تكامل الدوال باستخدام القسمة الطويلة وإكمال المربع
| English | العربية |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | إكمال المربع |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | القسمة الطويلة للكثيرات الحدود |
أعد الكتابة أولاً، ثم اكمل التكامل
- بعض الدوال النسبية لا تتوافق مع أي مشتق عكسي أساسي — حتى تقوم بإعادة كتابتها.
- أدواتان جبريتان تحضرن كائن تكامل صعب: القسمة المطولة وإكمال المربع.
- لا إحداهما من التفاضل والتكامل؛ كلاهما يعيد تشكيل الكسر إلى شكل أكثرودية.
- بعد ذلك تنتهي قاعدة أساسية أو تكامل معروف المهمة.
القسمة المطولة لكسور "ثقلها في البسط"
- إذا كان درجة البسط تساوي $\ge$ درجة المقام، فإن الكسر غير صحيح.
- استخدم القسمة المطويلة لكثيرات الحدود لتجزئته إلى كثير حد زائد باقٍ صحيح.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — الآن كل جزء يكامل بسهولة.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
منحنى كسري لإعادة كتابته
y = a / (x − b)
الكسر غير المختزل مثل $\tfrac{x^2}{x+1}$ يصبح خطًا زائد باقٍ صغير — كل جزء يُكامل بسهولة.
استخدم القسمة الطويل لكثيرات الحدود عندما يكون درجة البسط...
الكسر غير المختزل (الأعلى أثقل) يتطلب القسمة.
تعطي القسمة الطويلة $\dfrac{x^2}{x+1}=$
$x^2=(x+1)(x-1)+1$، لذا فإن ناتج القسمة هو $x-1$ والباقي $1$.
إكمال المربع لأشكال دوال الزاوية العكسية
- مقام مثل $x^2+4x+5$ يخفي مربعًا كاملاً: أكمل المربع لـ $(x+2)^2+1$.
- هذا $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ الشكل يطابق المشتقة العكسية لت التابع.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- إكمال المربع يحول مقام تربيعي فوضوي إلى نمط $u^2+a^2$ نظيف.
إكمال المربع، $x^2+4x+5=$
$(x+2)^2=x^2+4x+4$، إذن $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$.
الشكل $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ يُكامل ليعطي دالة ____.
$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
تعرف على الإشارة
- درجة البسط $\ge$ درجة المقام → ابدأ بـ القسمة المطولة أولاً.
- مقام تربيعي غير قابل للتحليل (لا جذور حقيقية) → جرب إكمال المربع نحو ت تابع.
- هذه حركات تمهيدية؛ التكامل الفعلي هو قاعدة أساسية أو تعويض u لاحقاً.
- تحديد نوع إعادة الكتابة المستخدم يمثل نصف المعركة.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
اقسم أولاً، ثم أكمل $x-1+\tfrac1{x+1}$.
طابق الإشارة مع إعادة الكتابة: حدد جميع الأزواج الصحيحة.
القسمة الطويلة للكسور غير المختزلة فقط؛ كلاهما إعادة كتابة ما قبل التكامل.
قم بـ القسمة المطولة فقط عندما يكون الكسر غير صحيح (درجة البسط $\ge$ درجة المقام) — قسمة كسر صحيح لا تأخذك لمكان. وبعد إكمال المربع، احتفظ بالثابت في مكانه: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$، وليس $(x+2)^2+5$. الثابت الخاطئ يكسر تطابق ت تابع.
تكامل $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$.
- القسمة المطولة: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- تكامل حدًا تلو الآخر: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (كل جزء مُعاد كتابته يستخدم قاعدة مشتقة عكسية أساسية.)
عندما لا يناسب الكسور الكسرية أي قاعدة أساسية، أعد كتابتها أولاً: استخدم القسمة المطولة لكسر غير صحيح (درجة البسط $\ge$ درجة المقام)، أو أكمل المربع في مقام تربيعي غير قابل للتحليل للوصول إلى صيغة arctangent. ثم أتم مع مشتقة عكسية أساسية.