GAC016 Mathematics III: Calculus & Advanced Applications · ⁨GAC016 Matemáticas III: Cálculo y aplicaciones avanzadas⁩

Una velocidad media no te da cada velocidad instantánea, y un desplazamiento con signo no siempre es igual a la distancia total. El cálculo hace que esas distinciones sean precisas.

GAC016 desarrolla diferenciación, integración y sus aplicaciones. El plan actual de tu centro determina las tareas de evaluación y los requisitos de calificación; estas hojas de práctica originales no establecen una decisión de crédito universitario ni un patrón de examen oficial.

Indica la variable independiente, el dominio y las unidades. La notación $dy/dx$ es una derivada con respecto a x; un punto sobre y normalmente denota una derivada con respecto al tiempo. Esas notaciones describen la misma operación solo cuando sus variables independientes coinciden.

Para aplicaciones, describe lo que significa una tasa o un valor acumulado en el modelo dado. Una tasa negativa de cambio de volumen de 3 centímetros cúbicos por segundo significa que el volumen está disminuyendo a esa tasa, en lugar de que el volumen mismo sea negativo.

Una derivada es una tasa de cambio: qué tan rápido $y$ cambia cuando $x$ cambia. Geométricamente es la pendiente de la tangente en un punto.

Ese límite es la definición. La diferenciación desde los primeros principios usa el cociente de diferencias para h distinto de cero y luego toma su límite. Límites laterales desiguales, como para $|x|$ en cero, impiden una derivada incluso cuando la función es continua.

• La regla de la potencia, en un dominio donde la potencia es diferenciable: si $y = x^n$ entonces $\dfrac{dy}{dx} = nx^{\,n-1}$.
• La regla del producto: $(uv)' = u'v + uv'$.
• La regla del cociente, donde $v\ne0$: $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.
• La regla de la cadena: si $y = f(g(x))$ entonces $\dfrac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.
• Los puntos estacionarios ocurren donde $f'(x) = 0$. La segunda derivada entonces clasifica un punto estacionario cuando es distinta de cero: negativo da un máximo local y positivo un mínimo local. Una segunda derivada igual a cero es inconclusiva; usa signos de derivada u otra evidencia. Una inflexión estacionaria puede ser neither un extremo.

Ejemplo resuelto. una pendiente de tangente difiere de una pendiente de secante

Conocido: $f(x)=x^2$. La secante entre x igual a 1 y 2 tiene pendiente 3, pero la derivada en x igual a 1 es 2.

La pendiente promedio sobre un intervalo finito no necesariamente iguala la pendiente instantánea en ninguno de sus extremos.

Use la hoja de práctica original 3.1 para verificar el método, el dominio y la interpretación frente a sus soluciones.

La integración indefinida busca antiderivadas. La integración definida mide acumulación signada, que puede diferir del área geométrica. Para una integral continua, el teorema fundamental del cálculo conecta una integral definida con la diferencia de valores de antiderivadas en sus límites.

• Una integral indefinida no tiene límites y necesita la constante de integración : $\displaystyle\int x^n\,dx = \frac{x^{\,n+1}}{n+1} + c$ para $n \neq -1$.
• Una integral definida tiene límites y da un número: $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.
• La integración por sustitución invierte la regla de la cadena.
• ⚠ Olvidar $+c$ en una integral indefinida es la causa más frecuente de pérdida de puntos en el módulo, y se pierde en preguntas que de otro modo responde correctamente.

Ejemplo resuelto. áreas negativas y positivas pueden cancelarse

Conocido: $f(x)=x$ desde -1 hasta 1. Su integral definida es cero porque las contribuciones negativas y positivas se cancelan.

El área geométrica, en cambio, suma los módulos de ambas regiones triangulares.

Use la hoja de práctica original 3.2 para verificar el método, el dominio y la interpretación frente a sus soluciones.

• La optimización encuentra el valor más grande o más pequeño de una cantidad: escribe la cantidad como función de una variable sobre un dominio factible especificado, derive, encuentre candidatos y justifique el óptimo requerido. Verifique límites incluidos y restricciones enteras según corresponda.
• Las tasas de cambio se encadenan: $\dfrac{dV}{dt} = \dfrac{dV}{dr} \times \dfrac{dr}{dt}$.
• El área entre dos curvas es $\displaystyle\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$ donde $f$ es la curva superior en todo ese intervalo. Dividir en intersecciones si su orden cambia.
• El costo marginal y los ingresos marginales son derivadas de modelos continuos de costo e ingresos establecidos. Son tasas instantáneas, no cambios discretos exactos por unidad automática.

Ejemplo resuelto. un perímetro fijo deja una variable de área

Conocido: un rectángulo tiene perímetro 20, por lo que largo más ancho es 10. Sea el ancho x; el largo es $10-x$ y $0.

El candidato estacionario es $x=5$. Dado que $A''(x)=-2<0$ y el área tienden a cero en ambos extremos del dominio, este candidato es el máximo global. Es un cuadrado de 5 por 5 con área 25.

Use la hoja de práctica original 3.3 para verificar el método, el dominio y la interpretación frente a sus soluciones.