Motion of a projectile · Movimiento de un proyectil
| English | Español |
|---|---|
| horizontal/ˌhɒrɪˈzɒntl/ | horizontal |
| vertical/ˈvɜːtɪkl/ | vertical |
| gravity/ˈɡrævɪti/ | gravedad |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | proyectil |
| parabola/pəˈræbələ/ | parábola |
| range/reɪndʒ/ | range |
| greatest height/ˈɡreɪtɪst haɪt/ | altura máxima |
The cannonball problem
- Fire a ball at an angle and it traces a smooth arch, then lands. Where, and how high?
- Galileo's insight: treat the horizontal 水平 and vertical 竖直 motions completely separately — they only share the clock.
El problema del proyectil
- Dispara una bola en ángulo y esta traza un arco suave hasta aterrizar. ¿Dónde y a qué altura?
- La intuición de Galileo: tratar los movimientos horizontal 水平 y vertical 竖直 completamente separadamente — solo comparten el reloj.
Two independent motions
- Launched at speed $u$ and angle $\alpha$:
- Horizontal: constant velocity $u\cos\alpha$ (no force sideways).
- Vertical: gravity 重力 only, acceleration $g$ downward.
Water jets follow parabolic paths, the classic projectile 抛射体 motion under gravity
Dos movimientos independientes
- Lanzado con velocidad $u$ y ángulo $\alpha$:
- Horizontal: velocidad constante $u\cos\alpha$ (sin fuerza lateral).
- Vertical: solo gravedad 重力, aceleración $g$ hacia abajo.
Los chorros de agua siguen trayectorias parabólicas, el movimiento clásico de proyectil 抛射体 bajo la acción de la gravedad
Launch a projectile · Lanzar un proyectil
Fire the ball, then change the angle and speed. The horizontal motion is steady while gravity pulls it down — together they trace a parabola. Find the angle for the longest range, and try the Moon. · Lanza la pelota, luego cambia el ángulo y la velocidad. El movimiento horizontal es constante mientras la gravedad la atrae hacia abajo — juntos trazan una parábola. Encuentra el ángulo para el mayor alcance e intenta con la Luna.
During the flight, the horizontal velocity of a projectile (ignoring air resistance): · Durante el vuelo, la velocidad horizontal de un proyectil (ignorando la resistencia del aire):
There is no horizontal force, so u cos α is constant throughout. · No hay fuerza horizontal, por lo que u cos α es constante durante todo el trayecto.
The initial horizontal velocity of a projectile launched at speed u and angle α is u ______ α. · La velocidad horizontal inicial de un proyectil lanzado a velocidad u y ángulo α es u ______ α.
Horizontal component = u cos α; vertical = u sin α. · Componente horizontal = u cos α; vertical = u sin α.
The parabola 抛物线
- Eliminating $t$ leaves $y$ as a quadratic in $x$ — so the path is a parabola.
Horizontal speed stays constant; gravity bends the vertical motion into a parabola.
La parábola 抛物线
- Al eliminar $t$ queda $y$ como una ecuación cuadrática en $x$ — por lo tanto, la trayectoria es una parábola.
La velocidad horizontal se mantiene constante; la gravedad curva el movimiento vertical formando una parábola.
The path of a projectile (no air resistance) is a: · La trayectoria de un proyectil (sin resistencia del aire) es una:
Eliminating t gives y as a quadratic in x — a parabola. · Eliminar t da como resultado y como una función cuadrática de x — una parábola.
Range 射程 and greatest height 最大高度
- At the top, the vertical velocity is momentarily zero. The key results:
Worked example. $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$. Greatest height $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$.
Alcance 射程 y altura máxima 最大高度
- En el punto más alto, la velocidad vertical es momentáneamente cero. Los resultados clave son:
Ejemplo resuelto. $u = 20\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$, $\alpha = 30^\circ$, $g = 10$. Altura máxima $= \dfrac{400 \times 0.25}{20} = 5\ \text{m}$.
A ball is thrown at u = 20 m/s at 30°. Using height = u²sin²α/(2g) with g = 10, find the greatest height (m). · Se lanza una pelota a u = 20 m/s en 30°. Usando altura = u²sin²α/(2g) con g = 10, encuentra la altura máxima (m).
400 × sin²30° / 20 = 400 × 0.25 / 20 = 5 m.
At what launch angle (degrees) is the range greatest? · ¿A qué ángulo de lanzamiento (grados) es máximo el alcance?
Range ∝ sin 2α, which is largest when 2α = 90°, i.e. α = 45°. · Alcance ∝ sin 2α, que es máximo cuando 2α = 90°, es decir, α = 45°.
At the highest point of the flight, the vertical component of velocity is zero. · En el punto más alto del vuelo, la componente vertical de la velocidad es cero.
Vertical velocity decreases to zero at the top, then becomes negative (downward). · La velocidad vertical disminuye hasta cero en la parte superior, luego se vuelve negativa (hacia abajo).
Common trap
Range is maximised at $45^\circ$, not $90^\circ$. $\sin 2\alpha$ peaks when $2\alpha = 90^\circ$. Firing straight up gives zero range — all the speed goes into height.
- Eliminating time gives the Cartesian equation of the path; all trajectories lie under a bounding parabola.
Trampa común
El alcance se maximiza en $45^\circ$, no en $90^\circ$. $\sin 2\alpha$ alcanza su punto máximo cuando $2\alpha = 90^\circ$. Disparar directamente hacia arriba produce un alcance cero — toda la velocidad se convierte en altura.
- Eliminar el tiempo proporciona la ecuación cartesiana de la trayectoria; todas las trayectorias se encuentran bajo una parábola limitante.
You've got it
- resolve into horizontal ($u\cos\alpha$, constant) and vertical ($u\sin\alpha$, gravity) parts
- the path is a parabola
- range $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ (max at $45^\circ$); greatest height $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$
Lo has entendido
- descomponer en componentes horizontal ($u\cos\alpha$, constante) y vertical ($u\sin\alpha$, gravedad)
- la trayectoria es una parábola
- rango $= \dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$ (máximo en $45^\circ$); altura máxima $= \dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$