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De una señal de teléfono a su batería

Tu teléfono recibe ondas y usa energía eléctrica. Parecen diferentes, pero ambas dependen de transferencia de energía. Las ondas transportan energía sin transportar materia consigo. Un circuito transfiere energía mediante carga en movimiento.

Esta referencia cubre WPH12 Ondas y Electricidad, enunciados del programa 33–80. La prueba dura 90 minutos y vale 80 puntos. Usa la lista de fórmulas para respaldar tu razonamiento. Explica por qué una ecuación se adapta a la situación, muestra conversiones y termina las comparaciones con una conclusión.

Cantidades y gráficas de ondas

Una fuente vibrante repite su movimiento. La amplitud es el desplazamiento máximo desde la posición de equilibrio. Equilibrio significa la posición de reposo. El período $T$ es el tiempo para una vibración completa. La frecuencia $f$ es el número de vibraciones completas por segundo; su unidad es el hercio, Hz.

La longitud de onda $\lambda$ es la distancia entre puntos más cercanos que vibran en fase. La velocidad de la onda $v$ es la velocidad a la que se desplaza una fase fija, como un cresta. No es la velocidad de una partícula vibratoria.

• Una onda transversal tiene vibraciones perpendiculares a su dirección de propagación. Una cuerda se mueve hacia arriba y abajo mientras su perturbación viaja a lo largo de ella.
• Una onda longitudinal tiene vibraciones paralelas a su dirección de propagación. El sonido tiene compresiones, donde la presión y la densidad son mayores, y rarefacciones, donde son menores.
• Las moléculas de aire se mueven de ida y vuelta alrededor de sus posiciones de reposo. No viajan del altavoz a tu oído con el sonido.

Lee primero el eje horizontal

Una gráfica de desplazamiento-distancia es una instantánea. La separación entre crestas vecinas da $\lambda$. Una gráfica de desplazamiento-tiempo sigue a una sola partícula. La separación entre picos vecinos da $T$. La misma forma de curva puede representar cualquiera de las dos gráficas, pero las cantidades son diferentes.

Para una onda longitudinal, una gráfica de presión–distancia muestra compresiones en los máximos de presión. Una gráfica de desplazamiento molecular–distancia muestra el desplazamiento a lo largo de la dirección de propagación. La máxima compresión ocurre donde el desplazamiento cambia más rápidamente hacia las moléculas vecinas. El máximo de presión y el máximo de desplazamiento no están en el mismo lugar; sus patrones están separados por un cuarto de longitud de onda en una onda sonora sinusoidal viajera.

Ejercicio resuelto. Un micrófono registra 12 ciclos completos en $0.030\ \text{s}$. El sonido viaja a $340\ \text{m s}^{-1}$. Encuentra su frecuencia y longitud de onda.

• Datos: número de ciclos, tiempo total y velocidad. La frecuencia cuenta ciclos por segundo; luego la ecuación de la onda vincula la velocidad con la longitud de onda.
  $$f = \frac{N}{t} = \frac{12}{0.030\ \text{s}} = 400\ \text{Hz}$$
  $$v = f\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\ \text{m s}^{-1}}{400\ \text{Hz}} = 0.85\ \text{m}$$
• Verificación: un ciclo dura $T=1/f=0.0025\ \text{s}$. Doce ciclos duran el $0.030\ \text{s}$ indicado.

Superposición y ondas estacionarias

Un frente de onda une puntos en la misma fase. La fase describe la etapa de un ciclo de vibración. Un ciclo completo corresponde a $360^\circ$ o $2\pi$ radianes.

Superposición significa sumar los desplazamientos de ondas superpuestas en cada punto. Interferencia es la refuerzo o cancelación resultante. Fuentes coherentes tienen la misma frecuencia y una diferencia de fase constante. Su diferencia de fase no necesita ser cero.

Para ondas de la misma longitud de onda, la diferencia de fase causada por una diferencia de trayectorias $\Delta x$ es:

Para fuentes inicialmente en fase, diferencias de trayectoria $0,\lambda,2\lambda,\ldots$ dan interferencia constructiva. Diferencias de media longitud de onda entera dan interferencia destructiva. La cancelación completa también requiere amplitudes iguales. Si las fuentes comienzan con una diferencia de fase, inclúyela también.

Ejercicio resuelto. Dos altavoces en fase producen longitud de onda $0.80\ \text{m}$. Sus trayectorias hacia un micrófono difieren en $1.20\ \text{m}$.

• Conocido: diferencia de trayectoria y longitud de onda. Convierta la diferencia de trayectoria en ciclos, luego en fase.
  $$\Delta\phi = \frac{\Delta x}{\lambda}\,360^\circ = \frac{1.20}{0.80}\,360^\circ = 540^\circ$$
• $540^\circ$ es equivalente a $180^\circ$. Las ondas llegan en fase opuesta e interfieren destructivamente. El sonido no necesariamente se silenciará si las amplitudes de llegada difieren.

Cómo se forma una onda estacionaria

Una onda estacionaria se forma cuando dos ondas de la misma frecuencia y amplitud similar viajan en direcciones opuestas y se superponen. La reflexión en un extremo fijo de la cuerda proporciona la onda que regresa.

• Un nodo siempre tiene desplazamiento cero. Un antinodo tiene la mayor amplitud de vibración.
• Los nodos adyacentes están separados $\lambda/2$. Un nodo y su antinodo más cercano están separados $\lambda/4$.
• Los puntos entre el mismo par de nodos vibran en fase. Los puntos en secciones vecinas vibran en fase opuesta.
• Todos los puntos tienen la misma frecuencia, excepto que un nodo no vibra. La amplitud depende de la posición.
• Una onda estacionaria ideal no tiene transferencia neta de energía a lo largo de ella. Una onda viajera transporta energía en su dirección de propagación.

Para una cuerda fija en ambos extremos, la longitud $L$ contiene un número entero $k$ de semilongitudes de onda:

Aquí $T$ es tensión, no periodo; $\mu$ es masa por unidad de longitud en $\text{kg m}^{-1}$. El fundamental tiene $k=1$. En modo fijo, la frecuencia aumenta con $\sqrt{T}$, disminuye con $L$ y disminuye con $\sqrt{\mu}$.

Ejemplo resuelto. Una cuerda $0.60\ \text{m}$ tiene $\mu=1.5\times10^{-3}\ \text{kg m}^{-1}$ y tensión $24\ \text{N}$. Calcule su frecuencia fundamental.

• Conocido: longitud, tensión y densidad lineal. El fundamental ajusta media longitud de onda entre los extremos fijos.
  $$v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{24}{1.5\times10^{-3}}}\ \text{m s}^{-1} = 126\ \text{m s}^{-1}$$
  $$f = \frac{v}{2L} = \frac{126\ \text{m s}^{-1}}{2\times0.60\ \text{m}} = 105\ \text{Hz}$$
• Duplicar la tensión multiplica la frecuencia por $\sqrt{2}$, en lugar de por dos.

Sonido estacionario en un tubo cerrado

En la onda sonora estacionaria más simple en un tubo cerrado en un extremo, el extremo cerrado es un nodo de desplazamiento molecular. El extremo abierto es aproximadamente un antinodo de desplazamiento. Esto ajusta un cuarto de longitud de onda en la longitud efectiva del tubo, por lo tanto $L_{effective}=\lambda/4$. El patrón de presión está invertido: el extremo cerrado es un antinodo de presión. No llame a un nodo de presión como un nodo de desplazamiento. Los tubos reales tienen una pequeña corrección en el extremo abierto; use una longitud efectiva si la pregunta la proporciona.

Ejemplo resuelto. Un tubo cerrado tiene longitud efectiva $0.20\ \text{m}$ y frecuencia fundamental $425\ \text{Hz}$. Las condiciones de extremo dan $\lambda=4L=0.80\ \text{m}$; luego $v=f\lambda=425\times0.80=340\ \text{m s}^{-1}$. Una cuerda fija en ambos extremos en cambio ajusta media longitud de onda en su fundamental. Elija según las condiciones de extremo, no según la palabra “estacionaria”.

Práctica central 4: velocidad del sonido

Utilice un generador de señales, altavoz, micrófono móvil y osciloscopio de dos haces. Conecte un canal del osciloscopio a la señal de referencia del generador y el otro a la salida del micrófono. Ambas trazas tienen la misma frecuencia.

1. Mantenga la frecuencia constante. Desplace el micrófono a lo largo de una línea medida alejándose del altavoz. Encuentre una posición donde las trazas estén en fase.
2. Desplácese a otra posición en fase. Las posiciones consecutivas en fase están separadas por una longitud de onda. Mida a través de varias longitudes de onda y divida entre su número.
3. Lea el periodo en la escala de base de tiempo: cuente divisiones horizontales a través de varios ciclos, luego divida. Calcule $f=1/T$ y utilice $v=f\lambda$.
4. Repita posiciones y frecuencias. Mantenga el micrófono sobre el eje del altavoz. Reduzca el sonido reflejado trabajando lejos de paredes. Mida la posición desde un punto de referencia fijo del micrófono.

Medir varias longitudes de onda reduce la incertidumbre porcentual en la distancia. Medir varios periodos hace lo mismo para el tiempo. Un experimento con tubo de resonancia también puede medir la velocidad del sonido, pero no reemplaza esta práctica especificada.

Práctica central 5: cuerda vibrante

Utilice un generador de vibraciones accionado por un generador de señales. Pase la cuerda sobre una polea hacia una masa colgante. La tensión es aproximadamente $mg$ cuando la fricción de la polea es pequeña. Aumente la frecuencia hasta que se forme un patrón claro de onda estacionaria.

• Investigar la tensión: mantenga $L$, $\mu$ y el modo fijos. Varíe la masa colgante. Grafique $f^2$ frente a $T$; la pendiente para el fundamental es $1/(4L^2\mu)$.
• Investigar la longitud: mantenga la tensión, tipo de cuerda y modo fijos. Grafique $f$ frente a $1/L$.
• Investigar la densidad lineal: mida la masa y la longitud de la cuerda, $\mu=m/l$. Utilice diferentes cuerdas con tensión fija, longitud de vibración y modo fijos. Grafique $f^2$ frente a $1/\mu$.
• Mida la longitud entre los nodos extremos. Encuentre la resonancia desde frecuencias más altas y más bajas y repita. Fije el soporte y manténgase alejado de masas que puedan caer.

Intensidad, refracción y polarización

Intensidad es potencia por unidad de área perpendicular al flujo de energía:

Su unidad es $\text{W m}^{-2}$. Para un receptor, la potencia incidente es $P=IA$. La salida útil es menor si la eficiencia está por debajo de 100%. Convierta el área cuidadosamente: $1\ \text{cm}^2=10^{-4}\ \text{m}^2$.

Ejemplo resuelto. La intensidad de radiación es $800\ \text{W m}^{-2}$ sobre una celda solar de $25\ \text{cm}^2$. La eficiencia es 20%. ¿Puede suministrar $0.50\ \text{W}$?

• Datos conocidos: intensidad, área, eficiencia. Primero calcule la potencia incidente, luego la potencia útil.
  $$P_{\text{in}} = IA = 800\ \text{W m}^{-2}\times25\times10^{-4}\ \text{m}^2 = 2.0\ \text{W}$$
  $$P_{\text{out}} = \eta P_{\text{in}} = 0.20\times2.0\ \text{W} = 0.40\ \text{W}$$
• $0.40\ \text{W}<0.50\ \text{W}$, por lo tanto no puede suministrar la potencia útil requerida.

Refracción y reflexión interna total

Refracción es un cambio en la dirección de la onda cuando cambia la velocidad en una interfaz. Un rayo que entra a lo largo de la normal cambia de velocidad sin cambiar de dirección. La normal es perpendicular a la superficie. Mida todos los ángulos de los rayos desde ella.

El índice de refracción $n$ compara la velocidad de la luz en el vacío $c$ con la velocidad en el material. La frecuencia se mantiene constante a través de la interfaz, por lo que la longitud de onda cambia con la velocidad. Al entrar en un índice más alto $n$, el rayo se desvía hacia la normal; al entrar en uno más bajo $n$, se aleja de ella.

La reflexión interna total requiere viajar de un índice de refracción mayor a uno menor y una incidencia superior al ángulo crítico $C$.

En $C$ el ángulo de refracción es $90^\circ$; si la incidencia supera $C$ se produce reflexión interna total. Por debajo de $C$, parte de la energía se refleja normalmente y otra se transmite. Una fibra óptica utiliza un núcleo de índice alto y un revestimiento de índice bajo. Aumentar el índice del revestimiento eleva el ángulo crítico y puede impedir que un rayo previamente reflejado quede atrapado.

Ejemplo resuelto. La luz viaja desde vidrio de índice 1.50 hacia el aire. ¿Un ángulo de incidencia de $45^\circ$ produce reflexión interna total?

• Datos: los dos índices y el ángulo de incidencia. Calcular el ángulo límite antes de comparar.
  $$C = \sin^{-1}\left(\frac{n_2}{n_1}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{1.00}{1.50}\right) = 41.8^\circ$$
• La luz viaja hacia un índice menor y $45^\circ>41.8^\circ$. Se cumplen ambas condiciones, por lo tanto ocurre reflexión interna total.

Medición del índice de refracción

Coloque un bloque rectangular transparente sobre papel y trace su contorno. Utilice un haz estrecho de caja de rayos. Marque dos puntos en el rayo incidente y dos en el rayo emergente. Retire el bloque y una los puntos de la interfaz para reconstruir el rayo dentro. Dibuje la normal en la entrada y mida la incidencia $i$ y la refracción $r$ con un transportador.

Repite para varios ángulos de incidencia, manteniendo el mismo material y color de luz. Grafica $\sin i$ verticalmente frente a $\sin r$ horizontalmente. Para aire hacia el bloque, la pendiente es el índice de refracción del bloque relativo al aire. Usa un triángulo grande sobre una recta de mejor ajuste. Haz de haz estrecho y separa bien las marcas de rayo para reducir la incertidumbre direccional. Ángulos muy pequeños dan grandes incertidumbres porcentuales angulares.

Polarización plana

La polarización plana restringe las vibraciones transversales a un solo plano que contiene la dirección de propagación. La luz no polarizada tiene vibraciones en muchos planos. Un polarizador transmite una dirección de vibración. Gire un segundo polarizador: direcciones de transmisión paralelas dan máximo brillo; direcciones perpendiculares dan idealmente oscuridad. El rayo sigue avanzando; su dirección de vibración selecciona la orientación.

Las ondas longitudinales no pueden ser polarizadas planas porque su vibración ya está alineada con la propagación. Por tanto, la polarización es evidencia de que la luz es transversal.

Difracción y eco de pulso

La difracción es la expansión de las ondas en una abertura o borde. La expansión es mayor cuando el ancho de la abertura es comparable a la longitud de onda. Una abertura ancha difracta aún en sus bordes, pero la onda central se expande menos.

En la construcción de Huygens, cada punto en un frente de onda actúa como fuente de ondículas secundarias. Dibuje ondículas de radio igual después del mismo tiempo. Su tangente común hacia adelante da el nuevo frente de onda. En una abertura estrecha solo una pequeña parte del frente original suministra ondículas, por lo que los frentes emergentes se expanden ampliamente. Esto explica la expansión sin inventar un cambio de frecuencia en la rendija.

Rejillas y práctica fundamental 6

Una red de difracción contiene muchas rendijas igualmente espaciadas. Los máximos brillantes ocurren cuando las contribuciones de rendijas vecinas llegan en fase:

Aquí $k$ es el orden entero, $d$ es el espaciamiento entre rendijas y $\theta$ se mide desde la dirección de transmisión directa. La ecuación asume incidencia normal. Si la red tiene $N$ líneas por metro, $d=1/N$. No confunda el orden de la red con el índice de refracción; los documentos impresos pueden usar $n$ para cualquiera de los dos.

Ejemplo resuelto. Una red tiene 600 líneas por milímetro. La luz de primer orden aparece a $18.0^\circ$. Calcule su longitud de onda.

• Conocido: densidad de líneas y ángulo de primer orden. Convierta la densidad de líneas antes de tomar su recíproco.
  $$d = \frac{1}{N} = \frac{1}{600\times10^3\ \text{m}^{-1}} = 1.67\times10^{-6}\ \text{m}$$
  $$\lambda = \frac{d\sin\theta}{k} = \frac{1.67\times10^{-6}\ \text{m}\times\sin18.0^\circ}{1} = 5.15\times10^{-7}\ \text{m}$$
• Esta es $515\ \text{nm}$. Verifique cada orden superior propuesto usando $k\lambda/d\leq1$.

Para CP6, apunte un láser de baja potencia normalmente hacia una red y coloque una pantalla perpendicular al haz central. Mida la distancia de la pantalla $D$ y el desplazamiento $x$ desde el punto central hasta un orden. Use $\tan\theta=x/D$, luego la ecuación de la red. Promedie los desplazamientos izquierdo/derecho correspondientes, repita las mediciones de distancia y utilice órdenes visibles superiores donde la medición sea clara. Mida desde la red hacia la pantalla, no desde la carcasa del láser. No sustituya $\sin\theta=x/D$ a menos que una aproximación de ángulo pequeño justificada sea aceptable. Nunca mire directamente al haz; manténgalo por debajo del nivel de los ojos y bloquee los haces dispersos.

Los electrones también muestran comportamiento ondulatorio

Un haz de electrones que pasa a través de un cristal fino produce un patrón de difracción. El espaciamiento regular de átomos proporciona la estructura difractante. Cambiar el momento del electrón cambia el espaciamiento del patrón. Esto es evidencia de comportamiento ondulatorio; las partículas que viajan solo en trayectorias rectas simples no pueden explicar los máximos de difracción.

La longitud de onda de de Broglie es:

Para un electrón no relativista, $p=mv$. Si gana energía cinética cruzando una diferencia de potencial, $E_k=eV$ y $p=\sqrt{2mE_k}$. Utilice estos enlaces solo cuando la pregunta proporcione o requiera esa relación energética.

Ejemplo resuelto. Un electrón tiene momento $2.0\times10^{-24}\ \text{kg m s}^{-1}$. Con $h=6.63\times10^{-34}\ \text{J s}$:

Aumentar el momento reduce la longitud de onda. Los electrones tienen tanto propiedades de partícula como de onda; la difracción no significa que un electrón se convierta en una onda sonora.

Reflexión, transmisión y ecos

En una interfaz, parte de la energía de una onda puede ser transmitida y parte reflejada. Un pulso reflejado puede localizar un límite. En pulso-eco, el retardo medido incluye los viajes de ida y regreso:

Ejemplo resuelto. El ultrasonido viaja en metal a $5900\ \text{m s}^{-1}$. Un eco regresa después de $12\ \mu\text{s}$.

El límite está a $35\ \text{mm}$ de distancia, no a $71\ \text{mm}$. Un eco cercano puede superponerse al pulso transmitido. Una duración de pulso más corta reduce esta región ciega y separa ecos cercanos. Una longitud de onda más corta ayuda a detectar o distinguir características más pequeñas. Estos son límites relacionados, pero la duración del pulso y la longitud de onda no son la misma cantidad. Use la velocidad en el material real, no automáticamente la velocidad en el aire.

Fotones y efecto fotoeléctrico

Las ideas de ondas explican la interferencia, la difracción y la polarización. No explicaron todas las observaciones de transferencia de energía. Los fotones describen paquetes discretos de energía electromagnética:

Históricamente, la interferencia y la difracción apoyaron modelos ondulatorios de la luz. Las ideas cuánticas se desarrollaron para explicar observaciones incluyendo el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos. La física moderna utiliza tanto descripciones de onda como fotónica según la medición. Un nuevo modelo exitoso debe explicar la evidencia que el modelo antiguo también explica.

Un fotón y un electrón

En el efecto fotoeléctrico, un electrón superficial absorbe un fotón y puede escapar. La función de trabajo $\phi$ es la energía mínima necesaria para extraer un electrón de la superficie. La frecuencia umbral es $f_0=\phi/h$.

• Por debajo del umbral, aumentar la intensidad no provoca emisión en el modelo de un solo fotón.
• Por encima del umbral, una mayor frecuencia aumenta la energía cinética máxima. Una gráfica de $E_{k,\max}$ frente a $f$ tiene una pendiente de $h$, una intersección con el eje de frecuencia en $f_0$ y una intersección extrapolada con el eje de energía en $-\phi$.
• A frecuencia fija por encima del umbral, una mayor intensidad proporciona más fotones por segundo. Pueden emitirse más electrones por segundo, por lo que aumenta la corriente fotoeléctrica de saturación. Su energía cinética máxima no aumenta.
• La emisión comienza sin el retraso de acumulación de energía predicho por un modelo simple de ondas continuas, incluso a baja intensidad por encima del umbral.
• Los electrones escapan con una gama de energías cinéticas. Algunos pierden más energía dentro del material. La ecuación describe la energía máxima, no la energía de cada electrón.

El electrón-voltio es una unidad de energía: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. No es una unidad de diferencia de potencial. Un potencial de frenado $V_s$ impide que los fotoelectrones más rápidos alcancen el colector, por lo que $eV_s=E_{k,\max}$.

Ejemplo resuelto. Luz de frecuencia $8.0\times10^{14}\ \text{Hz}$ incide sobre una superficie con función de trabajo $2.0\ \text{eV}$.

• Datos conocidos: frecuencia del fotón y función de trabajo. Convierta la función de trabajo a julios antes de restar.
  $$\phi = 2.0\times1.60\times10^{-19}\ \text{J} = 3.20\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$E_{k,\max} = hf-\phi = 6.63\times10^{-34}\ \text{J s}\times8.0\times10^{14}\ \text{Hz}-3.20\times10^{-19}\ \text{J} = 2.10\times10^{-19}\ \text{J}$$
  $$V_s = \frac{E_{k,\max}}{e} = \frac{2.10\times10^{-19}\ \text{J}}{1.60\times10^{-19}\ \text{C}} = 1.3\ \text{V}$$
• La energía cinética positiva confirma que esta frecuencia está por encima del umbral. Una resta negativa significaría que no hay emisión, no energía cinética negativa.

Espectros de líneas atómicas

Los átomos tienen niveles de energía discretos. Un electrón que desciende entre dos niveles permitidos emite un fotón. Ascender requiere la absorción de esa energía exacta:

Un espectro de líneas tiene frecuencias específicas porque solo se permiten ciertas diferencias de nivel. La mayor diferencia descendente da la frecuencia más alta y la longitud de onda más corta. Cuente las posibles transiciones verificando pares de niveles y qué niveles superiores están poblados; no cuente automáticamente el número de niveles como el número de líneas.

Ejemplo resuelto. Un electrón cae de $-2.0\ \text{eV}$ a $-5.0\ \text{eV}$.

La absorción de fotones en un material no always expulsa un electrón de su superficie. La excitación seguida de emisión, como en un material sensible a la luz, no es necesariamente el efecto fotoeléctrico.

Corriente, resistencia y circuitos

Corriente es la tasa de flujo de carga. La corriente convencional sigue la dirección en la que se moverían las cargas positivas. En un metal, los electrones se desplazan en dirección opuesta.

Un amperio es un coulomb por segundo. La diferencia de potencial $V$ es la energía transferida por unidad de carga entre dos puntos. La resistencia $R$ se define por la razón $V/I$ en un punto de operación. La ley de Ohm es la condición adicional $I\propto V$ cuando la temperatura y otras condiciones físicas permanecen constantes. No todos los resistores o componentes la cumplen.

Ejemplo resuelto. Una corriente de $0.40\ \text{A}$ fluye durante $30\ \text{s}$. Calcule el número de electrones que pasan por un punto.

La conservación establece las reglas del circuito

Conservación de la carga significa que la carga no se acumula en una unión con corriente continua. La corriente total entrante es igual a la corriente total saliente. La corriente no se consume en un resistor.

Conservación de la energía significa que la energía total suministrada por coulomb alrededor de un bucle completo es igual a la energía transferida por coulomb. La suma de los aumentos de voltaje es igual a la suma de las caídas de voltaje.

Para resistencias en serie, la misma corriente pasa a través de cada una y sus diferencias de potencial se suman:

Para resistencias en paralelo, cada una tiene la misma diferencia de potencial (p.d.) y las corrientes de las ramas se suman:

Una combinación en paralelo tiene menor resistencia que la resistencia más pequeña de sus ramas. Un voltímetro se conecta en paralelo a través de un componente; un voltímetro ideal tiene resistencia infinita. Un amperímetro se conecta en serie; un amperímetro ideal tiene resistencia cero.

Ejemplo resuelto. Una resistencia de $6.0\ \Omega$ está en paralelo con otra de $3.0\ \Omega$. La combinación está en serie con una resistencia de $4.0\ \Omega$ conectada a través de $12\ \text{V}$.

• Conocido: configuración del circuito. Reducir primero la sección en paralelo, luego aplicar la regla de serie.
  $$R_p = \left(\frac{1}{6.0}+\frac{1}{3.0}\right)^{-1}\ \Omega = 2.0\ \Omega$$
  $$I = \frac{V}{R_p+R_s} = \frac{12\ \text{V}}{(2.0+4.0)\ \Omega} = 2.0\ \text{A}$$
  $$V_p = IR_p = 2.0\ \text{A}\times2.0\ \Omega = 4.0\ \text{V}$$
  $$I_{6} = \frac{V_p}{6.0\ \Omega} = 0.67\ \text{A} \qquad I_{3} = \frac{V_p}{3.0\ \Omega} = 1.33\ \text{A}$$
• Verificación: las corrientes de rama se suman a $2.0\ \text{A}$. El resistor restante en serie tiene una caída de $8.0\ \text{V}$.

Potencia y gráficos de componentes

Potencia eléctrica es la energía transferida por segundo. Sustituyendo $V=IR$ en $P=VI$ se obtienen las otras formas:

Use el voltaje a través de, y la corriente a través del mismo componente. Las formas de resistencia aplican a su resistencia en el punto de operación; no asuma que una lámpara incandescente tiene resistencia constante.

• Conductor óhmico a temperatura constante: línea recta que pasa por el origen. En un gráfico vertical de $I$ y horizontal de $V$, su pendiente es $1/R$.
• Lámpara incandescente: al aumentar la magnitud del voltaje, el aumento de calentamiento incrementa la resistencia. La curva $I$–$V$ se vuelve menos inclinada.
• Termistor NTC: el calentamiento reduce la resistencia. Si la corriente lo calienta suficientemente, la curva se vuelve más inclinada. A una temperatura fija controlada, su comportamiento sobre un rango adecuado puede ser aproximadamente óhmico. No afirme que toda curva de termisor debe curvarse bajo todas las condiciones de medición.
• Diodo: corriente inversa muy pequeña antes de la ruptura; la corriente directa aumenta rápidamente después de una rodilla característica. Conduce principalmente en una dirección. Un diodo real no tiene una resistencia constante única.

Para un gráfico curvo, $R=V/I$ usa una línea desde el origen hasta el punto de operación. La pendiente de la tangente generalmente no es $1/R$.

Resistividad y práctica central 7

Resistividad $\rho$ es una propiedad del material a una temperatura dada:

Alargar un alambre uniforme aumenta la resistencia. Aumentar el área transversal la disminuye. Duplicar el diámetro da cuatro veces el área y un cuarto de la resistencia, si el material, la longitud y la temperatura permanecen invariables.

Para CP7, conecte en serie un alambre uniforme, un amperímetro, una fuente de alimentación, un interruptor y un resistor limitador de corriente. Conecte un voltímetro en paralelo con la longitud medida del alambre. Muestre varias longitudes y determine $R=V/I$ para cada una. Grafique $R$ frente a $l$: pendiente $=\rho/A$, por lo tanto $\rho=A\times\text{gradient}$.

Mida el diámetro con un micrómetro en varias posiciones y orientaciones; verifique su cero. Mida la longitud entre los contactos eléctricos reales. Utilice una corriente pequeña y apague el interruptor entre lecturas para limitar el calentamiento. Mantenga los contactos firmes. Una intercepción no nula puede indicar resistencia de contacto o de cables. Repetir las lecturas reduce la dispersión pero no elimina un error de cero en el diámetro. Como el área depende de $d^2$, una pequeña incertidumbre porcentual en el diámetro contribuye aproximadamente el doble de ese porcentaje a la incertidumbre del área.

Ejemplo resuelto. El diámetro de un alambre es $0.40\ \text{mm}$. Una gráfica de $R$–$l$ tiene una pendiente de $3.5\ \Omega\,\text{m}^{-1}$.

El modelo de portadores de carga

La velocidad de deriva $v$ es la pequeña velocidad media dirigida de los portadores de carga, no su velocidad térmica aleatoria:

Aquí $n$ es el número de portadores móviles por unidad de volumen, $q$ es la magnitud de carga por portador, y $A$ es el área transversal. Una mayor densidad de portadores permite la misma corriente con menor velocidad de deriva. En alambres en serie, la corriente es la misma; cambiar $n$ o $A$ cambia $v$.

Los materiales tienen diferentes resistividades debido a que sus densidades de portadores y la facilidad de movimiento de los portadores difieren. Más dispersión reduce la velocidad de deriva para el mismo gradiente de potencial aplicado. La densidad de portadores sola no explica todas las diferencias entre materiales.

Divisores de potencial, sensores y celdas

A lo largo de un alambre uniforme que transporta corriente estable a temperatura constante, la resistencia crece proporcionalmente a la distancia. Por tanto, la caída de potencial también crece proporcionalmente a la distancia. Una gráfica de potencial–distancia es recta. Esto asume material y área uniformes; un alambre cónico o con calentamiento desigual puede no dar una línea recta.

Un divisor de potencial utiliza resistencias en serie para compartir un voltaje de suministro:

La expresión asume que la salida no está cargada, o que la carga conectada extrae una corriente despreciable. Si una carga extrae corriente significativa, combínela en paralelo con el resistor de salida primero. Identifique siempre qué resistor abarca el voltímetro.

Ejemplo resuelto. Una fuente de $6.0\ \text{V}$ alimenta un resistor fijo de $2.0\ \text{k}\Omega$ sobre un LDR. Calcule la salida sobre el LDR cuando su resistencia cambie de $4.0$ a $1.0\ \text{k}\Omega$.

La salida sobre este LDR disminuye cuando aumenta la iluminación. La salida sobre el resistor fijo aumenta. Explique la salida nombrada, no solo “el voltaje cambia”.

Explique sensores usando portadores

En un metal, calentar aumenta las vibraciones de la red cristalina. Los electrones de conducción se dispersan con más frecuencia. El número de electrones móviles permanece aproximadamente constante, pero la velocidad de deriva a un gradiente de potencial dado disminuye, por lo que la resistencia aumenta.

En un termistor de coeficiente de temperatura negativo, calentar libera más portadores móviles. El aumento de densidad de portadores domina, por lo que la resistencia disminuye. Evite decir que calentar reduce las vibraciones de la red.

En una resistencia dependiente de la luz (LDR), la luz absorbida libera portadores móviles adicionales. El aumento de iluminación eleva la densidad de portadores y reduce la resistencia. No necesita funcionar mediante electrones que salen de su superficie.

Para explicaciones vinculadas, proporciona la cadena completa: cambio ambiental → cambio en portadores/dispersión → cambio en resistencia → cambio en fracción del divisor → cambio en salida nombrada. Mantén el arreglo del circuito en mente durante todo el proceso.

F.e.m., resistencia interna y práctica central 8

Fuerza electromotriz $\mathcal{E}$ es la energía suministrada por la fuente por unidad de carga. Se mide en voltios, a pesar de su nombre. La resistencia interna $r$ causa transferencia de energía dentro de la fuente cuando circula corriente. La p.d. terminal es la energía por coulomb disponible para el circuito externo:

La fuente suministra potencia $\mathcal{E}I$, el circuito externo recibe $VI$, y el calentamiento interno es $I^2r$. Estos se suman consistentemente. Con corriente despreciable, la diferencia de potencial terminal se aproxima a la f.e.m.

Para CP8, conecta una pila, amperímetro, carga variable e interruptor en serie. Conecta un voltímetro de alta resistencia entre los terminales de la pila. Varía la resistencia externa y registra pares de $V$ y $I$. Grafica $V$ verticalmente contra $I$ horizontalmente. La línea de mejor ajuste tiene intercepto $\mathcal{E}$ y pendiente $-r$. Toma la magnitud de la pendiente para $r$.

Usa varias configuraciones y repite. Abre el interruptor entre lecturas, evita resistencias de carga muy pequeñas y mantén la temperatura y estado de carga de la celda lo más estables posible. Nunca cortocircuites la celda. Una gráfica curva puede indicar resistencia interna o f.e.m. variables; no fuerces un único $r$ sobre ella sin discutir la limitación.

Ejemplo resuelto. Una gráfica de pila pasa por $(0.20\ \text{A},1.40\ \text{V})$ y $(0.60\ \text{A},1.20\ \text{V})$.

• Datos conocidos: dos puntos en la línea de mejor ajuste. La pendiente de $V=\mathcal{E}-Ir$ es $-r$.
  $$r = -\frac{\Delta V}{\Delta I} = -\frac{1.20-1.40}{0.60-0.20}\ \Omega = 0.50\ \Omega$$
  $$\mathcal{E} = V+Ir = 1.40\ \text{V}+0.20\ \text{A}\times0.50\ \Omega = 1.50\ \text{V}$$
• Verifica usando el segundo punto: $1.20+0.60\times0.50=1.50\ \text{V}$ también. La diferencia de potencial terminal disminuye al aumentar la corriente.

Compruébalo tú mismo

Usa la hoja de ejercicios de emparejamiento después de cada sección: 2.1 gráficos de ondas; 2.2 ondas estacionarias; 2.3 refracción; 2.4 difracción; 2.5 fotones; 2.6 circuitos; 2.7 divisores y pilas.

Antes de usar un conjunto de exámenes anteriores, verifica que puedas:

• leer un eje e identificar si indica longitud de onda, periodo, presión o desplazamiento;
• explicar una práctica con equipos, mediciones, variables controladas, gráfico y precauciones;
• distinguir fase de amplitud, y frecuencia de fotón de tasa de llegada de fotones;
• derivar combinaciones de circuitos a partir de la conservación de carga y energía;
• explicar un circuito sensor como una cadena causal conectada;
• usar una comparación real para terminar "deduce si", con unidades y una conclusión clara.

Los papeles revisados de enero y junio 2025 proporcionan ejemplos auténticos, pero no prueban todos los requisitos. La práctica original rellena los vacíos docentes. Completar un papel muestreado solo no demuestra cobertura total del programa.

Un número necesita un método

Dos grupos miden el mismo alambre. Sus valores difieren. ¿A cuál debes confiar? No basta con el número final: importa el instrumento, el método, las lecturas repetidas y la incertidumbre.

WPH13 Habilidades prácticas en Física I es un examen escrito sobre trabajo práctico de las Unidades 1–2. Dura 80 minutos y tiene 50 puntos. Todas las preguntas son obligatorias. Al menos 20 puntos evalúan matemáticas a nivel 2 o superior. Esta guía apoya el trabajo de laboratorio real; leerla no sustituye realizar mediciones por cuenta propia.

Las tres hojas de habilidades siguen el proceso: planificar una investigación válida, recopilar y registrar mediciones, luego procesar resultados y justificar conclusiones. La especificación oficial proporciona listas de habilidades en lugar de enunciados de conocimiento numerados para esta unidad.

Planificación de una investigación válida

Una medición válida mide lo que se pretende medir. Un cronómetro preciso no sirve si cronometra el evento equivocado.

Comience nombrando la variable independiente que cambia y la variable dependiente que mide. Enumere las variables de control que también podrían afectar a la variable dependiente. Explique cómo mantendrá cada una importante constante.

Convertir una descripción en un método utilizable

Un método requiere:

• aparatos nombrados, con rango de medición adecuado y resolución;
• una disposición que muestre dónde se toman las mediciones;
• pasos que otro estudiante pueda seguir, incluyendo los eventos de inicio y fin;
• varios ajustes de variable independiente dentro de un rango útil;
• repeticiones para probar la estabilidad y estimar la variación;
• un cálculo o gráfico que responda a la pregunta de investigación;
• fuentes específicas de incertidumbre y mejoras;
• riesgos reales con una forma práctica de reducir cada uno.

No escriba solo "tomar lecturas" o "usar mejor equipo". Nombre la lectura, el instrumento y qué cambia la mejora.

Ejemplo de planificación resuelto: frecuencia del hilo y tensión

Investigar cómo depende la frecuencia fundamental de la tensión en un hilo.

• Usar un generador de vibraciones y un generador de señales. Pase el hilo sobre una polea hacia un portamasa.
• Cambiar la masa colgante $m$. Con una polea de movimiento libre, la tensión es aproximadamente $T=mg$.
• Medir la longitud vibrante entre los nodos extremos. Utilizar la misma cuerda y mantener esa longitud fija.
• Ajustar la frecuencia para el fundamental cada vez. El mismo modo es una variable de control, no un detalle opcional.
• Medir la masa y la longitud total de la cuerda para hallar la densidad lineal $\mu$. Mantenerla inalterada en esta investigación.
• Registrar varias tensiones y sus frecuencias resonantes. Repetir el ajuste cerca de cada resonancia.

El modelo para el fundamental es:

Una gráfica de $f^2$ verticalmente contra $T$ horizontalmente debería ser recta y pasar por el origen. Un triángulo grande permite determinar la pendiente. Fijar bien el soporte y mantener los pies alejados de las masas que puedan caer. Esto es más preciso que decir “tener cuidado”.

Calibración y verificación de cero

La calibración verifica un instrumento frente a valores de referencia conocidos. Un error de cero ocurre cuando no marca cero en la condición correcta. Verificar las mandíbulas cerradas de un micrómetro o una balanza vacía antes de medir.

Si un micrómetro marca $+0.03\ \text{mm}$ con las mandíbulas correctamente cerradas, restar $0.03\ \text{mm}$ a cada lectura subsiguiente. Repetir la medición sola no elimina ese desplazamiento. Una verificación de cero no puede demostrar que todos los puntos de la escala están calibrados correctamente.

Rango, espaciado y repeticiones

Elegir un rango suficientemente amplio para revelar la relación. Varias mediciones agrupadas cerca de un solo ajuste pueden dar una mala pendiente. Usar más ajustes cerca de un punto de inflexión si se necesita localizar un máximo con precisión.

Las repeticiones son útiles cuando las condiciones pueden reproducirse. Muestran la dispersión y ayudan a identificar lecturas inestables. Sin embargo, lecturas repetidas de una pila descargándose o de un hilo calentándose pueden derivar porque las condiciones cambian. Reducir la corriente, apagar entre lecturas, controlar la temperatura o restaurar las condiciones. No promediar una deriva como si fuera variación aleatoria.

Controlar la causa real

Al variar el ángulo de una lámpara sobre una célula solar, mantener fijas la distancia lámpara-célula y la salida de la lámpara. Controlar la luz ambiental, por ejemplo con escudo o habitación oscura. Mantener la misma célula y carga. De lo contrario, un cambio en la potencia medida podría provenir de la distancia, la iluminación o la resistencia del circuito en lugar del ángulo.

Discutir el contexto usando una causa física. Un panel solar de seguimiento puede permanecer más cerca de la incidencia normal y recolectar más energía durante el día. Su motor también consume energía y añade costo o mantenimiento. “Mejor para el medio ambiente” solo no explica ninguno de los efectos.

Medición y registro

La exactitud describe la cercanía al valor verdadero. La precisión describe cuán agrupados están los valores repetidos. Resultados muy agrupados pueden compartir todos un desplazamiento sistemático.

• La reproductibilidad se refiere a resultados similares usando el mismo operador y método en un corto período.
• La reproducibilidad se refiere a resultados similares obtenidos por diferentes operadores, aparatos o métodos.
• Los efectos aleatorios causan variaciones impredecibles. Repetir las mediciones y tomar un promedio puede reducir su influencia.
• El error sistemático desplaza los resultados de manera consistente. Corrija la causa o el desplazamiento conocido; repetir no lo elimina.
• La incertidumbre es un intervalo razonable asociado a una medición. No es necesariamente un error ni el tamaño conocido del mismo.

Lea los instrumentos según su resolución

Una regla milimétrica tiene un intervalo mínimo de $1\ \text{mm}$. Las pinzas vernier estándar especificadas tienen una resolución de $0.1\ \text{mm}$, y el micrómetro estándar tiene una resolución de $0.01\ \text{mm}$. Revise el instrumento mostrado: una pantalla digital u otra escala pueden tener una resolución diferente.

Para un micrómetro, sume la lectura visible del tambor y la del tamborillo. Incluya la marca media milímetro visible en el tambor cuando corresponda. Use el trinquete para mantener una presión de contacto constante, en lugar de apretar excesivamente las mordazas.

Para las pinzas vernier, lea la escala principal justo antes del cero vernier, luego agregue la división vernier alineada multiplicada por su resolución. Verifique que las mordazas contacten las superficies deseadas sin inclinarse. No infiera una escala faltante a partir de una descripción textual extraída: lea directamente el diagrama del instrumento.

Ejemplo resuelto. La última marca visible del tambor es $4.5\ \text{mm}$. La división del tamborillo 23 está alineada con la línea de referencia. La resolución es $0.01\ \text{mm}$ y el error de cero es $+0.02\ \text{mm}$.

Técnicas de geometría y cronometraje

Evite la paralaje observando la escala siguiendo la línea de visión correcta. Use un cartabón para transferir una altura o posición a una regla. Mantenga la regla paralela a la distancia medida; una regla inclinada mide una distancia diferente.

Un portaelectrodo óptico mide el tiempo de bloqueo de un objeto interruptor. Con una longitud de interrupción conocida $l$, la velocidad es $v=l/t$. Esto proporciona la velocidad durante el paso, pero no la aceleración por sí sola. Para hallar la aceleración, mida un cambio de velocidad sobre un tiempo conocido, o use una ecuación de movimiento justificada con cantidades adicionales medidas. No llame $l/t$ aceleración.

Un video con una tasa de fotogramas conocida puede reducir la incertidumbre del tiempo de reacción. Cuente los fotogramas entre eventos claramente definidos de inicio y fin, luego use $t=N/f_{\text{frame}}$. El intervalo entre fotogramas limita la resolución temporal. Las imágenes borrosas o posiciones de evento poco claras aún pueden limitar el resultado.

Tablas y cifras significativas

Coloque la magnitud y la unidad juntas en cada encabezado de columna, por ejemplo $l/\text{mm}$. Registre las mediciones crudas con decimales que coincidan con la resolución del instrumento. No añada dígitos extras que el instrumento no pueda resolver.

Todos estos tienen dos decimales. Una media calculada puede conservarse con más dígitos durante el proceso, luego reportarse de forma adecuada. Los valores procesados para graficar suelen darse con tres cifras significativas, a menos que la pregunta o los datos requieran lo contrario. No mezcle $5.1$, $5.24$ y $5.180$ como si provinieran de una misma pantalla sin cambios.

Una lectura anómala no sigue el patrón. Verifique la lectura, el método y repita la medición si es posible. No elimine silenciosamente el valor menos conveniente. Una anomalía sospechosa necesita una justificación y una decisión registrada.

Incertidumbre en esta unidad

Para una sola lectura, este programa utiliza la mitad de la resolución del instrumento como estimación básica de incertidumbre absoluta. Esto no significa que la resolución sea la única fuente de incertidumbre. Un punto final mal definido, el tiempo de reacción o un alineamiento incorrecto pueden aumentar la incertidumbre.

Ejemplo resuelto. Una balanza muestra $135.0\ \text{g}$ con una resolución de $0.1\ \text{g}$.

Para valores repetidos, el programa utiliza mitad del rango como estimación de incertidumbre:

Ejemplo resuelto. Los tiempos repetidos son $5.12$, $5.24$, $5.18$ y $5.20\ \text{s}$.

Informe sobre $(5.19\pm0.06)\ \text{s}$. Mantenga la media sin redondear en el cálculo porcentual. La dispersión de las repeticiones es mucho mayor que medio centésimo de segundo, por lo que citar solo la resolución de la pantalla omitiría la variación observada.

La unidad 3 no requiere combinar incertidumbres porcentuales en una cantidad calculada. Si se proporciona una incertidumbre para esa cantidad, utilícela directamente. No introduzca una regla avanzada de propagación como requisito aquí.

Gráficas y procesamiento de resultados

Elija escalas que muestren los datos

Lea qué cantidad corresponde a cada eje. Utilice etiquetas claras de cantidad/unidad y escalas regulares. Use una gran parte de la cuadrícula disponible; evite intervalos complicados difíciles de subdividir. Ningún eje necesita comenzar siempre en cero, pero no oculte si una relación proporcional propuesta pasa por el origen.

Trace cruces pequeñas con precisión. Dibuje una línea recta de mejor ajuste o curva suave según la relación. No una puntos ruidosos con una línea zigzag a menos que la pregunta lo solicite. Una línea recta de mejor ajuste equilibra la dispersión en lugar de pasar por todos los puntos.

Convertir una pendiente en una constante física

Para una línea $y=mx+c$, identifique qué parte de la ecuación física coincide con $m$ y $c$. Una línea recta no demuestra proporcionalidad directa si su ordenada al origen es distinta de cero.

Ejemplo resuelto. Un cable sigue $R=(\rho/A)l+R_0$. Una línea de mejor ajuste pasa por $(0.20\ \text{m},1.20\ \Omega)$ y $(1.00\ \text{m},4.40\ \Omega)$.

• Conocido: dos puntos ampliamente separados en la línea ajustada. Por qué: la pendiente es igual a $\rho/A$.
  $$m = \frac{\Delta R}{\Delta l} = \frac{4.40-1.20}{1.00-0.20}\ \Omega\,\text{m}^{-1} = 4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}$$
  $$R_0 = R-ml = 1.20\ \Omega-4.00\ \Omega\,\text{m}^{-1}\times0.20\ \text{m} = 0.40\ \Omega$$

Si $A=1.0\times10^{-7}\ \text{m}^2$, la resistividad es:

La ordenada al origen fija puede representar resistencia de contacto o de cables. Dividir una medición de $R$ por $l$ incluiría ese desplazamiento y daría la pendiente incorrecta.

Los factores de escala pertenecen a la pendiente

Suponga que un eje está etiquetado con $f/\text{MHz}$. Una pendiente leída de ese gráfico tiene MHz en sus unidades. Convierta a Hz antes de usar las constantes SI. Un gráfico de $f$ frente a $\sin\theta$ tiene un eje horizontal adimensional; por lo tanto, su pendiente tiene unidades de frecuencia. Use el modo grados si el ángulo medido está en grados.

Si una ecuación proporcionada es $f=(v/\lambda)\sin\theta$, un gráfico de $f$ frente a $\sin\theta$ tiene una pendiente de $v/\lambda$. Reorganice $v=\lambda\times\text{gradient}$. No asuma que toda gráfica de frecuencia tiene una pendiente igual a la velocidad.

Curvas, máximos y mejoras específicas

Un rango amplio primero localiza un máximo. Luego tome lecturas más espaciadas cerca de esa región. Repetir un punto no localiza el máximo entre los puntos existentes. Mantenga estables las demás condiciones y considere la dispersión al citar el mejor ángulo o resistencia.

Para un experimento de movimiento, un cartabón puede mejorar la medición de distancia horizontal. Para un experimento de lámpara, un recinto oscuro puede reducir la iluminación ambiental variable. Para un experimento de resonancia, acerque el sonido más fuerte desde frecuencias más altas y más bajas y repita. Cada mejora aborda una limitación nombrada.

Conclusiones respaldadas por la incertidumbre

Un valor con incertidumbre describe un intervalo. Compare ese intervalo con el valor propuesto, luego indique lo que la evidencia respalda. La concordancia dentro de la incertidumbre no demuestra que un material o modelo esté únicamente identificado.

Ejemplo resuelto. Una densidad medida es $8.90\ \text{g cm}^{-3}$ con una incertidumbre porcentual de $0.9\%$. ¿Podría concordar con un valor propuesto de $8.94\ \text{g cm}^{-3}$?

El intervalo es aproximadamente de $8.82$ a $8.98\ \text{g cm}^{-3}$. El valor propuesto se encuentra dentro de él, por lo que la medición es consistente con ese valor. No demuestra que el objeto tenga esa composición.

Si dos predicciones del modelo se encuentran ambas dentro del intervalo, los datos no las distinguen. Reduzca la incertidumbre dominante o agregue una medición diferente antes de reclamar una identificación única.

Compruébalo tú mismo

Antes de intentar resolver un problema práctico escrito, verifique que pueda:

• transformar nombres de aparatos en un método utilizable con controles y una ruta de procesamiento;
• leer la resolución y corregir un desplazamiento en cero conocido;
• distinguir exactitud, precisión, repetibilidad y reproducibilidad;
• calcular una media, semirango e incertidumbre porcentual;
• graficar datos, usar un triángulo de pendiente grande e interpretar una intersección;
• convertir una incertidumbre proporcionada en un intervalo y dar una conclusión justificada;
• vincular cada mejora con el problema de medición que realmente reduce.

De una colisión a un acelerador de partículas

Un parachoques de automóvil y un detector de partículas parecen muy diferentes. Ambos usan momento y fuerzas. Esta unidad sigue esas ideas hacia el movimiento circular, campos eléctricos, campos magnéticos e interacciones de partículas.

WPH14 evalúa los requisitos 81–124 de la especificación del Tema 3. También puede utilizar conocimientos de las Unidades 1–2. Utilice las siete hojas de habilidades en orden. Verifique unidades, direcciones y los supuestos detrás de cada ecuación. Una ecuación familiar puede dar una respuesta incorrecta si su modelo no se ajusta.

Impulso y colisiones bidimensionales

La fuerza cambia el momento

Momento es el vector $\mathbf p=m\mathbf v$. Elija una dirección positiva antes de usar signos. Impulso es el cambio en el momento. Para fuerza constante, o la fuerza promedio durante un intervalo:

Una fuerza variable produce un impulso igual al área firmada bajo su gráfico de fuerza-tiempo. Un pulso triangular tiene área $\frac12\times\text{base}\times\text{height}$. Un área debajo del eje temporal es negativa. La fuerza máxima no es automáticamente la fuerza promedio.

Ejemplo resuelto. Una pelota de masa $0.20\ \text{kg}$ se acerca a una pared a velocidad $+6.0\ \text{m s}^{-1}$. Rebotó con velocidad $-4.0\ \text{m s}^{-1}$. El contacto duró $0.050\ \text{s}$. Calcule la fuerza promedio sobre la pelota.

• Datos: masa, velocidades inicial/final firmadas y tiempo de contacto.
• Razón: el impulso de la fuerza cambia el momento de la pelota; el rebote invierte el signo.

La fuerza es opuesta a la dirección positiva elegida. La pared siente una fuerza opuesta. Un parachoques o casco deformable aumenta el tiempo de detención. Para el mismo cambio de momento, esto reduce la fuerza promedio. No elimina el cambio de momento.

Conservar cada componente del momento

Un sistema aislado no tiene impulsos externos significativos durante el evento. Su momento total se conserva. Las fuerzas internas se cancelan en pares opuestos. La conservación del momento no requiere la conservación de la energía cinética.

Para una colisión en un plano, descomponga todo el momento en dos ejes perpendiculares:

Utilice el ángulo medido desde el eje elegido. Incluya los signos; una componente hacia abajo es negativa si hacia arriba es positiva. No sume las magnitudes del momento cuando las direcciones difieran.

Ejemplo resuelto. Una esfera de masa $0.10\ \text{kg}$ que se mueve a velocidad $2.0\ \text{m s}^{-1}$ choca contra dos esferas estacionarias, cada una de masa $0.10\ \text{kg}$. Se detiene. Las otras dos salen simétricamente a velocidad $1.2\ \text{m s}^{-1}$, en ángulos $+\theta$ y $-\theta$ respecto a la dirección original. Encuentre su ángulo de separación y clasifique la colisión.

• Razón: los momentos transversales se cancelan por simetría; el momento longitudinal da $\theta$.

Una colisión elástica conserva tanto la energía cinética total como el momento. Una colisión inelástica no conserva la energía cinética; parte se convierte en otras formas de energía.

Esta colisión es inelástica. La energía total se conserva aún así. En una colisión pasiva ordinaria, la energía cinética no puede aumentar sin una fuente de energía adicional.

Para una partícula no relativista, use $p=mv$ y $E_k=\frac12mv^2$. Al sustituir $v=p/m$ se obtiene:

A igual energía cinética, $p=\sqrt{2mE_k}$: una masa mayor tiene mayor momento. A igual momento, una masa mayor tiene menor energía cinética. Estas ecuaciones no son válidas para una partícula que se mueve cerca de la velocidad de la luz.

Prácticas fundamentales 9 y 10

Para la práctica central 9, usa un carrito, sensor de fuerza y registrador de datos. Mide la masa del carrito y las velocidades justo antes/después del contacto usando portillos de luz o un sensor de movimiento. Registra el pulso de fuerza-tiempo a una tasa de muestreo suficientemente rápida para resolverlo. Nula el sensor de fuerza; usa ejes consistentes para fuerza y velocidad. Integra el área bajo la gráfica y compárala con $m(v-u)$. Repite para diferentes fuerzas de contacto o velocidades. Una gráfica de impulso contra cambio de momento debería tener una pendiente cercana a uno. La fricción, desviaciones del sensor y partes perdidas del pulso pueden causar discrepancias. Asegura la pista y atrapa el carrito de forma segura.

Para la práctica fundamental 10, registre esferas pequeñas chocando sobre una superficie nivelada usando una cámara superior. Incluya una escala de longitud en el plano de colisión y una frecuencia de fotogramas conocida. Mantenga la cámara perpendicular para reducir el error de perspectiva. Rastree los centros durante varios fotogramas antes y después del corto choque. Convierta los desplazamientos en píxeles a metros y los intervalos de fotogramas a segundos. Determine ambas componentes de velocidad, luego compare las componentes totales de momento y energías cinéticas. Repita con diferentes direcciones de aproximación. Incluya la incertidumbre de posiciones, cronometraje y calibración de escala. Un pequeño desajuste dentro de la incertidumbre no es evidencia de que falte el momento. Mantenga las esferas contenidas para que no caigan ni representen un riesgo de resbalón.

Movimiento circular

Ángulo, velocidad angular y velocidad tangencial

Un ángulo de un radián subtiende un arco igual al radio. Por lo tanto $\theta=s/r$, con el ángulo en radianes. Una revolución completa equivale a $2\pi$ radianes o $360^\circ$.

Velocidad angular describe la tasa de desplazamiento angular. En los problemas bidimensionales aquí, use su tasa rotacional con signo o magnitud según corresponda. Los puntos en un disco rígido giratorio tienen la misma velocidad angular. Los puntos más alejados de su centro tienen mayor velocidad tangencial. Sus direcciones de velocidad también varían alrededor del círculo.

Ejemplo resuelto. Una rueda gira a $120$ revoluciones por minuto. Calcule la velocidad angular y la aceleración de un punto $0.25\ \text{m}$ desde su centro.

Mantenga la velocidad angular sin redondear durante el cálculo. Use el radio, no el diámetro.

Por qué la aceleración apunta hacia adentro

El movimiento circular uniforme tiene velocidad constante pero velocidad cambiante. Dibuje los vectores de velocidad tangencial inicial y final. El cambio es $\Delta\mathbf v=\mathbf v_2-\mathbf v_1$, no su suma. Para un cambio angular pequeño, el triángulo de velocidad y el triángulo de radio son similares:

El cambio de velocidad apunta hacia el centro en este límite. Por lo tanto se requiere una fuerza centrípeta resultante:

La fuerza centrípeta nombra la resultante de fuerzas reales. No es una fuerza extra para sumar a un diagrama de fuerzas. La fricción puede proporcionarla en un disco giratorio. La tensión puede proporcionarla para una bola atada a una cuerda.

Escriba la ecuación de fuerzas reales

Para ropa contra el interior de un tambor vertical, el peso siempre apunta hacia abajo. La reacción normal del tambor apunta hacia el centro. A velocidad constante:

La resultante requerida tiene la misma magnitud, pero la reacción es mayor en la parte inferior. Si se pierde el contacto, la superficie no puede proporcionar una reacción normal de tracción. Verifique esto antes de usar un modelo de trayectoria circular.

Para un plato giratorio horizontal, la fricción máxima disponible debe ser al menos $mr\omega^2$. Si la fricción máxima es $mg/25$:

La masa se cancela porque tanto las fuerzas requeridas como las disponibles escalan con la masa. Si la fuerza hacia adentro desaparece, el movimiento inicialmente sigue la tangente. La gravedad puede curvar luego la trayectoria; "tangente" describe la dirección de liberación.

Campos eléctricos y potencial

Fuerza y potencial describen cosas diferentes

Un campo eléctrico es una región donde una partícula cargada experimenta una fuerza. La intensidad del campo eléctrico es fuerza por unidad de carga de prueba positiva:

Sus unidades son $\text{N C}^{-1}$ o $\text{V m}^{-1}$. Una carga positiva siente fuerza a lo largo del campo; una carga negativa siente fuerza en sentido opuesto.

El potencial eléctrico es energía potencial por unidad de carga relativa a una referencia elegida. Para una carga $q$ movida a través de un cambio de potencial:

El potencial es escalar; el campo es vectorial. Un punto con potencial cero no necesariamente tiene campo cero. Sumar potenciales con signo es diferente de sumar vectores de campo.

Campos radiales y uniformes

Para cargas puntuales, o fuera de una esfera conductora aislada cargada, con $k=1/(4\pi\varepsilon_0)$:

Aquí $r$ es la separación de los centros de carga; las distancias de la esfera se miden desde su centro. Cargas similares se repelen, cargas opuestas se atraen. El potencial toma el signo de $Q$ cuando cero está en el infinito.

Entre placas paralelas grandes, lejos de los bordes, el campo es aproximadamente uniforme:

El campo apunta de mayor a menor potencial. La separación de placas $d$ es perpendicular a las placas. Una equipotencial tiene el mismo potencial en todos sus puntos. Las líneas de campo cruzan las equipotenciales en ángulo recto. Moverse a lo largo de una no implica cambio en energía potencial eléctrica.

El campo radial es el gradiente negativo del potencial: $E_r=-\mathrm dV/\mathrm dr$. Para una fuente positiva, el área firmada bajo su curva $E$–$r$ desde $r$ hasta el infinito iguala $V(r)$. El área desde cero hasta $r$ no es ese potencial. En un campo uniforme, niveles de potencial más cercanos e igualmente espaciados significan un campo más fuerte.

Ejemplo resuelto. Una esfera de radio $0.20\ \text{m}$ tiene potencial $9.0\ \text{kV}$. Encuentra la carga y el campo a $0.30\ \text{m}$ desde su centro. Usa $k=8.99\times10^9\ \text{N m}^2\text{C}^{-2}$.

Usa el radio de la superficie para encontrar la carga, luego usa la nueva distancia al centro para hallar el campo. No reutilices la distancia superficial en el segundo paso.

Compara las fuerzas eléctrica y gravitatoria

Una gota de aceite cargada estacionaria puede satisfacer $|q|E=mg$. Usa $m=\rho\mathcal V$ si se dan densidad y volumen. Divide la magnitud de la carga por $e=1.60\times10^{-19}\ \text{C}$ para verificar si es cercana a un múltiplo entero. El signo de la carga sigue la dirección de la fuerza necesaria, no solo su magnitud.

Para levantar un grano esférico, compara $qE$ con $\rho(4\pi r^3/3)g$. El radio es la mitad del diámetro listado. Un diámetro máximo calculado es un umbral: elige el mayor diámetro listado por debajo de él. En un panel inclinado, la componente normal del peso es $mg\cos\theta$. La fuerza eléctrica perpendicular al panel debe superar esa componente para desprender un grano; la gravedad también tiene una componente cuesta abajo.

Condensadores y circuitos RC

Almacenamiento de carga y energía

Un condensador almacena cargas separadas en dos conductores. Tienen cargas iguales y opuestas en el modelo ideal de dos placas. La carga citada $Q$ es la magnitud en cualquiera de las placas, no la suma de ambas magnitudes. La capacitancia es la carga almacenada por unidad de p.d.:

Un faradio es un coulomb por voltio. Para capacitancia constante, una gráfica $V$–$Q$ es recta que pasa por el origen con pendiente $1/C$. Su área da el trabajo necesario para transferir carga al condensador:

El factor uno medio aparece porque la p.d. aumenta desde cero mientras se transfiere la carga. No es $QV$ en el voltaje final durante todo el proceso de carga. Para descarga entre voltajes no nulos, resta las dos energías almacenadas:

Esto es diferente de $\frac12C(V_{\text{initial}}-V_{\text{final}})^2$.

Carga y descarga

En un circuito ideal de carga serie resistor–condensador, inicialmente sin carga, la p.d. del condensador es cero. Inicialmente, el resistor tiene toda la p.d. de alimentación, por lo que la corriente es máxima. A medida que se acumula carga, la p.d. del condensador aumenta. La p.d. del resistor y la corriente disminuyen. En carga completa, la corriente es cero y la p.d. del condensador iguala la p.d. de alimentación.

Para descarga a través de una resistencia fija, usa la corriente con signo consistentemente o trabaja con su magnitud:

La relación de voltaje se deriva de $Q=CV$ con $C$ constante. La magnitud de la corriente se deriva de $|I|=V/R$ con $R$ constante. La constante de tiempo es $\tau=RC$. Después de una constante de tiempo, $Q$, $V$ y la magnitud de la corriente son $e^{-1}\approx0.368$ de sus valores iniciales. Después de tres constantes de tiempo son aproximadamente $5\%$, no cero. La energía almacenada disminuye más rápido porque depende de $V^2$.

Para carga desde una fuente ideal constante $V_s$:

El voltaje de un capacitor en carga sube hacia $V_s$; la corriente de carga disminuye hacia cero. No dibujes la misma curva para ambas cantidades. Iguales $V_C$ y $V_R$ significa que cada una es $V_s/2$, alcanzado en $t=RC\ln2$.

Al tomar logaritmos naturales de la ecuación de descarga obtenemos:

Así, una gráfica de $\ln V$ contra $t$ tiene pendiente $-1/(RC)$ e intercepto $\ln V_0$. Las mismas formas valen para $Q$ y la magnitud de la corriente. Usa unidades de medición consistentes dentro de los valores numéricos logarítmicos.

Ejemplo resuelto. Un condensador de $100\ \mu\text{F}$ se descarga desde $12.0\ \text{V}$ a través de $20.0\ \text{k}\Omega$. Halla la p.d. después de $3.0\ \text{s}$ y la energía perdida.

La energía almacenada perdida se convierte principalmente en calor en la resistencia de descarga. Utilice el voltaje sin redondear en el cálculo final.

Práctica central 11 y extensiones útiles

Utilice una fuente de c.c. de bajo voltaje, un resistor, un capacitor y un interruptor. Cargue a través del resistor, desconecte luego la fuente y descargue a través de la resistencia conocida. Conecte un sensor de voltaje, un registrador de datos o un osciloscopio en paralelo con el capacitor. Registre tiempo y p.d.; seleccione un intervalo de muestreo corto en comparación con $RC$. Utilice una resistencia de entrada del instrumento grande en comparación con la resistencia de descarga; de lo contrario, alterará la trayectoria de descarga.

Mantenga $R$ y $C$ fijos, repita después de restaurar la misma carga inicial y compare las curvas medidas con las predicciones exponenciales. Determine $RC$ a partir del nivel $1/e$ o de la pendiente de un ajuste logarítmico. Evite tomar logaritmos de lecturas cercanas a cero donde la incertidumbre relativa es grande. Para una prueba de tolerancia de resistencia, calcule $R=-\Delta t/[C\ln(V_2/V_1)]$ durante una descarga ininterrumpida y compárela con ambos límites del intervalo permitido.

Use la polaridad correcta para un capacitor electrolítico y manténgase por debajo de su clasificación de voltaje. Descárguelo de forma segura a través de un resistor antes de modificar las conexiones; no cortocircuite un capacitor cargado. La fuga, la carga del sensor y el calentamiento del resistor pueden alterar la curva medida.

Un capacitor suavizador se carga cerca de los picos de la fuente y se descarga hacia la carga entre ellos. Una menor resistencia de carga produce una constante de tiempo más pequeña, una descarga más rápida y menos suavizado. Para dos capacitores idénticos en serie, aparece la misma magnitud de carga en cada uno. Sus p.d.s iguales comparten la fuente, por lo que cada uno almacena la mitad de la carga de un capacitor idéntico conectado solo. Este reparto es un puente útil hacia el papel seleccionado; no reemplaza el modelo principal de capacitancia.

Fuerzas magnéticas e inducción

Direcciones, flujo y fuerza

Densidad de flujo magnético $B$ describe el efecto de fuerza del campo. Para un alambre recto de longitud $l$ en un campo uniforme:

Aquí $\theta$ es el ángulo entre la corriente convencional y el campo. Solo cuenta la longitud dentro del campo. Para una sola partícula cargada:

Utilice la regla de la mano izquierda de Fleming: primer dedo en dirección al campo, segundo dedo en dirección a la corriente convencional, el pulgar indica la fuerza. Una carga positiva se mueve en la dirección de la corriente convencional. Invierta el resultado para el movimiento de un electrón. Los símbolos de punto significan hacia afuera de la página; las cruces significan hacia adentro.

La fuerza magnética es perpendicular a la velocidad, por lo que cambia la dirección sin realizar trabajo. No puede, por sí sola, aumentar la energía cinética de la partícula. Si $\mathbf v$ es paralelo a $\mathbf B$, la fuerza magnética es cero.

Flujo magnético a través de un área plana en un campo uniforme es:

Aquí $\alpha$ es el ángulo entre el campo y la normal al área, no el plano mismo. La unidad es el weber. Vinculación de flujo es $N\phi$ cuando el mismo flujo vincula cada una de $N$ espiras.

Ejemplo resuelto. Una bobina tiene 40 espiras y radio $0.015\ \text{m}$. Un campo uniforme $0.020\ \text{T}$ es perpendicular a su plano. Encuentre la vinculación de flujo.

Utilice el radio, no el diámetro, y multiplique por el número de espiras solo al encontrar la vinculación. Una balanza bajo imanes mide la reacción opuesta a una fuerza sobre un alambre soportado separadamente. Convierta un cambio en la lectura de la balanza $\Delta m$ en fuerza $\Delta mg$, no en $\Delta m$ directamente.

Una vinculación cambiante induce una f.e.m.

Inducción electromagnética ocurre cuando cambia la vinculación de flujo. El movimiento relativo de una bobina y un imán puede causarla. Rotar la bobina o cambiar la corriente en otra bobina vinculada también puede causarla. Una bobina estacionaria en un campo constante no tiene f.e.m. inducida simplemente porque esté presente el flujo.

Ley de Faraday relaciona la magnitud de la f.e.m. con la tasa de cambio del enlace de flujo. Ley de Lenz da la dirección opuesta:

La corriente inducida, si el circuito está cerrado, produce un efecto magnético que se opone al cambio que la originó. No siempre se opone al campo existente: cuando ese campo disminuye, el efecto inducido ayuda a mantenerlo. Esta oposición es consistente con la conservación de la energía.

Ejemplo resuelto. El flujo a través de cada una de 50 espiras disminuye de $6.0\times10^{-5}$ a $2.0\times10^{-5}\ \text{Wb}$ en $0.020\ \text{s}$. Encuentra la magnitud de la f.e.m. inducida promedio.

Un movimiento más rápido, un campo más fuerte, más espiras o un área de enlace mayor pueden aumentar la tasa. Explique qué cantidad cambia realmente. En un lector de cintas magnéticas, invertir la orientación de los polos invierte la dirección de la señal. Para un límite recto barrido sobre un área de ancho $L$ a velocidad $v$, $\Delta A/\Delta t=Lv$, dando $|\mathcal E|=NBLv$ bajo ese modelo de campo uniforme.

La carga inalámbrica utiliza corriente alterna en una bobina, produciendo un campo magnético variable y un enlace variable en la bobina del teléfono. Esto induce una f.e.m. El circuito receptor puede entonces cargar la batería. Conteos de espiras iguales no garantizan voltajes iguales: parte del flujo puede no enlazarse con la otra bobina, especialmente con separación o sin núcleo de hierro.

Estructura nuclear, aceleradores y trayectorias

El núcleo y evidencia de dispersión

En $^{A}_{Z}X$, el número protónico $Z$ cuenta protones y el número másico $A$ cuenta protones más neutrones. El conteo de neutrones es $A-Z$. Un átomo neutro tiene $Z$ electrones; un ion puede tener diferente cantidad.

El modelo antiguo de carga positiva distribuida podía explicar desviaciones pequeñas pero no la dispersión alfa observada de gran ángulo. La mayoría de las partículas alfa pasan casi rectas a través de una lámina delgada, mostrando que la mayor parte del átomo es espacio vacío. Una fracción pequeña experimenta desviaciones muy grandes. Las partículas alfa positivas sienten una fuerte repulsión electrostática cerca de un núcleo pequeño, denso y positivo que contiene la mayor parte de la masa atómica. Pocos eventos de gran ángulo indican que el núcleo ocupa una fracción pequeña del volumen del átomo. Mantenga cada observación vinculada a la conclusión específica que respalda.

Generar, acelerar y desviar un haz

Emisión termiónica libera electrones de un metal calentado. El calor suministra energía para que algunos electrones puedan salir de la superficie. Un electrodo de aceleración positivo los atrae a través del vacío. Una diferencia de potencial cambia la energía cinética mediante el trabajo eléctrico:

Para cálculos de velocidad use solo la ganancia de energía positiva $|q|\,|\Delta V|$ cuando la partícula se acelera a través del campo en la dirección adecuada. Partiendo del reposo, bien por debajo de la velocidad de la luz:

Un acelerador lineal utiliza diferencia de potencial alterna entre huecos de tubos de deriva. Las partículas se aceleran en los huecos y están blindadas dentro de los tubos conductores. La polaridad se invierte mientras las partículas están dentro, por lo que el siguiente hueco las vuelve a acelerar. A frecuencia alterna constante, aumentar la velocidad requiere tubos más largos para mantener el tiempo entre huecos sucesivos. A través de $n$ huecos de aceleración iguales, la ganancia total de energía cinética es $n|q|V_{\text{gap}}$.

Un ciclotrón utiliza un campo magnético perpendicular a dosdee huecas. El campo eléctrico acelera las partículas a través del hueco. Dentro de una dee, la fuerza magnética curva la trayectoria sin aumentar la velocidad. La polaridad se invierte durante cada media vuelta, permitiendo otra ganancia de energía en el siguiente cruce. Con entrada perpendicular:

En el modelo no relativista, el período es independiente de la velocidad. Aumentar la velocidad aumenta el radio. El tiempo en una dee es $T/2$, no $T$. La fórmula asume campo constante y masa fija en este modelo; la sincronización falla a medida que los efectos relativistas se vuelven importantes.

Ejemplo resuelto. Un protón se mueve perpendicularmente a $B=0.40\ \text{T}$ con momento $2.0\times10^{-20}\ \text{kg m s}^{-1}$. Use la masa del protón $1.67\times10^{-27}\ \text{kg}$.

Cuando comience en su lugar desde una longitud de onda de De Broglie, use $p=h/\lambda$, luego $E_k=p^2/(2m)$ y $V=E_k/|q|$. Verifique que la suposición no relativista siga siendo adecuada.

Lea cuidadosamente la evidencia del detector

Las partículas cargadas ionizan la materia a lo largo de sus trayectorias, dejando rastros detectables. Una partícula neutra no produce un rastro de ionización directa en este modelo. Su presencia puede inferirse a partir del momento faltante o de los productos cargados que genera posteriormente.

En un campo magnético perpendicular conocido, la dirección de curvatura junto con la dirección de desplazamiento pueden identificar el signo de la carga. Sin conocer la dirección del campo, la curvatura sola no permite determinar el signo. El radio proporciona el momento mediante $p=B|q|r$; comparar radios requiere conocimiento de la magnitud de la carga. Un rastro que se estrecha suele indicar pérdida de momento. No infiera la dirección de desplazamiento solo por un arco de radio constante.

Conservar la carga, la energía total y el momento vectorial en una interacción. Si los momentos salientes visibles no suman al momento entrante, un producto neutro puede transportar la componente faltante. Dibuje un balance vectorial en lugar de adivinar basándose en el número de rastros.

Las altas energías exploran la estructura nucleónica de dos formas. Gran momento da una corta longitud de onda de de Broglie, permitiendo resolver estructuras pequeñas. La alta energía de colisión también permite crear nuevas partículas masivas. Los quarks no se observan como partículas libres aisladas; no describa una colisión de alta energía simplemente como la extracción de un quark libre.

Los muones rápidos pueden llegar al suelo porque su vida media promedio medida en el marco terrestre se incrementa a velocidades cercanas a $c$. Esto no significa que excedan la velocidad de la luz. La unidad 4 requiere comprender la importancia de este aumento de vida media, no usar ecuaciones relativistas.

Partículas, antipartículas y conservación

Familias y antipartículas

En el modelo quark-leptón, bariones y mesones contienen quarks. Los leptones son partículas fundamentales en el modelo.

• Un barión contiene tres quarks, por ejemplo un protón $uud$ o un neutrón $udd$. Un antibarión contiene tres antiquarks.
• Un mesón contiene un quark y un antiquark, por ejemplo un pión.
• Un leptón es fundamental, por ejemplo un electrón o un neutrino. Un positrón es un antileptón, no un mesón.
• Un fotón es el cuántum de radiación electromagnética; no es ni un barión ni un leptón.

Los quarks tipo arriba tienen carga $+2e/3$ y los quarks tipo abajo $-e/3$. Los antiquarks tienen cargas opuestas. Por ejemplo, $uud$ suma $+e$ y $udd$ a cero. La simetría de las familias de quarks predijo un quark superior antes de ser observado. Los modelos de clasificación hacen predicciones comprobables, no solo listas de partículas conocidas.

Una antipartícula tiene la misma masa en reposo que su partícula y carga eléctrica opuesta si está cargada. Otros números cuánticos aditivos relevantes también se invierten. Un electrón tiene número leptónico $+1$; su positrón tiene $-1$. Ambos tienen número bariónico cero. Una antipartícula neutra puede diferir en números cuánticos a pesar de no tener carga eléctrica.

Verifique los totales conservados

Asigne número bariónico $+1$ a un barión, $-1$ a un antibarión, y cero a mesones/leptones/fotones. Los quarks portan $+1/3$ y los antiquarks $-1/3$. Asigne número leptónico $+1$ a un leptón y $-1$ a un antileptón. Compare la carga total, el número bariónico y el número leptónico en ambos lados de una reacción propuesta. También revise la energía y el momento. Pasar las verificaciones de conservación listadas por sí solas no demuestra que una interacción ocurrirá; establece que esas leyes no la prohiben.

Ejemplo resuelto. Pruebe $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.

El antineutrino equilibra el número leptónico del electrón. Cambiarlo por un neutrino haría que el total final fuera $+2$, por lo que esa ecuación propuesta no pasaría esta comprobación. Preserva las barras y los signos de carga al interpretar los símbolos de partículas proporcionados.

Energía en reposo, creación y aniquilación

Equivalencia masa-energía relaciona un cambio en la masa en reposo con energía:

En la creación de pares, la energía crea un par partícula-antipartícula. La energía debe cubrir al menos ambas masas en reposo; el exceso puede convertirse en energía cinética o retroceso. El momento también debe conservarse, por lo que importa la interacción circundante. En el aniquilamiento, una partícula y su antipartícula pueden convertirse en fotones. Un par inicialmente en reposo que produce dos fotones da como resultado energías de fotón iguales y momentos opuestos. Cada fotón transporta la energía en reposo de una partícula para un par de igual masa; el total es el doble de ese valor.

Un electronvoltio equivale a $e$ joules: $1\ \text{eV}=1.60\times10^{-19}\ \text{J}$. MeV significa $10^6$ eV y GeV significa $10^9$ eV. Una masa citada en $\text{MeV}/c^2$ es una unidad de masa, no de energía. Multiplica por $c^2$ para obtener su correspondiente energía en reposo.

Ejercicio resuelto. Convierte una masa de $140\ \text{MeV}/c^2$ a kilogramos.

Usa las mismas unidades antes de comparar masas. La diferencia porcentual respecto a un valor aceptado es $100\times|m_{\text{predicted}}-m_{\text{accepted}}|/m_{\text{accepted}}$. Indica el valor de referencia. En preguntas umbral, distingue entre el suministro de energía en reposo y la energía cinética; no utilices $p=mv$ para un fotón o una partícula cercana a $c$.

Compruébalo tú mismo

• ¿Puedes usar impulso con signo y dos componentes de momento, luego probar la energía cinética por separado?
• ¿Puedes derivar la aceleración centrípeta y dibujar solo las fuerzas reales?
• ¿Puedes distinguir vectores de campo, potencial con signo y cambios de energía?
• ¿Puedes elegir la curva correcta del condensador y usar la pendiente logarítmica o evidencia de tolerancia?
• ¿Puedes explicar la inducción como un cambio en el enlace, incluyendo la dirección opuesta?
• ¿Puedes separar la aceleración eléctrica de la desviación magnética y reducir correctamente el período de un ciclotrón a la mitad?
• ¿Puedes preservar los símbolos de partículas, totales de conservación y unidades de energía/masa?

Las hojas de habilidades desarrollan estos métodos antes de tareas auténticas de exámenes pasados. La práctica original también cubre requisitos no muestreados en los dos exámenes recientes. Una muestra corta de preguntas auténticas no define todo el programa.

De una bolsa de hielo a una estrella

Una bolsa de hielo, un puente oscilante y una estrella distante involucran energía. Esta unidad vincula el movimiento molecular, cambios nucleares, oscilaciones y observaciones astronómicas. La tarea suele ser comprobar una afirmación, no solo calcular un número: establece el modelo, lleva las unidades a través del cálculo, luego compara tu resultado con la afirmación.

WPH15 abarca las afirmaciones 125–171 del Issue Pearson 3. También utiliza las Unidades 1, 2 y 4. Trabaja las hojas 5.1–5.9 antes de sus conjuntos auténticos correspondientes. Usa las constantes proporcionadas consistentemente: $g=9.81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$, $k_B=1.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}$ y $G=6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2\,kg^{-2}}$ a menos que la pregunta indique un valor local diferente. Aquí $k_B$ es la constante de Boltzmann; $k_s$ denota una constante de resorte.

Calentamiento, cambio de fase y calibración de termistores

Sigue la energía, no solo la temperatura

Energía interna es la energía total en el movimiento aleatorio y las interacciones moleculares: energía cinética aleatoria más energía potencial intermolecular. Excluye la energía cinética del objeto entero moviéndose conjuntamente. La temperatura se relaciona con la energía cinética molecular aleatoria promedio, no con la energía interna total. Dos muestras a la misma temperatura pueden tener diferentes energías internas porque sus cantidades y estados difieren.

Capacidad calorífica específica $c$ es la energía necesaria por kilogramo para un ascenso de un kelvin sin cambio de estado. Calor latente específico $L$ es la energía transferida por kilogramo durante un cambio de estado particular a temperatura constante.

Una diferencia de temperatura de $1\ ^\circ\mathrm C$ equivale a una diferencia de $1\ \mathrm K$. Las temperaturas absolutas en las leyes de gases y radiación deben expresarse en kelvin. Durante la fusión o ebullición, la energía cambia los arreglos moleculares y la energía potencial mientras la temperatura permanece constante en el cambio de fase ideal a presión constante. Una bolsa de hielo absorbe energía de los alimentos/entorno al fundirse. No envía “energía fría” hacia los alimentos.

A potencia de calentamiento constante, gradientes de temperatura-tiempo más pronunciados significan menor $mc$, siempre que la pérdida de calor sea despreciable. Una sección plana no significa que la transferencia de energía haya cesado. Para un calefactor, la energía de entrada es $E_{\rm in}=Pt=VIt$; la energía térmica útil puede ser menor debido a que la energía escapa al entorno.

Ejemplo resuelto. Un bloque de $0.40\ \mathrm{kg}$ de hielo a $-10\ ^\circ\mathrm C$ se funde en agua a $0\ ^\circ\mathrm C$. Usa $c_{\rm ice}=2100\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}}$ y $L_f=3.4\times10^5\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Conocido: masa, temperaturas inicial/final y constantes del material. Por qué: calentar el sólido y fundirlo son transferencias de energía separadas.

Ejemplo resuelto. Un calefactor de $1000\ \mathrm W$ hierve $0.20\ \mathrm{kg}$ de agua en $600\ \mathrm s$. Encuentra la eficiencia usando $L_v=2.26\times10^6\ \mathrm{J\,kg^{-1}}$.

Para cargas repetidas de hervidor, calcula el volumen total de agua, número de cargas y tiempo total de funcionamiento. Compara energías sobre el mismo intervalo especificado. La pérdida en modo espera durante un día y la entrada necesaria para hervir agua son cantidades distintas; indica qué establece específicamente una comparación particular.

CP12: calibrar un termostato

Un termistor tiene resistencia que cambia con la temperatura. El termistor de coeficiente de temperatura negativo (NTC) típico disminuye su resistencia al calentarse. En un divisor de potencial:

Con el termistor como resistencia inferior y la salida medida a través de él, el calentamiento reduce el voltaje de salida. Invertir las posiciones de las resistencias invierte esa tendencia. Un termostato se activa en un umbral de salida elegido; el divisor por sí solo no es un dispositivo de conmutación completo.

Para la práctica central 12, coloca el termistor y un termómetro de referencia juntos en un baño de agua agitado. Mantén los contactos eléctricos secos y aislados. A varias temperaturas dentro del rango previsto, espera el equilibrio térmico y registra la temperatura y el voltaje del divisor. Mantén el voltaje de alimentación y la resistencia fija invariables. Usa un multímetro de alta resistencia de entrada para reducir la carga. Grafica la salida contra la temperatura e interpola el voltaje para la temperatura de conmutación elegida. Repite lecturas o compara enfriamiento/calentamiento para revelar histéresis. No asumes una calibración lineal sin evidencia. Usa electricidad de bajo voltaje y ten cuidado con el agua caliente.

CP13: medir calor latente

Suministra potencia eléctrica medida a un material durante su cambio de fase. Mide la masa fundida o evaporada en un intervalo cronometrado tras estabilizarse las condiciones. Una balanza mide el cambio de masa; no confundas el volumen de líquido recolectado con la masa. Sin corrección de pérdidas, $L=VIt/\Delta m$ asume que toda la energía suministrada causa el cambio de fase.

Una corrección útil es comparar dos potencias a la misma temperatura de cambio de fase estable. Si la potencia de pérdida de calor es aproximadamente constante, restar las dos mediciones la elimina:

Indica la suposición de pérdida constante. Una medición de control de fusión sin el calefactor es otra corrección posible en un experimento de hielo adecuado. Reduce la pérdida de calor con aislamiento donde sea seguro; evita salpicaduras, superficies calientes y conexiones a red inseguras.

Gases ideales y energía cinética molecular

Kelvin y el modelo de gas ideal

Cero absoluto es $0\ \mathrm K$, aproximadamente $-273\ ^\circ\mathrm C$. Es el límite inferior de la temperatura termodinámica. En el modelo clásico del gas ideal, la energía cinética traslacional media tiende a cero cuando la temperatura tiende a cero. Los gases reales se condensan antes de alcanzar esa extrapolación; no afirmes que las moléculas en todo material real pierdan toda su energía posible.

Temperatura absoluta se mide en kelvin: $T=\theta_{^\circ\mathrm C}+273$ con la precisión normalmente usada aquí. Un gas ideal está constituido por partículas con volumen despreciable, sin fuerzas intermoleculares excepto durante colisiones elásticas, y movimiento aleatorio. La presión proviene de cambios de momento en las paredes.

Aquí $N$ es el número de moléculas, no el número de moles. Usa presión en pascales, volumen en metros cúbicos y temperatura en kelvin. Para un número fijo de moléculas:

A volumen constante, la presión es proporcional a la temperatura en kelvin. A temperatura constante, $pV$ es constante. Incluye la presión externa si un manómetro reporta presión relativa a la atmósfera.

Ejemplo resuelto. Un recipiente rígido de $2.0\times10^{-3}\ \mathrm{m^3}$ contiene gas a $1.0\times10^5\ \mathrm{Pa}$ y $300\ \mathrm K$. Encuentra $N$ y la presión después de calentar hasta $360\ \mathrm K$.

Si una molécula tiene masa $m_0$, la masa total del gas es $Nm_0$. Para una esfera, primero calcula $V=4\pi r^3/3$; el radio es la mitad del diámetro.

Derivar la relación de energía molecular

La relación de presión de la teoría cinética es $pV=\tfrac13Nm_0\langle c^2\rangle$, donde $\langle c^2\rangle$ es la velocidad cuadrática media. Se deduce de los cambios de momento elástico en una pared y un movimiento cuadrático medio igual en las tres direcciones perpendiculares. La velocidad eficaz (cuadrática media) es $c_{\rm rms}=\sqrt{\langle c^2\rangle}$; no es el cuadrado de la velocidad media.

Para un cubo de lado $l$, una molécula con componente de velocidad $c_x$ cambia el momento de la pared en $2m_0c_x$ en cada colisión elástica. Su tiempo de retorno a esa misma pared es $2l/c_x$. Por lo tanto, su fuerza promedio es $m_0c_x^2/l$. Suma sobre todas las moléculas y divide por el área de la pared $l^2$:

El movimiento aleatorio se distribuye equitativamente entre las direcciones perpendiculares, de modo que $\langle c^2\rangle=3\langle c_x^2\rangle$. Esto da la relación de presión anterior. Iguala las dos expresiones para $pV$, cancela $N$ y luego reordena:

A una temperatura dada, diferentes especies gaseosas tienen iguales energías cinéticas traslacionales medias, pero las moléculas más ligeras tienen mayores velocidades eficaces. Si la velocidad se duplica a la misma temperatura, la masa molecular es un cuarto. Calentar aumenta la energía cinética molecular promedio; no otorga a cada molécula la misma velocidad.

CP14: presión y volumen a temperatura constante

Encierra una cantidad fija de gas en una jeringa o cilindro calibrado conectado a un sensor de presión. Verifica la calibración y usa presión absoluta. Incluye el volumen muerto del tubo de conexión cuando sea significativo. Cambia el volumen gradualmente, espera después de cada cambio a que la temperatura vuelva a la de los alrededores, luego registra varios pares de presión-volumen. No dejes que el gas escape. Una gráfica de $p$ contra $1/V$ debería ser recta pasando por el origen dentro de la incertidumbre. Una curva de $p$–$V$ no es recta. Evita presiones excesivas y asegura las conexiones. La compresión rápida calienta el gas y rompe la condición de temperatura constante pretendida.

Energía de enlace, fisión y fusión

El defecto de masa es una diferencia de energía

Un núcleo contiene $Z$ protones y $A-Z$ neutrones. Su masa es menor que la masa total de estos nucleones libres. Este defecto de masa corresponde a la energía de enlace necesaria para separar completamente el núcleo en nucleones libres:

Aquí $c_0$ es la velocidad de la luz, distinguida de la capacidad calorífica específica. La unidad de masa atómica unificada es $1\ \mathrm u=1.66\times10^{-27}\ \mathrm{kg}$. Convierte todas las masas a la misma unidad antes de restar. Las masas nucleares y las masas de átomos neutros no son intercambiables sin tener en cuenta consistentemente los electrones. Usa las masas que proporciona realmente la pregunta.

Ejemplo resuelto. Un núcleo tiene un defecto de masa $0.030\ \mathrm u$ y $A=4$. Calcule la energía de enlace por nucleón.

Por qué tanto la fusión como la fisión pueden liberar energía

La curva de energía de enlace por nucleón asciende bruscamente para núcleos ligeros, alcanza su máximo cerca del hierro/níquel y luego disminuye gradualmente para núcleos pesados. Una mayor energía de enlace por nucleón generalmente significa que los nucleones están más fuertemente ligados. Es el valor vertical, no solo el número másico, lo que importa al comparar puntos.

Fusión nuclear combina núcleos ligeros. Fisión nuclear divide un núcleo pesado en productos más pequeños, a menudo con neutrones. La energía se libera cuando los productos tienen una energía de enlace total mayor y una masa en reposo total menor que los reactivos. Para una reacción, calcule la diferencia de masa total, no simplemente la diferencia entre dos valores por nucleón. La energía total se conserva.

La fusión requiere temperaturas muy altas para dar a los núcleos suficiente energía cinética para aproximarse a pesar de la repulsión electrostática, y alta densidad/confinamiento para lograr suficientes encuentros cercanos y sostener la liberación de energía. La temperatura y la densidad tienen roles diferentes. Mencionar simplemente "alta presión" no explica superar la repulsión.

Radiación, fondo y desintegración

Elija radiación según su interacción

Radiación alfa consiste en núcleos de helio: altamente ionizante, corto alcance y detenida por papel o unos pocos centímetros de aire. Radiación beta consiste en electrones o positrones: menos ionizante, más penetrante, típicamente detenida por unos milímetros de aluminio. Radiación gamma es radiación electromagnética: débilmente ionizante y altamente penetrante; el plomo o el concreto reducen su intensidad pero no proporcionan un espesor de detención nítido.

En una cámara de niebla, las trazas alfa son gruesas principalmente debido a la fuerte ionización y relativamente rectas porque las partículas tienen gran masa en comparación con las partículas beta. Las trazas beta son más finas y se desvían con mayor facilidad. No intercambie estas explicaciones. La radiación beta puede monitorear el grosor del papel porque parte atraviesa y parte es absorbida; un cambio en el grosor cambia la tasa de conteo transmitida.

En ecuaciones nucleares, conserve el número de nucleones y el número de carga. La desintegración beta menos convierte un neutrón en un protón; el número másico permanece igual y el número atómico aumenta en uno. Incluya el antineutrino donde sea necesario, como en la Unidad 4:

La desintegración alfa reduce $A$ en cuatro y $Z$ en dos. La emisión gamma no cambia ni $A$ ni $Z$. Las ecuaciones nucleares conservan más que estos dos números: la energía y el momento también importan.

Corriente de fondo correcta antes de aplicar un modelo

Radiación de fondo proviene de fuentes como rocas, rayos cósmicos y el entorno. Médala durante un tiempo suficientemente largo con la fuente de prueba ausente. Resta su tasa de conteo a cada lectura de fuente más fondo. Mantenga las unidades de tiempo de conteo consistentes. La tasa de conteo corregida del detector es proporcional a la actividad de la fuente solo cuando la geometría y la eficiencia de detección permanecen sin cambios; no es automáticamente la actividad en bequerel.

Ejemplo resuelto. Un detector registra $62\ \mathrm{min^{-1}}$ a una distancia $r$, incluyendo un fondo $14\ \mathrm{min^{-1}}$. Prediga la tasa total a $2r$ para una pequeña fuente isotrópica de gamma con absorción despreciable.

No divida el fondo por cuatro: no toda proviene de la fuente de prueba.

Eventos aleatorios, poblaciones predecibles

Desintegración radioactiva es espontánea: un núcleo inestable se desintegra sin un disparador externo. Es aleatoria: no se puede predecir el momento exacto para un núcleo individual. Una población grande tiene un patrón de desintegración estadística predecible. Actividad $A$ es el número de desintegraciones por segundo, medida en bequerel, $1\ \mathrm{Bq}=1\ \mathrm{s^{-1}}$.

La constante de desintegración $\lambda$ es la probabilidad por unidad de tiempo de desintegración para un núcleo. La vida media $t_{1/2}$ es el tiempo para que la población sin desintegrar, o la actividad, se reduzca a la mitad en promedio.

En una vida media, $N/N_0=1/2=e^{-\lambda t_{1/2}}$. Tomando logaritmos da:

Una línea de actividad-logarítmica–tiempo tiene una pendiente $-\lambda$. Tomar logaritmos de las tasas corregidas, no de las lecturas de fuente más fondo. Leer varios intervalos de vida media de un gráfico y promediarlos; medir desde el nivel de actividad corregida, no desde cero en conteos totales.

Ejemplo resuelto. Una fuente tiene vida media $3.0\ \mathrm{years}$. ¿Cuándo caerá la actividad a $2.0\%$ de su valor inicial?

Usar una fracción, no $2.0$ dentro del logaritmo. Si se calcula potencia a partir de una fuente radiactiva, usar $P=A E_{\rm decay}$, con energía por desintegración en julios. Esta es la potencia nuclear liberada; la salida eléctrica útil puede ser menor. Convertir la vida media a segundos cuando la actividad debe estar en becquerels.

CP15: absorción de radiación gamma por plomo

Mantener la fuente, el absorbente y el detector en posiciones fijas. Medir el fondo, luego los conteos en intervalos iguales y conocidos para varias espesores totales de plomo. Repetir o extender el tiempo de conteo porque los conteos fluctúan. Restar la tasa de fondo antes de comparar la transmisión. Si cada espesor igual produce la misma reducción fraccionaria, la atenuación es exponencial; un gráfico de logaritmo de la tasa corregida frente al espesor es aproximadamente lineal. Tres espesores semiporosos transmiten $1/8$, no $1/3$.

La constante de absorción del material no es la constante de desintegración temporal de la fuente. Evitar lecturas demasiado cercanas al fondo, donde la resta genera una gran incertidumbre relativa. Manipular las fuentes con las herramientas especificadas bajo supervisión, mantener distancia, minimizar el tiempo de exposición y devolverlas al blindaje. Nunca tocar una fuente ni dirigirla hacia personas. Mantener limpio el manejo del plomo y lavarse las manos.

Movimiento armónico simple, gráficos y energía

La condición restauradora

Movimiento armónico simple (MAS) ocurre cuando la aceleración resultante es proporcional al desplazamiento desde una posición fija de equilibrio y está dirigida hacia ella:

El signo negativo indica la dirección restauradora. Velocidad constante, repetición sola o una fuerza que simplemente apunta hacia un centro no establecen MAS. Para un resuelgo colgado verticalmente, medir $x$ desde la posición de equilibrio cargado. El peso ya está equilibrado allí; la resultante para el desplazamiento es $-k_sx$.

Para liberación desde desplazamiento máximo positivo en $t=0$:

Aquí $A_0$ es amplitud, no actividad radiactiva. La fase depende del tiempo de inicio elegido; un desplazamiento senoidal puede describir el mismo movimiento con otro origen. Diferenciar gráficamente: la pendiente del desplazamiento–tiempo es velocidad, y la pendiente de velocidad–tiempo es aceleración. En el desplazamiento máximo, la velocidad es cero y la aceleración apunta hacia el equilibrio. En el equilibrio, la velocidad es máxima y la aceleración es cero.

Ejemplo resuelto. Un gráfico da amplitud $0.030\ \mathrm m$ y período $0.50\ \mathrm s$. Encontrar velocidad y aceleración máximas.

Alternativamente, encuentra la velocidad máxima mediante una tangente a la gráfica de desplazamiento en el equilibrio. Convierte centímetros a metros. Una pendiente recta negativa de $a$–$x$ es $-\omega^2$, así que toma su valor negativo antes de la raíz cuadrada.

Períodos y energía

Para una masa en un resuelgo ideal y para un péndulo simple en ángulos pequeños:

La longitud del péndulo es del pivote al centro de la masa. El período de ángulo pequeño no depende de la masa de la bola. Una relación de períodos para un resuelgo inalterado da $T_2/T_1=\sqrt{m_2/m_1}$. Usar la masa total nueva antes de encontrar la masa añadida.

Ejemplo resuelto. Una masa de $0.50\ \mathrm{kg}$ tiene período $0.80\ \mathrm s$. Una masa adicional aumenta el período a $1.00\ \mathrm s$ en el mismo resuelgo.

Para un oscilador de resorte no amortiguado, la energía se transfiere entre los almacenes de potencial elástica y cinética:

Así, la gráfica $E_k$–$x$ es una parábola invertida: cero en $\pm A_0$, máximo positivo en $x=0$. La gráfica $E_p$–$x$ se abre hacia arriba. Su suma es constante en el modelo no amortiguado. En un sistema amortiguado, la energía se transfiere al exterior, por lo que la amplitud disminuye. La energía total, incluidas las alrededores, se conserva.

CP16: inferir una masa desconocida a partir de la resonancia

Mantenga el mismo sistema de resorte/sopporte. Fije varias masas conocidas, accione con pequeñas oscilaciones y varíe la frecuencia para encontrar la mayor amplitud estable para cada masa. Registre la frecuencia de resonancia, repitiendo lentamente alrededor de cada pico. Con amortiguamiento ligero, esto aproxima la frecuencia natural. Grafique $1/f^2$ contra la masa total conocida; el modelo del resorte proporciona una pendiente de $4\pi^2/k_s$. Use la calibración para inferir una masa desconocida a partir de su frecuencia de resonancia.

Tome en cuenta el soporte portamuestras y, donde sea significativo, la masa efectiva móvil del resorte. Una intercepción distinta de cero puede representar esta contribución; no fuerce la línea a pasar por el origen sin justificación. Mantenga las amplitudes pequeñas y dentro del límite elástico. Asegure las masas y el soporte, y mantenga los pies alejados. Medir períodos libres puede proporcionar una comparación independiente útil, pero la práctica especificada utiliza frecuencias de resonancia.

Oscilaciones forzadas, resonancia y amortiguamiento

Una oscilación libre sigue a una perturbación inicial sin conducción periódica continua. Una oscilación forzada es mantenida por una fuerza impulsora periódica; su frecuencia estable es la frecuencia de la fuerza impulsora. La frecuencia natural es la frecuencia de oscilación libre para el sistema bajo las condiciones indicadas.

La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza impulsora está en o cerca de la frecuencia natural, dando una transferencia eficiente de energía y una gran amplitud estable. No significa “frecuencia máxima”. Para un sistema ligeramente amortiguado, el pico de amplitud está cerca de la frecuencia natural no amortiguada. Mayor amortiguamiento reduce y ensancha el pico; no presente cada pico amortiguado como exactamente en la frecuencia natural no amortiguada.

El amortiguamiento transfiere energía lejos de la oscilación, por ejemplo a través de trabajo resistivo que aumenta la energía térmica de los amortiguadores y las alrededores. Mayor amortiguamiento puede reducir el movimiento peligroso de puentes/edificios. La deformación plástica de un material dúctil también absorbe energía mecánica irreversiblemente; la deformación puramente elástica devuelve la energía almacenada y no es el mismo mecanismo.

Explicación trabajada. Las personas caminando proporcionan una fuerza impulsora periódica a un puente. Si su frecuencia está cerca de una frecuencia natural, la energía se transfiere eficientemente al puente y la amplitud aumenta. Los amortiguadores realizan trabajo contra el movimiento, transfiriendo la energía de oscilación a almacenes térmicos, por lo que la amplitud estable está limitada. Vincule causa y efecto en este orden en lugar de listar “resonancia, energía, amortiguamiento”.

Para la misma forma y amplitud, añadir masa a un péndulo ligero aumenta su energía mecánica almacenada mientras que el período ideal de ángulo pequeño permanece sin cambios. Bajo pérdidas resistivas comparables, puede perder una fracción menor de energía por ciclo. Esa comparación contextual de amortiguamiento no demuestra que todo oscilador más pesado siempre amortigüe más lentamente.

Campos gravitatorios y órbitas

El campo y el potencial tienen significados diferentes

Un campo gravitatorio es una región donde una masa experimenta una fuerza. La intensidad del campo gravitatorio $g=F/m$ es la fuerza por unidad de masa de prueba. Es un vector apuntando hacia una masa fuente aislada. La ley de Newton para masas puntuales, o fuera de una fuente esféricamente simétrica, es:

$r$ es la distancia centro-a-centro, no la altura sobre la superficie. Para el movimiento local cercano a la Tierra, una intensidad de campo constante $g$ puede ser adecuada. Sobre grandes distancias radiales, no es constante.

El potencial gravitatorio es la energía potencial por unidad de masa, con cero en el infinito:

El potencial es un escalar y negativo a distancia finita. Moverse hacia afuera lo hace menos negativo, por lo que la energía potencial aumenta mientras la fuerza atractiva se debilita. Un valor de gráfico de potencial y su radio correspondiente dan $M=-Vr/G$.

Los campos gravitatorios y eléctricos son ambos radiales para fuentes puntuales aisladas y sus magnitudes de fuerza obedecen leyes inversas al cuadrado. La gravedad actúa sobre la masa y es atractiva en este modelo. La fuerza eléctrica actúa sobre la carga y puede atraer o repeler. La dirección del campo eléctrico sigue la fuerza sobre una carga de prueba positiva; una carga negativa es empujada en dirección opuesta.

Ejemplo resuelto. Un satélite $1000\ \mathrm{kg}$ se desplaza desde un radio $r_1=6.4\times10^6\ \mathrm m$ hasta $r_2=1.28\times10^7\ \mathrm m$ alrededor de la Tierra, $M=6.0\times10^{24}\ \mathrm{kg}$. Calcule su cambio en energía potencial.

El signo positivo es final menos inicial. Esta no es la energía total de lanzamiento, ya que la energía cinética también puede cambiar. Un $mg\Delta h$ con superficie constante $g$ no es adecuado para esta distancia.

Derivar una órbita circular

La fuerza gravitacional proporciona la resultante hacia el centro:

La masa orbitante se cancela. El periodo aumenta con el radio. Para aparecer estacionaria sobre un punto de un planeta en rotación, un satélite necesita una órbita circular ecuatorial, la misma dirección de rotación y velocidad angular/periodo coincidentes. Solo igualar el periodo no es suficiente.

Ejemplo resuelto. Para $GM=4.00\times10^{14}\ \mathrm{m^3\,s^{-2}}$ y periodo $T=8.64\times10^4\ \mathrm s$, calcule el radio de la órbita estacionaria.

Resta el radio del planeta solo si te piden la altura sobre la superficie. Para el campo superficial de una estrella, usa su radio, no su diámetro listado; verifica una afirmación de campo múltiplo al de la Tierra calculando la razón.

Radiación estelar, distancias y evolución

Temperatura, luminosidad e intensidad recibida

Un cuerpo negro absorbe toda la radiación electromagnética incidente y es un emisor térmico ideal. Su espectro continuo tiene una forma característica. Aumentar la temperatura incrementa la potencia total emitida por unidad de área y desplaza el pico de longitud de onda a longitudes de onda más cortas. El área bajo una curva de intensidad espectral representa la intensidad total solo con la definición adecuada del eje espectral.

Luminosidad $L_\star$ es la potencia total emitida. Intensidad $I$ recibida a distancia $d$ es potencia por unidad de área receptora. Para una estrella esférica cuerpo negro de radio $R$ que irradia equitativamente en todas direcciones:

La primera área es la superficie emisora; la segunda es la esfera expansiva receptora. No sustituyas la distancia del observador en el área superficial de la estrella. Los emisores reales pueden no ser cuerpos negros perfectos, y el material intermedio puede absorber radiación.

La constante establecida de Wien describe un espectro por unidad de longitud de onda. Un máximo de un espectro trazado por unidad de frecuencia no se transforma en ese máximo de longitud de onda simplemente reemplazando $\lambda$ con $c_0/f$. Si un examen da la frecuencia correspondiente a su pico de longitud de onda especificado, convierte esa longitud de onda dada usando $c_0=f\lambda$. No conviertas esa convención particular en una regla general para cada trazo espectral.

Ejemplo resuelto. El espectro de longitud de onda de una estrella tiene un pico en $580\ \mathrm{nm}$ y su radio es $7.0\times10^8\ \mathrm m$. Encuentra la temperatura, luminosidad e intensidad a $1.5\times10^{11}\ \mathrm m$.

Mantén la temperatura sin redondear porque se eleva a la cuarta potencia. Compara la intensidad recibida con la referencia declarada antes de aceptar una afirmación sobre temperatura planetaria o potencia.

Dos métodos de distancia

Paralaje trigonométrico mide el desplazamiento angular aparente de una estrella cercana contra estrellas lejanas de fondo mientras la Tierra se mueve alrededor del Sol. Las observaciones separadas seis meses usan una línea de base de dos radios de órbita terrestre. El ángulo de paralaje $p$ es la mitad del desplazamiento total. Para $p$ pequeños en radianes, la distancia es $d\approx r_{\rm orbit}/p$. Un parsec es la distancia que produce un paralaje de $1$ segundo de arco; $d_{\rm pc}=1/p_{\rm arcsec}$. No uses el diámetro de la Tierra o el Sol como línea de base orbital.

A gran distancia, $p$ se vuelve demasiado pequeño para que el instrumento lo mida con precisión. La limitación es la resolución angular/incertidumbre relativa, no necesariamente que la estrella sea invisible.

Una vela estándar es un objeto de luminosidad conocida. Identifícalo en un cúmulo, mide la intensidad recibida y usa $d=\sqrt{L_\star/(4\pi I)}$. Su brillo aparente no se asume conocido de antemano. Las estrellas variables Cefeidas tienen una relación calibrada entre periodo y luminosidad. Mide varios periodos completos de la curva de luz, divídelos por su número, lee la calibración cuidadosamente y convierte cualquier unidad de luminosidad solar. Una línea recta en ejes logarítmicos no implica automáticamente una relación lineal entre las cantidades crudas.

Ejemplo resuelto. Una vela estándar tiene $L_\star=4.0\times10^{28}\ \mathrm W$ e intensidad recibida $2.0\times10^{-10}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$.

Leer el diagrama de Hertzsprung–Russell

Un diagrama de Hertzsprung–Russell representa la luminosidad verticalmente frente a la temperatura superficial horizontalmente, usualmente con la temperatura disminuyendo hacia la derecha y escalas logarítmicas. La secuencia principal va desde estrellas calientes y brillantes en la esquina superior izquierda hasta estrellas frías y tenues en la inferior derecha. Las gigantes rojas son frías pero luminosas debido a sus grandes áreas superficiales. Los enanos blancos son calientes pero tenues debido a sus pequeñas áreas superficiales. Marque el Sol cerca de una luminosidad solar y aproximadamente $5800\ \mathrm K$ en la secuencia principal.

Las estrellas se forman cuando la gravedad contrae una nube de gas y polvo. El núcleo se calienta hasta que la fusión del hidrógeno puede sostener una estrella de la secuencia principal; la presión hacia afuera equilibra la gravedad. En una estrella similar al Sol, el hidrógeno del núcleo eventualmente se agota, la fusión allí disminuye y la gravedad contrae el núcleo. La temperatura del núcleo aumenta; la quema de hidrógeno en la capa y posteriormente la fusión del helio están asociadas con la expansión a una gigante roja. Se pierden las capas externas, dejando un núcleo de enano blanco sin fusión sostenida. Se enfría durante un tiempo muy largo. El Sol no se convertirá en supernova ni en estrella de neutrones.

Una estrella mucho más masiva puede fusionar elementos más pesados a través de etapas posteriores. Cuando su núcleo ya no puede obtener energía de la fusión, el colapso y una supernova pueden dejar una estrella de neutrones o un agujero negro, dependiendo del remanente. Una estrella masiva de la secuencia principal tiene más combustible, pero lo consume mucho más rápido debido a su núcleo más caliente. Por lo tanto, su vida útil en la secuencia principal puede ser más corta. Explique la tasa de fusión, no solo la cantidad de combustible. Una trayectoria HR muestra cambios de temperatura/luminosidad, no una estrella viajando por el espacio.

Desplazamientos Doppler y cosmología

Comparar la misma línea espectral

El efecto Doppler es un cambio en la frecuencia/longitud de onda observada causado por el movimiento relativo a lo largo de la línea de visión. Las frentes de onda sucesivas llegan más separadas de una fuente que se aleja y más juntas de una fuente que se acerca. La recesión produce longitudes de onda más largas y frecuencias más bajas; el acercamiento produce longitudes de onda más cortas y frecuencias más altas. El movimiento puramente perpendicular a la línea de visión no es la velocidad de recesión en el modelo simple.

Para radiación electromagnética a bajas velocidades de recesión:

Corrimiento al rojo $z$ es positivo para la recesión. Para desplazamientos pequeños, su magnitud también es aproximadamente igual a la disminución fraccionaria de la frecuencia observada respecto a la frecuencia emitida. Indique la convención de signos: $(f_{\rm observed}-f_{\rm rest})/f_{\rm rest}$ es negativo para la recesión. No iguale un corrimiento al rojo positivo a un aumento firmado de frecuencia. La aproximación $v/c_0$ no es una fórmula relativista general de alta velocidad.

Ejemplo resuelto. Una línea emitida en $500\ \mathrm{nm}$ se observa en $505\ \mathrm{nm}$.

Para usar las líneas de absorción de una estrella, recuerde la Unidad 2: los fotones solo se absorben cuando sus energías coinciden con las diferencias permitidas entre niveles atómicos. Compare la misma línea espectral identificada, no dos elementos diferentes.

Para los bordes opuestos de una estrella rotante, uno se acerca mientras el otro se aleja. Si sus desplazamientos son iguales y opuestos, la separación de las dos longitudes de onda observadas es el doble del desplazamiento de cualquiera de los bordes. Divida esa separación por dos antes de encontrar la velocidad ecuatorial. Luego use $T=2\pi R/v$. Esto asume que la velocidad observada del borde a lo largo de la línea de visión representa la velocidad de rotación ecuatorial bajo la geometría de observación indicada.

Ley de Hubble y sus límites

En escalas cosmológicas grandes, la velocidad de recesión sigue aproximadamente la ley de Hubble:

La constante de Hubble $H_0$ tiene unidades de inverso de tiempo. En $\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$, convierta kilómetros a metros y megaparsecs a metros antes de tomar su recíproco en segundos. Los objetos cercanos pueden tener movimientos locales que no siguen la relación a gran escala.

Ejemplo resuelto. Use $H_0=70\ \mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ y $1\ \mathrm{Mpc}=3.1\times10^{22}\ \mathrm m$ para estimar una escala de tiempo de expansión.

El recíproco es el tiempo de Hubble. Interpretarlo como una edad asume un modelo para la tasa de expansión pasada; no es una edad exacta independiente de modelos. Un $H_0$ más grande da una escala de tiempo recíproca más pequeña. La evidencia de la expansión apoya un universo anterior más denso y caliente; no describe una explosión hacia un centro rodeado de espacio vacío.

Materia oscura se infiere a partir de efectos gravitacionales que la materia visible sola no explica, como la rotación y el movimiento galáctico. No necesita emitir luz detectable. La cantidad de materia gravitante afecta cómo cambia la expansión; por tanto, la incertidumbre en el contenido de materia y el modelo de expansión influye en las predicciones del destino del universo. No infiera que una sola medición de $H_0$ demuestra por sí misma una expansión perpetua o un colapso futuro. Los modelos modernos también consideran la energía oscura; el resultado 171 requiere específicamente comprender la controversia sobre $H_0$, materia oscura, edad y destino, en lugar de memorizar una predicción sin calificaciones.

Compruébalo tú mismo

1. ¿Por qué puede aumentar la energía interna sin que aumente la temperatura durante un cambio de fase?
2. Una cantidad fija de gas se calienta en un recipiente rígido. ¿Qué escala de temperatura debe usarse para comparar presiones?
3. ¿Una mayor energía de enlace por nucleón significa que se necesita menos o más energía para separar cada nucleón en promedio?
4. ¿Por qué se debe restar el fondo antes de usar una razón de tasa de conteo o un logaritmo?
5. Una línea $a$–$x$ tiene pendiente $-25\ \mathrm{s^{-2}}$. Encuentre la frecuencia angular.
6. ¿Por qué la velocidad máxima del MHS es en el equilibrio aunque la aceleración sea cero allí?
7. ¿Por qué un puente amortiguado puede ser impulsado a la misma frecuencia pero oscilar con menor amplitud?
8. ¿Elevar un satélite a un radio mayor aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria firmada?
9. Una estrella es caliente pero tenue. ¿Qué región del diagrama HR es plausible y qué puede explicar su baja luminosidad?
10. Al usar la separación de longitudes de onda de los bordes rotantes opuestos, ¿por qué se necesita un factor de dos?

Respuestas: (1) cambia la energía potencial molecular; (2) kelvin; (3) más; (4) el fondo no sigue la ley de desintegración/distancia de la fuente; (5) $\omega=\sqrt{25\ \mathrm{s^{-2}}}=5.0\ \mathrm{rad\,s^{-1}}$; (6) la fuerza restauradora resultante es cero allí pero la energía es mayoritariamente cinética; (7) la mayor pérdida de energía limita la amplitud estable; (8) aumenta hacia cero; (9) enana blanca, pequeña superficie emisora; (10) un lado está desplazado al azul mientras el otro está desplazado al rojo.