no aplica.
- El apretón es la ruta estándar para el famoso $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$, usando los límites geométricos $\cos x \le \frac{\sin x}{x}\le 1$.
- Nombra siempre explícitamente tus dos funciones acotadoras — esa es la esencia del argumento.
Bounding $f$ from above only, with $f(x)\le h(x)$, is enough to apply the Squeeze Theorem. · Acotar $f$ solo por arriba, con $f(x)\le h(x)$, es suficiente para aplicar el Teorema del Sándwich.
You need bounds on both · ambas sides with equal limits — one bound proves nothing. · Necesitas cotas en ambos lados con límites iguales; una sola cota no demuestra nada.
The Squeeze Theorem, with $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, gives $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$ · El Teorema del Sándwich, con $\cos x\le\tfrac{\sin x}{x}\le 1$, da $\displaystyle\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=$
As $x\to0$, $\cos x\to1$ and the upper bound is $1$, so the middle is squeezed to $1$. · A medida que $x\to0$, $\cos x\to1$ y la cota superior es $1$, por lo que el término central se comprime hacia $1$.
If the lower bound heads to $2$ and the upper bound heads to $5$, the Squeeze Theorem tells you the trapped limit is... · Si la cota inferior tiende a $2$ y la cota superior tiende a $5$, el Teorema del Sándwich te dice que el límite atrapado es...
The bounds must have equal · iguales limits; unequal walls give no conclusion. · Las cotas deben tener límites iguales; paredes desiguales no dan ninguna conclusión.
The Squeeze Theorem needs the bounds to squeeze from both sides with equal limits. If you only bound $f$ from above ($f\le h$), or the two bounds head to different values, you have proved nothing. And the inequality must genuinely hold near $c$ — check it, don't assume it.
El Teorema del Sándwich requiere que los acotadores aprieten desde ambos lados con límites iguales. Si solo acotas $f$ por arriba ($f\le h$), o si los dos acotadores tienden a valores distintos, no has demostrado nada. Y la desigualdad debe cumplirse genuinamente cerca de $c$ — verifica, no asumas.
Show $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- For all $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiply by $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ and $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- By the Squeeze Theorem, the middle limit is also $0$.
Muestra que $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2\cos\tfrac1x=0$.
- Para todo $x\neq0$: $-1\le\cos\tfrac1x\le1$.
- Multiplica por $x^2\ (\ge0)$: $-x^2\le x^2\cos\tfrac1x\le x^2$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}(-x^2)=0$ y $\displaystyle\lim_{x\to0}x^2=0$.
- Por el Teorema del Sándwich, el límite del medio también es $0$.
The Squeeze Theorem: if $g\le f\le h$ near $c$ and $\lim g=\lim h=L$, then $\lim f=L$. Use it when a function oscillates or otherwise resists direct methods — bound it above and below by functions with equal limits, verify the inequality near $c$, and $f$ is trapped onto $L$.
El Teorema del Sándwich: si $g\le f\le h$ cerca de $c$ y $\lim g=\lim h=L$, entonces $\lim f=L$. Úsalo cuando una función oscila u otra cosa resista métodos directos — acótala por arriba y por abajo con funciones que tengan límites iguales, verifica la desigualdad cerca de $c$, y $f$ quedará atrapada sobre $L$.