Probability generating functions · Funciones generadoras de probabilidad
| English | Español |
|---|---|
| discrete distribution/dɪˈskriːt ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribución discreta |
| probability generating function/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdʒenəreɪtɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | función generadora de probabilidades |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | coeficiente |
| variance/ˈveərɪəns/ | varianza |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
| independent/ˌɪndɪˈpendənt/ | independientes |
A distribution in a single function
- A discrete distribution 离散分布 is a list of probabilities — clumsy to manipulate.
- A probability generating function 概率母函数 (PGF) packs the whole list into one tidy function, turning hard probability sums into easy calculus.
Una distribución en una sola función
- Una distribución discreta 离散分布 es una lista de probabilidades — incómoda de manipular.
- Una función generadora de probabilidades 概率母函数 (PGF) agrupa toda la lista en una sola función ordenada, transformando sumas de probabilidad difíciles en cálculo fácil.
Probability generating function lab · Laboratorio de función generadora de probabilidad
G(x) = p0 + p1 x + p2 x^2 + ...
Change x and see how a PGF stores probabilities in powers of x. · Cambie x y observe cómo una FGP almacena probabilidades en potencias de x.
Defining the PGF
- For a discrete variable $X$ taking values $0, 1, 2, \dots$:
- The coefficient 系数 of $t^x$ is exactly $P(X = x)$ — the function encodes the distribution.
A probability generating function stores all the probabilities as coefficients
Definición de la PGF
- Para una variable discreta $X$ que toma valores $0, 1, 2, \dots$:
- El coeficiente 系数 de $t^x$ es exactamente $P(X = x)$ — la función codifica la distribución.
Una función generadora de probabilidades almacena todas las probabilidades como coeficientes
The probability generating function of X is defined as: · La función generadora de probabilidad de X se define como:
G(t) = E(tˣ) = Σ P(X=x) tˣ.
Mean and variance 方差 from derivatives 导数
- Differentiate and evaluate at $t = 1$:
Worked example. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Then $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, so $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
Media y varianza 方差 a partir de derivadas 导数
- Derive y evalúe en $t = 1$:
Ejemplo resuelto. $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$. Entonces $G'(t) = 0.3 + 0.4t$, por lo tanto $E(X) = G'(1) = 0.3 + 0.4 = 0.7$.
X has G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Since E(X) = G′(1) and G′(t) = 0.3 + 0.4t, what is E(X)? · X tiene G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t². Dado que E(X) = G′(1) y G′(t) = 0.3 + 0.4t, ¿cuál es E(X)?
G'(1) = 0.3 + 0.4(1) = 0.7.
The mean is found from the PGF by E(X) = G′(). · La media se obtiene de la FGP mediante E(X) = G′().
E(X) = G'(1).
Sums of independent 独立 variables
- The single most useful property: the PGF of a sum of independent variables is the product of their PGFs:
- This makes adding independent variables (e.g. total of several dice) almost effortless.
Sumas de variables independientes 独立
- La propiedad más útil: la PGF de una suma de variables independientes es el producto de sus PGFs:
- Esto hace que sumar variables independientes (p. ej., la suma total de varios dados) sea casi effortless.
For any valid PGF, what is the value of G(1)? · Para cualquier FGP válida, ¿cuál es el valor de G(1)?
G(1) = Σ P(X=x) = 1, since probabilities sum to 1. · G(1) = Σ P(X=x) = 1, ya que las probabilidades suman 1.
The PGF of a sum of two independent variables is the product of their PGFs. · La FGP de una suma de dos variables independientes es el producto de sus FGP.
G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) for independent X and Y. · G_{X+Y}(t) = G_X(t) G_Y(t) para X e Y independientes.
Check it's a valid PGF
$G(1)$ must equal 1. Since $G(1) = \sum P(X = x)$, a valid PGF always gives $G(1) = 1$ — a quick sanity check before you differentiate.
Verifique que sea una PGF válida
$G(1)$ debe ser igual a 1. Dado que $G(1) = \sum P(X = x)$, una PGF válida siempre cumple $G(1) = 1$ — una comprobación rápida antes de derivar.
You've got it
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (and $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- the PGF of a sum of independent variables is the product of their PGFs
Ya lo has logrado
- PGF: $G(t) = E(t^X) = \sum P(X=x)\,t^x$ (y $G(1) = 1$)
- $E(X) = G'(1)$; $\text{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - (G'(1))^2$
- la PGF de una suma de variables independientes es el producto de sus PGFs