التردد والدور في الحركة التوافقية البسيطة
| English | العربية |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | الدور |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | التردد |
| angular frequency/ˈæŋɡjʊlə ˈfriːkwənsi/ | التردد الزاوي |
عدّ النبضات
- الميترonomium يدق بمعدل ثابت يمكنك عده.
- كتلة ثقيلة على نابض ناعم تهتز ببطء؛ ونابض صلب يرتد بسرعة.
- لكل متذبذب إيقاع طبيعي خاص به.
- معادلتان بسيطتان تتنبآن بدقة بمدى تكرار كل واحد منهما.
الزمن الدوري، التردد، وأوميغا
- الزمن الدوري $T$ هو الوقت لدورة كاملة واحدة.
- التردد $f = 1/T$ يعد عدد الدورات في الثانية.
- التردد الزاوي هو $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$.
له مهتز فترة $0.25\ \text{s}$. ما تردده (بوحدة هرتز)؟
$f = 1/T = 1/0.25 = 4\ \text{Hz}$.
كتلة معلقة بنابر
- كتلة $m$ على نابض صلابته $k$ لها زمن دوري:
- الكتلة الأثقل تهتز ببطء (زمن $T$ أطول)؛ والنابض الصلب أسرع.
- ذلك ينتج عن $\omega = \sqrt{k/m}$.
استبدلت كتلة مهتز زنبركي بكتلة أثقل. الفترة...
$T = 2\pi\sqrt{m/k}$، لذا يعطي $m$ أكبر قيمة $T$ أطول.
إذا ربّعت الكتلة على زنبرك، تصبح الفترة...
$T \propto \sqrt{m}$، لذا $\sqrt{4} = 2$ × الفترة.
بندول متأرجح
- بندول طوله $L$ له زمن دوري:
- البندول الأطول يتأرجح ببطء؛ والجاذبية الأقوى تجعله أسرع.
- لاحظ أن كتلة العقدة لا تظهر هنا.
ماذا يغير الفترة؟
رتب كل تغيير حسب ما إذا كان يغير فترة المهتز.
جعل ثقل البندول أثقل (نفس الطول) يغير فترته.
$T = 2\pi\sqrt{L/g}$ ليس فيه حد للكتلة -- كتلة الثقل لا يهم.
البندول له $L = 1.0\ \text{m}$ و$g = 9.8\ \text{m/s}^2$. ما دوره (بالثواني، بدقة 1 أرقام عشرية)؟
$T = 2\pi\sqrt{L/g} = 2\pi\sqrt{1/9.8} \approx 2.0\ \text{s}$.
كتلة $0.2\ \text{kg}$ على نابض $k = 50\ \text{N/m}$.
- الزمن الدوري: $T = 2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{0.2/50} = 2\pi\sqrt{0.004} \approx 0.40\ \text{s}$.
- التردد: $f = 1/T \approx 2.5\ \text{Hz}$.
لحركة توافقية بسيطة مثالية، سعة أكبر تعطي فترة أطول.
الفترة مستقلة عن السعة -- التأرجحات الكبيرة والصغيرة تأخذ نفس الوقت.
حقيقة مذهلة — بالنسبة للحركة التوافقية المثالية، فإن الزمن الدوري لا يعتمد على السعة، لذا تأخذ الحركة الكبيرة والحركة الصغيرة نفس الوقت. صيغة البندول صالحة فقط للزوايا الصغيرة؛ وزمن نابض يتجاهل الجاذبية وزمن البندول يتجاهل كتلة العقدة. واحذر من الجذر التربيعي: مضاعفة الكتلة تضاعف الزمن الدوري فقط.
الـزمن الدوري $T$ (دورة واحدة)، والـتردد $f = 1/T$، والـالتردد الزاوي $\omega = 2\pi/T$ يصفون الإيقاع. النابض يعطي $T = 2\pi\sqrt{m/k}$؛ والبندول يعطي $T = 2\pi\sqrt{L/g}$. الزمن الدوري مستقل عن السعة، وكل صيغة تتجاهل شيئاً واحداً — النابض يتجاهل الجاذبية، والبندول يتجاهل كتلة العقدة.