Energy stored in a capacitor · Energía almacenada en un condensador
| English | Español |
|---|---|
| energy stored/ˈenədʒi stɔːd/ | energía almacenada |
| defibrillator/dɪˈfɪbrɪleɪtə/ | desfibrilador |
Half the energy never reaches the capacitor
- Connect an ideal battery of e.m.f. $V$ to a capacitor through a wire. The battery pushes charge $Q = CV$ through a p.d. of $V$, so it gives out $QV$ of energy.
- The capacitor ends up holding $\tfrac12 QV$. Exactly half the energy has gone, as heat in the wire, and it makes no difference how good the wire is.
- The missing half is not an inefficiency to be engineered away. It is a consequence of the fact that the p.d. across the capacitor starts at zero and only reaches $V$ at the end.
- This lesson is the energy stored 储存的能量, where the factor of a half comes from, and what happens when charge is shared.
La mitad de la energía nunca llega al condensador
- Conecte una batería ideal de f.e.m. $V$ a un condensador mediante un cable. La batería empuja una carga $Q = CV$ a través de una d.p. de $V$, por lo que entrega una energía de $QV$.
- El condensador termina almacenando $\tfrac12 QV$. Exactamente la mitad de la energía se ha perdido como calor en el cable, y no importa qué tan bueno sea el cable.
- La mitad faltante no es una ineficiencia que deba eliminarse mediante ingeniería. Es una consecuencia del hecho de que la d.p. a través del condensador comienza en cero y solo alcanza $V$ al final.
- Esta lección trata sobre la energía almacenada (储存的能量), de dónde proviene el factor de la mitad y qué sucede cuando se comparte la carga.
The three forms
- Charging a capacitor takes work, because each extra bit of charge must be pushed against the p.d. that is already there. Adding up all those bits gives:
- All three are the same expression with $Q = CV$ substituted differently. Choose the one that uses the two quantities the question gives you, and no rearranging is needed.
Las tres formas
- Cargar un condensador requiere trabajo, porque cada fracción adicional de carga debe empujarse contra la d.p. que ya existe. Sumar todas esas fracciones da:
- Las tres son la misma expresión con $Q = CV$ sustituida de manera diferente. Elija la que utilice las dos cantidades que le da la pregunta, y no será necesario reordenarla.
The energy stored in a capacitor is: · La energía almacenada en un condensador es:
Equivalent forms: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$. · Formas equivalentes: $W = \tfrac{1}{2}QV = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \dfrac{Q^{2}}{2C}$.
A $2.0\ \mu\text{F}$ capacitor is charged to $1000\ \text{V}$. How much energy does it store? · Un condensador de $2.0\ \mu\text{F}$ se carga hasta $1000\ \text{V}$. ¿Cuánta energía almacena?
$W = \tfrac{1}{2}CV^{2} = \tfrac{1}{2} \times 2.0 \times 10^{-6} \times (1000)^{2} = 1.0\ \text{J}$.
The area under the graph
- A graph of $V$ against $Q$ for a capacitor is a straight line through the origin, of gradient $1/C$.
- The energy stored is the area under that line up to the charge $Q$, which is a triangle of area $\tfrac12 QV$.
- That is where the half comes from: the p.d. grows from zero to $V$ as the capacitor charges, so the average p.d. during charging is $V/2$, not $V$.
A triangle, not a rectangle, and that is the whole reason for the half
El área bajo la gráfica
- Una gráfica de $V$ frente a $Q$ para un condensador es una línea recta que pasa por el origen, con pendiente $1/C$.
- La energía almacenada es el área bajo esa línea hasta la carga $Q$, lo cual es un triángulo de área $\tfrac12 QV$.
- De ahí viene la mitad: la d.p. crece desde cero hasta $V$ mientras se carga el condensador, por lo que la d.p. promedio durante la carga es $V/2$, no $V$.
Un triángulo, no un rectángulo, y esa es toda la razón para tener la mitad
Energy in a capacitor · Energía en un condensador
E = ½C·V²
Stored energy grows with the square of the voltage. · La energía almacenada crece con el cuadrado del voltaje.
Why is there a factor of ½ in the stored-energy formula? · ¿Por qué hay un factor de ½ en la fórmula de la energía almacenada?
The p.d. rises from 0 to V as it charges, so the average is V/2 — hence the triangle area $\tfrac{1}{2}QV$. · La d.d.p. aumenta de 0 a V durante la carga, por lo que el promedio es V/2 — de ahí el área del triángulo $\tfrac{1}{2}QV$.
The energy stored equals the ____ under the V–Q graph. · La energía almacenada es igual a la ____ bajo la gráfica V–Q.
The triangle under the line has area $\tfrac{1}{2}QV$ — the stored energy. · El triángulo bajo la línea tiene área $\tfrac{1}{2}QV$ — la energía almacenada.
Worked example: energy from a graph
- A graph of $Q$ against $V$ is a straight line through the origin passing through $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Find the capacitance, the energy at $10\ \text{V}$, and the extra energy needed to reach $12\ \text{V}$.
- The gradient of $Q$ against $V$ is the capacitance: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- Energy at $10\ \text{V}$: the area, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- At $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, so the extra energy is $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Note that a 20% rise in voltage costs a 44% rise in energy, because $W \propto V^2$.
Ejemplo resuelto: energía de una gráfica
- Una gráfica de $Q$ frente a $V$ es una línea recta que pasa por el origen y pasa por $(10\ \text{V},\ 1.2 \times 10^{-3}\ \text{C})$. Calcule la capacitancia, la energía a $10\ \text{V}$ y la energía adicional necesaria para llegar a $12\ \text{V}$.
- La pendiente de $Q$ frente a $V$ es la capacitancia: $C = 1.2 \times 10^{-3}/10 = 1.2 \times 10^{-4}\ \text{F} = 120\ \mu\text{F}$.
- Energía a $10\ \text{V}$: el área, $\tfrac12 QV = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-3})(10) = 6.0 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- A $12\ \text{V}$: $\tfrac12 CV^2 = \tfrac12 (1.2 \times 10^{-4})(144) = 8.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$, por lo que la energía adicional es $2.6 \times 10^{-3}\ \text{J}$.
- Note que un aumento del 20% en el voltaje implica un aumento del 44% en la energía, porque $W \propto V^2$.
A graph of charge against p.d. for a capacitor is a straight line through the origin. What does its gradient give? · Una gráfica de carga frente a d.d.p. para un condensador es una línea recta que pasa por el origen. ¿Qué proporciona su pendiente?
Q against V has gradient C, and the energy is the area under the V against Q line. Do not confuse the gradient with the area. · Q frente a V tiene una pendiente C, y la energía es el área bajo la línea de V frente a Q. No confunda la pendiente con el área.
Energy goes as the square
- Because $W = \tfrac12 CV^2$, doubling the p.d. quadruples the energy for the same capacitor.
- That is why a camera flash or a defibrillator 除颤器 charges its capacitor to hundreds or thousands of volts rather than using a larger capacitor at a low voltage: voltage is the cheaper way to buy energy.
- It is also why the same capacitor at half the voltage stores only a quarter of the energy, which is worth checking your answers against.
La energía varía con el cuadrado
- Dado que $W = \tfrac12 CV^2$, duplicar la d.p. cuadruplica la energía para el mismo condensador.
- Por eso un flash de cámara o un desfibrilador (除颤器) carga su condensador a cientos o miles de voltios en lugar de usar un condensador más grande a bajo voltaje: el voltaje es la forma más económica de adquirir energía.
- También explica por qué el mismo condensador a la mitad del voltaje almacena solo una cuarta parte de la energía, lo cual sirve para verificar sus respuestas.
Charging a capacitor through a wire wastes about half the supplied energy as heat. · Cargar un condensador a través de un cable desperdicia aproximadamente la mitad de la energía suministrada como calor.
The battery gives out $QV$ but the capacitor stores only $\tfrac{1}{2}QV$; the rest heats the wire, whatever its resistance. · La batería entrega $QV$, pero el condensador almacena solo $\tfrac{1}{2}QV$; el resto calienta el cable, sin importar su resistencia.
A 120 uF capacitor is charged to 12 V. What is the energy stored, in mJ? · Un condensador de 120 uF se carga hasta 12 V. ¿Cuál es la energía almacenada, en mJ?
W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. At 10 V it would store only 6.0 mJ, because energy goes as the square of the voltage. · W = C V^2 / 2 = 1.2e-4 x 144 / 2 = 8.6e-3 J. A 10 V solo almacenas 6.0 mJ, porque la energía depende del cuadrado del voltaje.
Doubling the p.d. across a capacitor doubles the energy it stores. · Duplicar la d.d.p. en un condensador duplica la energía que almacena.
W is proportional to V squared, so doubling the p.d. gives four times the energy. That is why flash and defibrillator circuits use high voltages. · W es proporcional al cuadrado de V, por lo que duplicar la d.d.p. da cuatro veces la energía. Por eso los circuitos de flash y desfibriladores usan altos voltajes.
Worked example: sharing charge
- A charged capacitor $C$ at p.d. $V$ is disconnected and then connected across an uncharged capacitor of capacitance $3C$. Find the final p.d. and the energy lost.
- Charge is conserved. The total charge is still $Q = CV$, now on a parallel pair of total capacitance $4C$, so the common p.d. is $V' = Q/4C = V/4$.
- Energy is not conserved. Before: $\tfrac12 CV^2$. After: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. Three-quarters of the energy has gone.
- It is dissipated as heat in the connecting wires, and as a spark or radiation, while the charge moves, however small the resistance. Saying where it went is the mark.
Ejemplo resuelto: compartir carga
- Un condensador cargado $C$ a una d.p. $V$ se desconecta y luego se conecta en paralelo con un condensador no cargado de capacitancia $3C$. Calcule la d.p. final y la energía perdida.
- La carga se conserva. La carga total sigue siendo $Q = CV$, ahora sobre un par en paralelo de capacitancia total $4C$, por lo que la d.p. común es $V' = Q/4C = V/4$.
- La energía no se conserva. Antes: $\tfrac12 CV^2$. Después: $\tfrac12 (4C)(V/4)^2 = \tfrac18 CV^2$. Tres cuartas partes de la energía se han perdido.
- Se disipa como calor en los cables de conexión, y como chispa o radiación, mientras se mueve la carga, por pequeña que sea la resistencia. Indicar adónde fue la energía es clave para obtener los puntos.
A charged capacitor is connected across an uncharged one. Put the reasoning in order. · Un condensador cargado se conecta en paralelo con otro descargado. Ordena el razonamiento.
Charge is conserved, energy is not. Naming where the lost energy goes is what the final mark is for. · La carga se conserva, la energía no. Identificar adónde va la energía perdida es lo que otorga la puntuación final.
Energy during a discharge falls twice as fast
- During a discharge the charge and the p.d. both decay as $e^{-t/RC}$, but the energy goes as $V^2$, so it decays as $e^{-2t/RC}$.
- After one time constant the p.d. has fallen to $37\%$ of its start, but the energy has fallen to $e^{-2} = 14\%$.
- After two time constants the p.d. is $14\%$ and the energy only $1.8\%$.
- So the energy has an effective half-life of half that of the charge. A question that gives you a time constant and asks for the remaining energy is testing exactly this factor of two.
- The same square is why a capacitor charged to twice the p.d. stores four times the energy.
La energía durante una descarga cae el doble de rápido
- Durante una descarga, tanto la carga como la d.p. decaen según $e^{-t/RC}$, pero la energía depende de $V^2$, por lo que decae según $e^{-2t/RC}$.
- Tras una constante de tiempo, la d.p. ha descendido al $37\%$ de su valor inicial, pero la energía ha descendido a $e^{-2} = 14\%$.
- Tras dos constantes de tiempo, la d.p. es $14\%$ y la energía solo $1.8\%$.
- Así, la energía tiene una vida media efectiva de la mitad de la de la carga. Una pregunta que le da una constante de tiempo y pide la energía restante está probando exactamente este factor de dos.
- El mismo cuadrado explica por qué un condensador cargado a dos veces la d.p. almacena cuatro veces la energía.
A capacitor discharges for exactly one time constant. What percentage of its stored energy remains? · Un condensador se descarga durante exactamente una constante de tiempo. ¿Qué porcentaje de su energía almacenada permanece?
The p.d. falls to 37%, but energy goes as V squared, so e^-2 = 13.5% remains. Quoting 37% for the energy is the trap this question is built on. · La d.d.p. cae al 37%, pero la energía depende del cuadrado de V, así que e^-2 = 13.5% permanece. Citar el 37% para la energía es la trampa en la que está basada esta pregunta.
Marks that slip away
- The factor of $\tfrac12$ comes from the average p.d. being $V/2$ during charging, or equivalently from the area of a triangle. Say one of those, not "it is in the formula".
- $W \propto V^2$, so doubling the voltage gives four times the energy, not twice.
- In a charge-sharing question, charge is conserved but energy is not. Name where the lost energy goes.
- Half the battery's energy is lost as heat during charging whatever the wire's resistance. It is not a fault in the circuit.
Puntos que se escapan
- El factor de $\tfrac12$ proviene de que la d.p. promedio es $V/2$ durante la carga, o equivalentemente del área de un triángulo. Mencione uno de esos conceptos, no "está en la fórmula".
- $W \propto V^2$, por lo que duplicar el voltaje da cuatro veces la energía, no el doble.
- En una pregunta de compartición de carga, la carga se conserva pero la energía no. Nombre a dónde va la energía perdida.
- La mitad de la energía de la batería se pierde como calor durante la carga independientemente de la resistencia del cable. No es un fallo en el circuito.
You've got it
- energy stored $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$; pick the form matching the quantities given
- it is the area under the $V$ against $Q$ line, a triangle, and the $\tfrac12$ is because the average p.d. while charging is $V/2$
- $W \propto V^2$: double the p.d., four times the energy
- when charge is shared, charge is conserved and energy is not: the difference is dissipated as heat in the wires, whatever their resistance
Lo has entendido
- energía almacenada $W = \tfrac12 QV = \tfrac12 CV^2 = \dfrac{Q^2}{2C}$; elija la forma que coincida con las cantidades dadas
- es el área bajo la línea de $V$ frente a $Q$, un triángulo, y el $\tfrac12$ es porque la d.p. promedio durante la carga es $V/2$
- $W \propto V^2$: duplique la d.p., cuatro veces la energía
- cuando la carga se comparte, la carga se conserva y la energía no: la diferencia se disipa como calor en los cables, sin importar su resistencia