De una bolsa de hielo a una estrella
Una bolsa de hielo, un puente oscilante y una estrella distante involucran energía. Esta unidad vincula el movimiento molecular, cambios nucleares, oscilaciones y observaciones astronómicas. La tarea suele ser comprobar una afirmación, no solo calcular un número: establece el modelo, lleva las unidades a través del cálculo, luego compara tu resultado con la afirmación.
WPH15 abarca las afirmaciones 125–171 del Issue Pearson 3. También utiliza las Unidades 1, 2 y 4. Trabaja las hojas 5.1–5.9 antes de sus conjuntos auténticos correspondientes. Usa las constantes proporcionadas consistentemente: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ y $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ a menos que la pregunta indique un valor local diferente. Aquí $k_B$ es la constante de Boltzmann; $k_s$ denota una constante de resorte.
Calentamiento, cambio de fase y calibración de termistores
Sigue la energía, no solo la temperatura
Energía interna es la energía total en el movimiento aleatorio y las interacciones moleculares: energía cinética aleatoria más energía potencial intermolecular. Excluye la energía cinética del objeto entero moviéndose conjuntamente. La temperatura se relaciona con la energía cinética molecular aleatoria promedio, no con la energía interna total. Dos muestras a la misma temperatura pueden tener diferentes energías internas porque sus cantidades y estados difieren.
Capacidad calorífica específica $c$ es la energía necesaria por kilogramo para un ascenso de un kelvin sin cambio de estado. Calor latente específico $L$ es la energía transferida por kilogramo durante un cambio de estado particular a temperatura constante.
Una diferencia de temperatura de $1\ ^\circ\mathrm C$ equivale a una diferencia de $1\ \mathrm K$. Las temperaturas absolutas en las leyes de gases y radiación deben expresarse en kelvin. Durante la fusión o ebullición, la energía cambia los arreglos moleculares y la energía potencial mientras la temperatura permanece constante en el cambio de fase ideal a presión constante. Una bolsa de hielo absorbe energía de los alimentos/entorno al fundirse. No envía “energía fría” hacia los alimentos.
A potencia de calentamiento constante, gradientes de temperatura-tiempo más pronunciados significan menor $mc$, siempre que la pérdida de calor sea despreciable. Una sección plana no significa que la transferencia de energía haya cesado. Para un calefactor, la energía de entrada es $E_{\rm in}=Pt=VIt$; la energía térmica útil puede ser menor debido a que la energía escapa al entorno.
Ejemplo resuelto. Un bloque de $0.40\ \mathrm{kg}$ de hielo a $-10\ ^\circ\mathrm C$ se funde en agua a $0\ ^\circ\mathrm C$. Usa $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ y $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Conocido: masa, temperaturas inicial/final y constantes del material. Por qué: calentar el sólido y fundirlo son transferencias de energía separadas.
Ejemplo resuelto. Un calefactor de $1000\ \mathrm W$ hierve $0.20\ \mathrm{kg}$ de agua en $600\ \mathrm s$. Encuentra la eficiencia usando $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.
Para cargas repetidas de hervidor, calcula el volumen total de agua, número de cargas y tiempo total de funcionamiento. Compara energías sobre el mismo intervalo especificado. La pérdida en modo espera durante un día y la entrada necesaria para hervir agua son cantidades distintas; indica qué establece específicamente una comparación particular.
CP12: calibrar un termostato
Un termistor tiene resistencia que cambia con la temperatura. El termistor de coeficiente de temperatura negativo (NTC) típico disminuye su resistencia al calentarse. En un divisor de potencial:
Con el termistor como resistencia inferior y la salida medida a través de él, el calentamiento reduce el voltaje de salida. Invertir las posiciones de las resistencias invierte esa tendencia. Un termostato se activa en un umbral de salida elegido; el divisor por sí solo no es un dispositivo de conmutación completo.
Para la práctica central 12, coloca el termistor y un termómetro de referencia juntos en un baño de agua agitado. Mantén los contactos eléctricos secos y aislados. A varias temperaturas dentro del rango previsto, espera el equilibrio térmico y registra la temperatura y el voltaje del divisor. Mantén el voltaje de alimentación y la resistencia fija invariables. Usa un multímetro de alta resistencia de entrada para reducir la carga. Grafica la salida contra la temperatura e interpola el voltaje para la temperatura de conmutación elegida. Repite lecturas o compara enfriamiento/calentamiento para revelar histéresis. No asumes una calibración lineal sin evidencia. Usa electricidad de bajo voltaje y ten cuidado con el agua caliente.
CP13: medir calor latente
Suministra potencia eléctrica medida a un material durante su cambio de fase. Mide la masa fundida o evaporada en un intervalo cronometrado tras estabilizarse las condiciones. Una balanza mide el cambio de masa; no confundas el volumen de líquido recolectado con la masa. Sin corrección de pérdidas, $L=VIt/\Delta m$ asume que toda la energía suministrada causa el cambio de fase.
Una corrección útil es comparar dos potencias a la misma temperatura de cambio de fase estable. Si la potencia de pérdida de calor es aproximadamente constante, restar las dos mediciones la elimina:
Indica la suposición de pérdida constante. Una medición de control de fusión sin el calefactor es otra corrección posible en un experimento de hielo adecuado. Reduce la pérdida de calor con aislamiento donde sea seguro; evita salpicaduras, superficies calientes y conexiones a red inseguras.
Gases ideales y energía cinética molecular
Kelvin y el modelo de gas ideal
Cero absoluto es $0\ \mathrm K$, aproximadamente $-273\ ^\circ\mathrm C$. Es el límite inferior de la temperatura termodinámica. En el modelo clásico del gas ideal, la energía cinética traslacional media tiende a cero cuando la temperatura tiende a cero. Los gases reales se condensan antes de alcanzar esa extrapolación; no afirmes que las moléculas en todo material real pierdan toda su energía posible.
Temperatura absoluta se mide en kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ con la precisión normalmente usada aquí. Un gas ideal está constituido por partículas con volumen despreciable, sin fuerzas intermoleculares excepto durante colisiones elásticas, y movimiento aleatorio. La presión proviene de cambios de momento en las paredes.
Aquí $N$ es el número de moléculas, no el número de moles. Usa presión en pascales, volumen en metros cúbicos y temperatura en kelvin. Para un número fijo de moléculas:
A volumen constante, la presión es proporcional a la temperatura en kelvin. A temperatura constante, $pV$ es constante. Incluye la presión externa si un manómetro reporta presión relativa a la atmósfera.
Ejemplo resuelto. Un recipiente rígido de $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ contiene gas a $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ y $300\ \mathrm K$. Encuentra $N$ y la presión después de calentar hasta $360\ \mathrm K$.
Si una molécula tiene masa $m_0$, la masa total del gas es $Nm_0$. Para una esfera, primero calcula $V=4\pi r^3/3$; el radio es la mitad del diámetro.
Derivar la relación de energía molecular
La relación de presión de la teoría cinética es $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, donde $\langle c^2\rangle$ es la velocidad cuadrática media. Se deduce de los cambios de momento elástico en una pared y un movimiento cuadrático medio igual en las tres direcciones perpendiculares. La velocidad eficaz (cuadrática media) es $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; no es el cuadrado de la velocidad media.
Para un cubo de lado $l$, una molécula con componente de velocidad $c_x$ cambia el momento de la pared en $2m_0c_x$ en cada colisión elástica. Su tiempo de retorno a esa misma pared es $2l/c_x$. Por lo tanto, su fuerza promedio es $m_0c_x^2/l$. Suma sobre todas las moléculas y divide por el área de la pared $l^2$:
El movimiento aleatorio se distribuye equitativamente entre las direcciones perpendiculares, de modo que $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Esto da la relación de presión anterior. Iguala las dos expresiones para $pV$, cancela $N$ y luego reordena:
A una temperatura dada, diferentes especies gaseosas tienen iguales energías cinéticas traslacionales medias, pero las moléculas más ligeras tienen mayores velocidades eficaces. Si la velocidad se duplica a la misma temperatura, la masa molecular es un cuarto. Calentar aumenta la energía cinética molecular promedio; no otorga a cada molécula la misma velocidad.
CP14: presión y volumen a temperatura constante
Encierra una cantidad fija de gas en una jeringa o cilindro calibrado conectado a un sensor de presión. Verifica la calibración y usa presión absoluta. Incluye el volumen muerto del tubo de conexión cuando sea significativo. Cambia el volumen gradualmente, espera después de cada cambio a que la temperatura vuelva a la de los alrededores, luego registra varios pares de presión-volumen. No dejes que el gas escape. Una gráfica de $p$ contra $1/V$ debería ser recta pasando por el origen dentro de la incertidumbre. Una curva de $p$–$V$ no es recta. Evita presiones excesivas y asegura las conexiones. La compresión rápida calienta el gas y rompe la condición de temperatura constante pretendida.
Energía de enlace, fisión y fusión
El defecto de masa es una diferencia de energía
Un núcleo contiene $Z$ protones y $A-Z$ neutrones. Su masa es menor que la masa total de estos nucleones libres. Este defecto de masa corresponde a la energía de enlace necesaria para separar completamente el núcleo en nucleones libres:
Aquí $c_0$ es la velocidad de la luz, distinguida de la capacidad calorífica específica. La unidad de masa atómica unificada es $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Convierte todas las masas a la misma unidad antes de restar. Las masas nucleares y las masas de átomos neutros no son intercambiables sin tener en cuenta consistentemente los electrones. Usa las masas que proporciona realmente la pregunta.
Ejemplo resuelto. Un núcleo tiene un defecto de masa $0.030\ \mathrm u$ y $A=4$. Calcule la energía de enlace por nucleón.
Por qué tanto la fusión como la fisión pueden liberar energía
La curva de energía de enlace por nucleón asciende bruscamente para núcleos ligeros, alcanza su máximo cerca del hierro/níquel y luego disminuye gradualmente para núcleos pesados. Una mayor energía de enlace por nucleón generalmente significa que los nucleones están más fuertemente ligados. Es el valor vertical, no solo el número másico, lo que importa al comparar puntos.
Fusión nuclear combina núcleos ligeros. Fisión nuclear divide un núcleo pesado en productos más pequeños, a menudo con neutrones. La energía se libera cuando los productos tienen una energía de enlace total mayor y una masa en reposo total menor que los reactivos. Para una reacción, calcule la diferencia de masa total, no simplemente la diferencia entre dos valores por nucleón. La energía total se conserva.
La fusión requiere temperaturas muy altas para dar a los núcleos suficiente energía cinética para aproximarse a pesar de la repulsión electrostática, y alta densidad/confinamiento para lograr suficientes encuentros cercanos y sostener la liberación de energía. La temperatura y la densidad tienen roles diferentes. Mencionar simplemente "alta presión" no explica superar la repulsión.
Radiación, fondo y desintegración
Elija radiación según su interacción
Radiación alfa consiste en núcleos de helio: altamente ionizante, corto alcance y detenida por papel o unos pocos centímetros de aire. Radiación beta consiste en electrones o positrones: menos ionizante, más penetrante, típicamente detenida por unos milímetros de aluminio. Radiación gamma es radiación electromagnética: débilmente ionizante y altamente penetrante; el plomo o el concreto reducen su intensidad pero no proporcionan un espesor de detención nítido.
En una cámara de niebla, las trazas alfa son gruesas principalmente debido a la fuerte ionización y relativamente rectas porque las partículas tienen gran masa en comparación con las partículas beta. Las trazas beta son más finas y se desvían con mayor facilidad. No intercambie estas explicaciones. La radiación beta puede monitorear el grosor del papel porque parte atraviesa y parte es absorbida; un cambio en el grosor cambia la tasa de conteo transmitida.
En ecuaciones nucleares, conserve el número de nucleones y el número de carga. La desintegración beta menos convierte un neutrón en un protón; el número másico permanece igual y el número atómico aumenta en uno. Incluya el antineutrino donde sea necesario, como en la Unidad 4:
La desintegración alfa reduce $A$ en cuatro y $Z$ en dos. La emisión gamma no cambia ni $A$ ni $Z$. Las ecuaciones nucleares conservan más que estos dos números: la energía y el momento también importan.
Corriente de fondo correcta antes de aplicar un modelo
Radiación de fondo proviene de fuentes como rocas, rayos cósmicos y el entorno. Médala durante un tiempo suficientemente largo con la fuente de prueba ausente. Resta su tasa de conteo a cada lectura de fuente más fondo. Mantenga las unidades de tiempo de conteo consistentes. La tasa de conteo corregida del detector es proporcional a la actividad de la fuente solo cuando la geometría y la eficiencia de detección permanecen sin cambios; no es automáticamente la actividad en bequerel.
Ejemplo resuelto. Un detector registra $62\ \mathrm{min^{-1}}$ a una distancia $r$, incluyendo un fondo $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Prediga la tasa total a $2r$ para una pequeña fuente isotrópica de gamma con absorción despreciable.
No divida el fondo por cuatro: no toda proviene de la fuente de prueba.
Eventos aleatorios, poblaciones predecibles
Desintegración radioactiva es espontánea: un núcleo inestable se desintegra sin un disparador externo. Es aleatoria: no se puede predecir el momento exacto para un núcleo individual. Una población grande tiene un patrón de desintegración estadística predecible. Actividad $A$ es el número de desintegraciones por segundo, medida en bequerel, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.
La constante de desintegración $\lambda$ es la probabilidad por unidad de tiempo de desintegración para un núcleo. La vida media $t_{1/2}$ es el tiempo para que la población sin desintegrar, o la actividad, se reduzca a la mitad en promedio.
En una vida media, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Tomando logaritmos da:
Una línea de actividad-logarítmica–tiempo tiene una pendiente $-\lambda$. Tomar logaritmos de las tasas corregidas, no de las lecturas de fuente más fondo. Leer varios intervalos de vida media de un gráfico y promediarlos; medir desde el nivel de actividad corregida, no desde cero en conteos totales.
Ejemplo resuelto. Una fuente tiene vida media $3.0\ \mathrm{years}$. ¿Cuándo caerá la actividad a $2.0\%$ de su valor inicial?
Usar una fracción, no $2.0$ dentro del logaritmo. Si se calcula potencia a partir de una fuente radiactiva, usar $P=A E_{\rm decay}$, con energía por desintegración en julios. Esta es la potencia nuclear liberada; la salida eléctrica útil puede ser menor. Convertir la vida media a segundos cuando la actividad debe estar en becquerels.
CP15: absorción de radiación gamma por plomo
Mantener la fuente, el absorbente y el detector en posiciones fijas. Medir el fondo, luego los conteos en intervalos iguales y conocidos para varias espesores totales de plomo. Repetir o extender el tiempo de conteo porque los conteos fluctúan. Restar la tasa de fondo antes de comparar la transmisión. Si cada espesor igual produce la misma reducción fraccionaria, la atenuación es exponencial; un gráfico de logaritmo de la tasa corregida frente al espesor es aproximadamente lineal. Tres espesores semiporosos transmiten $1/8$, no $1/3$.
La constante de absorción del material no es la constante de desintegración temporal de la fuente. Evitar lecturas demasiado cercanas al fondo, donde la resta genera una gran incertidumbre relativa. Manipular las fuentes con las herramientas especificadas bajo supervisión, mantener distancia, minimizar el tiempo de exposición y devolverlas al blindaje. Nunca tocar una fuente ni dirigirla hacia personas. Mantener limpio el manejo del plomo y lavarse las manos.
Movimiento armónico simple, gráficos y energía
La condición restauradora
Movimiento armónico simple (MAS) ocurre cuando la aceleración resultante es proporcional al desplazamiento desde una posición fija de equilibrio y está dirigida hacia ella:
El signo negativo indica la dirección restauradora. Velocidad constante, repetición sola o una fuerza que simplemente apunta hacia un centro no establecen MAS. Para un resuelgo colgado verticalmente, medir $x$ desde la posición de equilibrio cargado. El peso ya está equilibrado allí; la resultante para el desplazamiento es $-k_sx$.
Para liberación desde desplazamiento máximo positivo en $t=0$:
Aquí $A_0$ es amplitud, no actividad radiactiva. La fase depende del tiempo de inicio elegido; un desplazamiento senoidal puede describir el mismo movimiento con otro origen. Diferenciar gráficamente: la pendiente del desplazamiento–tiempo es velocidad, y la pendiente de velocidad–tiempo es aceleración. En el desplazamiento máximo, la velocidad es cero y la aceleración apunta hacia el equilibrio. En el equilibrio, la velocidad es máxima y la aceleración es cero.
Ejemplo resuelto. Un gráfico da amplitud $0.030\ \mathrm m$ y período $0.50\ \mathrm s$. Encontrar velocidad y aceleración máximas.
Alternativamente, encuentra la velocidad máxima mediante una tangente a la gráfica de desplazamiento en el equilibrio. Convierte centímetros a metros. Una pendiente recta negativa de $a$–$x$ es $-\omega^2$, así que toma su valor negativo antes de la raíz cuadrada.
Períodos y energía
Para una masa en un resuelgo ideal y para un péndulo simple en ángulos pequeños:
La longitud del péndulo es del pivote al centro de la masa. El período de ángulo pequeño no depende de la masa de la bola. Una relación de períodos para un resuelgo inalterado da $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Usar la masa total nueva antes de encontrar la masa añadida.
Ejemplo resuelto. Una masa de $0.50\ \mathrm{kg}$ tiene período $0.80\ \mathrm s$. Una masa adicional aumenta el período a $1.00\ \mathrm s$ en el mismo resuelgo.
Para un oscilador de resorte no amortiguado, la energía se transfiere entre los almacenes de potencial elástica y cinética:
Así, la gráfica $E_k$–$x$ es una parábola invertida: cero en $\pm A_0$, máximo positivo en $x=0$. La gráfica $E_p$–$x$ se abre hacia arriba. Su suma es constante en el modelo no amortiguado. En un sistema amortiguado, la energía se transfiere al exterior, por lo que la amplitud disminuye. La energía total, incluidas las alrededores, se conserva.
CP16: inferir una masa desconocida a partir de la resonancia
Mantenga el mismo sistema de resorte/sopporte. Fije varias masas conocidas, accione con pequeñas oscilaciones y varíe la frecuencia para encontrar la mayor amplitud estable para cada masa. Registre la frecuencia de resonancia, repitiendo lentamente alrededor de cada pico. Con amortiguamiento ligero, esto aproxima la frecuencia natural. Grafique $1/f^2$ contra la masa total conocida; el modelo del resorte proporciona una pendiente de $4\pi^2/k_s$. Use la calibración para inferir una masa desconocida a partir de su frecuencia de resonancia.
Tome en cuenta el soporte portamuestras y, donde sea significativo, la masa efectiva móvil del resorte. Una intercepción distinta de cero puede representar esta contribución; no fuerce la línea a pasar por el origen sin justificación. Mantenga las amplitudes pequeñas y dentro del límite elástico. Asegure las masas y el soporte, y mantenga los pies alejados. Medir períodos libres puede proporcionar una comparación independiente útil, pero la práctica especificada utiliza frecuencias de resonancia.
Oscilaciones forzadas, resonancia y amortiguamiento
Una oscilación libre sigue a una perturbación inicial sin conducción periódica continua. Una oscilación forzada es mantenida por una fuerza impulsora periódica; su frecuencia estable es la frecuencia de la fuerza impulsora. La frecuencia natural es la frecuencia de oscilación libre para el sistema bajo las condiciones indicadas.
La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza impulsora está en o cerca de la frecuencia natural, dando una transferencia eficiente de energía y una gran amplitud estable. No significa “frecuencia máxima”. Para un sistema ligeramente amortiguado, el pico de amplitud está cerca de la frecuencia natural no amortiguada. Mayor amortiguamiento reduce y ensancha el pico; no presente cada pico amortiguado como exactamente en la frecuencia natural no amortiguada.
El amortiguamiento transfiere energía lejos de la oscilación, por ejemplo a través de trabajo resistivo que aumenta la energía térmica de los amortiguadores y las alrededores. Mayor amortiguamiento puede reducir el movimiento peligroso de puentes/edificios. La deformación plástica de un material dúctil también absorbe energía mecánica irreversiblemente; la deformación puramente elástica devuelve la energía almacenada y no es el mismo mecanismo.
Explicación trabajada. Las personas caminando proporcionan una fuerza impulsora periódica a un puente. Si su frecuencia está cerca de una frecuencia natural, la energía se transfiere eficientemente al puente y la amplitud aumenta. Los amortiguadores realizan trabajo contra el movimiento, transfiriendo la energía de oscilación a almacenes térmicos, por lo que la amplitud estable está limitada. Vincule causa y efecto en este orden en lugar de listar “resonancia, energía, amortiguamiento”.
Para la misma forma y amplitud, añadir masa a un péndulo ligero aumenta su energía mecánica almacenada mientras que el período ideal de ángulo pequeño permanece sin cambios. Bajo pérdidas resistivas comparables, puede perder una fracción menor de energía por ciclo. Esa comparación contextual de amortiguamiento no demuestra que todo oscilador más pesado siempre amortigüe más lentamente.
Campos gravitatorios y órbitas
El campo y el potencial tienen significados diferentes
Un campo gravitatorio es una región donde una masa experimenta una fuerza. La intensidad del campo gravitatorio $g=F/m$ es la fuerza por unidad de masa de prueba. Es un vector apuntando hacia una masa fuente aislada. La ley de Newton para masas puntuales, o fuera de una fuente esféricamente simétrica, es:
$r$ es la distancia centro-a-centro, no la altura sobre la superficie. Para el movimiento local cercano a la Tierra, una intensidad de campo constante $g$ puede ser adecuada. Sobre grandes distancias radiales, no es constante.
El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa, con cero en el infinito:
El potencial es un escalar y negativo a distancia finita. Moverse hacia afuera lo hace menos negativo, por lo que la energía potencial aumenta mientras la fuerza atractiva se debilita. Un valor de gráfico de potencial y su radio correspondiente dan $M=-Vr/G$.
Los campos gravitatorios y eléctricos son ambos radiales para fuentes puntuales aisladas y sus magnitudes de fuerza obedecen leyes inversas al cuadrado. La gravedad actúa sobre la masa y es atractiva en este modelo. La fuerza eléctrica actúa sobre la carga y puede atraer o repeler. La dirección del campo eléctrico sigue la fuerza sobre una carga de prueba positiva; una carga negativa es empujada en dirección opuesta.
Ejemplo resuelto. Un satélite $1000\ \mathrm{kg}$ se desplaza desde un radio $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ hasta $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ alrededor de la Tierra, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Calcule su cambio en energía potencial.
El signo positivo es final menos inicial. Esta no es la energía total de lanzamiento, ya que la energía cinética también puede cambiar. Un $mg\Delta h$ con superficie constante $g$ no es adecuado para esta distancia.
Derivar una órbita circular
La fuerza gravitacional proporciona la resultante hacia el centro:
La masa orbitante se cancela. El periodo aumenta con el radio. Para aparecer estacionaria sobre un punto de un planeta en rotación, un satélite necesita una órbita circular ecuatorial, la misma dirección de rotación y velocidad angular/periodo coincidentes. Solo igualar el periodo no es suficiente.
Ejemplo resuelto. Para $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ y periodo $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, calcule el radio de la órbita estacionaria.
Resta el radio del planeta solo si te piden la altura sobre la superficie. Para el campo superficial de una estrella, usa su radio, no su diámetro listado; verifica una afirmación de campo múltiplo al de la Tierra calculando la razón.
Radiación estelar, distancias y evolución
Temperatura, luminosidad e intensidad recibida
Un cuerpo negro absorbe toda la radiación electromagnética incidente y es un emisor térmico ideal. Su espectro continuo tiene una forma característica. Aumentar la temperatura incrementa la potencia total emitida por unidad de área y desplaza el pico de longitud de onda a longitudes de onda más cortas. El área bajo una curva de intensidad espectral representa la intensidad total solo con la definición adecuada del eje espectral.
Luminosidad $L_\star$ es la potencia total emitida. Intensidad $I$ recibida a distancia $d$ es potencia por unidad de área receptora. Para una estrella esférica cuerpo negro de radio $R$ que irradia equitativamente en todas direcciones:
La primera área es la superficie emisora; la segunda es la esfera expansiva receptora. No sustituyas la distancia del observador en el área superficial de la estrella. Los emisores reales pueden no ser cuerpos negros perfectos, y el material intermedio puede absorber radiación.
La constante establecida de Wien describe un espectro por unidad de longitud de onda. Un máximo de un espectro trazado por unidad de frecuencia no se transforma en ese máximo de longitud de onda simplemente reemplazando $\lambda$ con $c_0/f$. Si un examen da la frecuencia correspondiente a su pico de longitud de onda especificado, convierte esa longitud de onda dada usando $c_0=f\lambda$. No conviertas esa convención particular en una regla general para cada trazo espectral.
Ejemplo resuelto. El espectro de longitud de onda de una estrella tiene un pico en $580\ \mathrm{nm}$ y su radio es $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Encuentra la temperatura, luminosidad e intensidad a $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.
Mantén la temperatura sin redondear porque se eleva a la cuarta potencia. Compara la intensidad recibida con la referencia declarada antes de aceptar una afirmación sobre temperatura planetaria o potencia.
Dos métodos de distancia
Paralaje trigonométrico mide el desplazamiento angular aparente de una estrella cercana contra estrellas lejanas de fondo mientras la Tierra se mueve alrededor del Sol. Las observaciones separadas seis meses usan una línea de base de dos radios de órbita terrestre. El ángulo de paralaje $p$ es la mitad del desplazamiento total. Para $p$ pequeños en radianes, la distancia es $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Un parsec es la distancia que produce un paralaje de $1$ segundo de arco; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. No uses el diámetro de la Tierra o el Sol como línea de base orbital.
A gran distancia, $p$ se vuelve demasiado pequeño para que el instrumento lo mida con precisión. La limitación es la resolución angular/incertidumbre relativa, no necesariamente que la estrella sea invisible.
Una vela estándar es un objeto de luminosidad conocida. Identifícalo en un cúmulo, mide la intensidad recibida y usa $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Su brillo aparente no se asume conocido de antemano. Las estrellas variables Cefeidas tienen una relación calibrada entre periodo y luminosidad. Mide varios periodos completos de la curva de luz, divídelos por su número, lee la calibración cuidadosamente y convierte cualquier unidad de luminosidad solar. Una línea recta en ejes logarítmicos no implica automáticamente una relación lineal entre las cantidades crudas.
Ejemplo resuelto. Una vela estándar tiene $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ e intensidad recibida $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.
Leer el diagrama de Hertzsprung–Russell
Un diagrama de Hertzsprung–Russell representa la luminosidad verticalmente frente a la temperatura superficial horizontalmente, usualmente con la temperatura disminuyendo hacia la derecha y escalas logarítmicas. La secuencia principal va desde estrellas calientes y brillantes en la esquina superior izquierda hasta estrellas frías y tenues en la inferior derecha. Las gigantes rojas son frías pero luminosas debido a sus grandes áreas superficiales. Los enanos blancos son calientes pero tenues debido a sus pequeñas áreas superficiales. Marque el Sol cerca de una luminosidad solar y aproximadamente $5800\ \mathrm K$ en la secuencia principal.
Las estrellas se forman cuando la gravedad contrae una nube de gas y polvo. El núcleo se calienta hasta que la fusión del hidrógeno puede sostener una estrella de la secuencia principal; la presión hacia afuera equilibra la gravedad. En una estrella similar al Sol, el hidrógeno del núcleo eventualmente se agota, la fusión allí disminuye y la gravedad contrae el núcleo. La temperatura del núcleo aumenta; la quema de hidrógeno en la capa y posteriormente la fusión del helio están asociadas con la expansión a una gigante roja. Se pierden las capas externas, dejando un núcleo de enano blanco sin fusión sostenida. Se enfría durante un tiempo muy largo. El Sol no se convertirá en supernova ni en estrella de neutrones.
Una estrella mucho más masiva puede fusionar elementos más pesados a través de etapas posteriores. Cuando su núcleo ya no puede obtener energía de la fusión, el colapso y una supernova pueden dejar una estrella de neutrones o un agujero negro, dependiendo del remanente. Una estrella masiva de la secuencia principal tiene más combustible, pero lo consume mucho más rápido debido a su núcleo más caliente. Por lo tanto, su vida útil en la secuencia principal puede ser más corta. Explique la tasa de fusión, no solo la cantidad de combustible. Una trayectoria HR muestra cambios de temperatura/luminosidad, no una estrella viajando por el espacio.
Desplazamientos Doppler y cosmología
Comparar la misma línea espectral
El efecto Doppler es un cambio en la frecuencia/longitud de onda observada causado por el movimiento relativo a lo largo de la línea de visión. Las frentes de onda sucesivas llegan más separadas de una fuente que se aleja y más juntas de una fuente que se acerca. La recesión produce longitudes de onda más largas y frecuencias más bajas; el acercamiento produce longitudes de onda más cortas y frecuencias más altas. El movimiento puramente perpendicular a la línea de visión no es la velocidad de recesión en el modelo simple.
Para radiación electromagnética a bajas velocidades de recesión:
Corrimiento al rojo $z$ es positivo para la recesión. Para desplazamientos pequeños, su magnitud también es aproximadamente igual a la disminución fraccionaria de la frecuencia observada respecto a la frecuencia emitida. Indique la convención de signos: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ es negativo para la recesión. No iguale un corrimiento al rojo positivo a un aumento firmado de frecuencia. La aproximación $v/c_0$ no es una fórmula relativista general de alta velocidad.
Ejemplo resuelto. Una línea emitida en $500\ \mathrm{nm}$ se observa en $505\ \mathrm{nm}$.
Para usar las líneas de absorción de una estrella, recuerde la Unidad 2: los fotones solo se absorben cuando sus energías coinciden con las diferencias permitidas entre niveles atómicos. Compare la misma línea espectral identificada, no dos elementos diferentes.
Para los bordes opuestos de una estrella rotante, uno se acerca mientras el otro se aleja. Si sus desplazamientos son iguales y opuestos, la separación de las dos longitudes de onda observadas es el doble del desplazamiento de cualquiera de los bordes. Divida esa separación por dos antes de encontrar la velocidad ecuatorial. Luego use $T=2\pi R/v$. Esto asume que la velocidad observada del borde a lo largo de la línea de visión representa la velocidad de rotación ecuatorial bajo la geometría de observación indicada.
Ley de Hubble y sus límites
En escalas cosmológicas grandes, la velocidad de recesión sigue aproximadamente la ley de Hubble:
La constante de Hubble $H_0$ tiene unidades de inverso de tiempo. En $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, convierta kilómetros a metros y megaparsecs a metros antes de tomar su recíproco en segundos. Los objetos cercanos pueden tener movimientos locales que no siguen la relación a gran escala.
Ejemplo resuelto. Use $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ y $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ para estimar una escala de tiempo de expansión.
El recíproco es el tiempo de Hubble. Interpretarlo como una edad asume un modelo para la tasa de expansión pasada; no es una edad exacta independiente de modelos. Un $H_0$ más grande da una escala de tiempo recíproca más pequeña. La evidencia de la expansión apoya un universo anterior más denso y caliente; no describe una explosión hacia un centro rodeado de espacio vacío.
Materia oscura se infiere a partir de efectos gravitacionales que la materia visible sola no explica, como la rotación y el movimiento galáctico. No necesita emitir luz detectable. La cantidad de materia gravitante afecta cómo cambia la expansión; por tanto, la incertidumbre en el contenido de materia y el modelo de expansión influye en las predicciones del destino del universo. No infiera que una sola medición de $H_0$ demuestra por sí misma una expansión perpetua o un colapso futuro. Los modelos modernos también consideran la energía oscura; el resultado 171 requiere específicamente comprender la controversia sobre $H_0$, materia oscura, edad y destino, en lugar de memorizar una predicción sin calificaciones.
Compruébalo tú mismo
- ¿Por qué puede aumentar la energía interna sin que aumente la temperatura durante un cambio de fase?
- Una cantidad fija de gas se calienta en un recipiente rígido. ¿Qué escala de temperatura debe usarse para comparar presiones?
- ¿Una mayor energía de enlace por nucleón significa que se necesita menos o más energía para separar cada nucleón en promedio?
- ¿Por qué se debe restar el fondo antes de usar una razón de tasa de conteo o un logaritmo?
- Una línea $a$–$x$ tiene pendiente $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Encuentre la frecuencia angular.
- ¿Por qué la velocidad máxima del MHS es en el equilibrio aunque la aceleración sea cero allí?
- ¿Por qué un puente amortiguado puede ser impulsado a la misma frecuencia pero oscilar con menor amplitud?
- ¿Elevar un satélite a un radio mayor aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria firmada?
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Respuestas: (1) cambia la energía potencial molecular; (2) kelvin; (3) más; (4) el fondo no sigue la ley de desintegración/distancia de la fuente; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) la fuerza restauradora resultante es cero allí pero la energía es mayoritariamente cinética; (7) la mayor pérdida de energía limita la amplitud estable; (8) aumenta hacia cero; (9) enana blanca, pequeña superficie emisora; (10) un lado está desplazado al azul mientras el otro está desplazado al rojo.