GAC010 Matemáticas II: Probabilidad, estadística y finanzas

GAC010 es el módulo de matemáticas de Nivel II, y es el que más se asemeja a las matemáticas que realmente utilizará una carrera universitaria en negocios, economía o ciencias sociales: secuencias, dinero, probabilidad y estadística.

La evaluación sigue el patrón de GAC004 — un test 测验 sobre las unidades iniciales, uno o dos proyectos 项目 construidos en una hoja de cálculo, un examen 考试 sobre las ocho unidades, y trabajo académico 平时作业 que incluye el cuaderno de terminología. Varias universidades publican créditos para este módulo, así que trátalo como un curso de primer año en lugar de como repaso.

• ⚠ Las unidades financieras recompensan el método mostrado. Un solo número sin el desarrollo del procedimiento casi no obtiene puntos, porque el evaluador no puede ver qué fórmula elegiste.
• Las preguntas de estadística te piden interpretar, no solo calcular. "La media es 42" es la mitad de una respuesta; "la media es 42, pero los dos valores atípicos la elevan por encima de la mediana" es la otra mitad.

Una secuencia 数列 es una lista ordenada de números; una serie 级数 es su suma.

Una secuencia aritmética 等差数列 suma una diferencia común 公差 $d$ fija en cada paso. Una secuencia geométrica 等比数列 multiplica por una razón común 公比 $r$ fija.

• Las sumas son $S_n = \tfrac{n}{2}\left(2a + (n-1)d\right)$ y $S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ para $r \neq 1$.
• Una serie geométrica con $|r| < 1$ tiene una suma al infinito 无穷和 $S_\infty = \dfrac{a}{1-r}$.
• La distinción importa porque el dinero es geométrico: los intereses multiplican, no suman.

Ejemplo resuelto. Una máquina pierde el 12% de su valor cada año desde 80 000 yuanes. ¿Cuánto vale después de 5 años?

Nota el exponente: después de 5 años has aplicado la razón cinco veces, por lo que el término es el sexto. El error de desajuste de uno (off-by-one) aquí es el error más común en la unidad.

Esta unidad es la aritmética de la vida cotidiana, en inglés.

• El salario bruto 税前工资 es lo que ganas; el salario neto 税后工资 es lo que llega después de las deducciones 扣除项 como impuestos y seguros.
• El interés simple 单利 es $I = Prt$ — interés solo sobre el monto original.
• El interés compuesto es $A = P(1+r)^n$ — interés sobre el interés, por eso es geométrico.
• La depreciación 折旧 es interés compuesto con una tasa negativa, y es cómo la máquina anterior perdió su valor.
• Un descuento 折扣 del 20% multiplica por 0,8. Dos descuentos sucesivos del 20% y 10% multiplican por $0.8 \times 0.9 = 0.72$, lo cual equivale a una reducción del 28%, no del 30%.

• El valor presente 现值 de una cantidad futura es lo que vale hoy: $PV = \dfrac{FV}{(1+r)^n}$.
• Una anualidad 年金 es un pago fijo en cada periodo; un pago de préstamo 贷款还款 es una anualidad pagada a un prestamista.
• La TAE 年利率 permite comparar dos préstamos cuyas tasas nominales están expresadas en periodos diferentes.
• ⚠ Las tasas nominal y efectiva difieren cuando el interés se capitaliza más de una vez al año. Un 12% anual capitalizable mensualmente es un 12,68% efectivo, y una pregunta que dice "mensual" está probando exactamente esto.

Ejemplo resuelto. ¿Cuál es más barato: pedir prestados 10 000 yuanes al 9% anual capitalizable anualmente durante 3 años, o al 8,7% capitalizable mensualmente?

La tasa nominal menor cuesta más, porque se capitaliza 36 veces en lugar de 3. Comparar los números de cabecera es la trampa; comparar los totales es el método.

La probabilidad 概率 mide qué tan probable es un evento, en una escala de 0 a 1.

• Para resultados equiprobables, $P(A) = \dfrac{\text{favourable outcomes}}{\text{total outcomes}}$.
• Los eventos son mutuamente excluyentes 互斥 cuando no pueden ocurrir ambos: $P(A \text{ or } B) = P(A) + P(B)$.
• Los eventos son independientes 独立 cuando uno no afecta al otro: $P(A \text{ and } B) = P(A) \times P(B)$.
• La regla del complemento 对立事件, $P(\text{not } A) = 1 - P(A)$, suele ser la ruta más rápida para obtener una respuesta que contenga "al menos uno".
• Las técnicas de conteo 计数方法 proporcionan el denominador: una permutación 排列 cuenta selecciones ordenadas, una combinación 组合 cuenta las no ordenadas.

Ejemplo resuelto. Una bolsa contiene 4 bolas rojas y 6 azules. Se extraen dos sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una roja?

Usa el complemento: $P(\text{no red}) = \dfrac{6}{10} \times \dfrac{5}{9} = \dfrac{1}{3}$, por lo tanto $P(\text{at least one red}) = \dfrac{2}{3}$.

Sin reemplazo, la segunda fracción tiene tanto un numerador menor como un denominador menor. Olvidar cambiar el denominador es el error estándar.

• Una población 总体 es todo aquel a quien quieres describir; una muestra 样本 es a quién mides realmente.
• Una muestra solo es útil si es representativa 有代表性的. Una encuesta de tu propia clase no describe a la escuela.
• Los datos cualitativos 定性 data son categorías; los datos cuantitativos 定量数据 son números, ya sean discretos 离散 (contados) o continuos 连续 (medidos).
• El sesgo 偏差 entra a través de a quién le preguntas, quién responde y cómo está redactada la pregunta, y ninguna cantidad de aritmética posterior lo elimina.

• La media 平均数是 total dividido por el recuento. Usa cada valor y cada valor atípico.
• La mediana 中位数 es el valor medio en orden. Ignora qué tan extremos son los extremos.
• La moda 众数是 el valor más frecuente, y es el único promedio que funciona para categorías.
• Elige según la forma de los datos. Para ingresos, la mediana describe a una persona típica y la media no, porque unos pocos valores muy grandes la arrastran hacia arriba.

• El rango 全距 es el mayor menos el menor — un solo número, fácilmente destruido por un valor atípico.
• El rango intercuartílico (RIC) 四分位距 es el 50% central, y es lo que dibuja un diagrama de caja 箱线图.
• La desviación estándar 标准差 mide la distancia típica respecto a la media: $\sigma = \sqrt{\dfrac{\sum (x - \bar{x})^2}{n}}$.
• Una desviación estándar mayor significa una dispersión más amplia. Dos conjuntos de datos pueden compartir una media y describir situaciones completamente distintas.

• La distribución normal 正态分布 es la campana simétrica, descrita enteramente por su media y su desviación estándar.
• La regla empírica: aproximadamente el 68% de los valores se encuentran dentro de una desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos, y el 99,7% dentro de tres.
• Un puntuación z 标准分 indica cuántas desviaciones estándar se aleja un valor de la media: $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$, lo cual es lo que hace comparables dos escalas diferentes.

Ejemplo resuelto. Una prueba tiene media 62 y desviación estándar 8. ¿Qué proporción de estudiantes obtuvo una puntuación superior a 78?

Dos desviaciones estándar por encima de la media. Por la regla empírica, el 95% se encuentra dentro de dos desviaciones a ambos lados, por lo que el 2,5% se encuentra por encima — aproximadamente 1 estudiante de cada 40.