قواعد الاشتقاق: الثابت، المجموع، الفرق، والضرب في ثابت
| English | العربية |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | كثيرة حدود |
أربع قواعد تكسر كثير الحدود
- قاعدة القوة تتعامل مع حد واحد. لاشتقاق كثير حدود كامل، تحتاج إلى دمج الحدود.
- أربع قواعد بسيطة تتيح لك القيام بذلك حداً بحد، في ذهنك.
- تغطي الثوابت، والمجموع، والفرق، ومعاملات الضرب.
- مع قاعدة القوة، تسمح باشتقاق أي كثير حدود في مرور واحد.
الثابت، المجموع، والفرق
- قاعدة الثابت: مشتقة الثابت هي $0$. الخط الأفقي له ميل صفر: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- قاعدة المجموع: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — اشتق كل جزء وأضف.
- قاعدة الفرق: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ — نفس الشيء، مع علامة الطرح.
- لذا يمكنك تقسيم التعبير الطويل والتعامل مع كل حد على حدة.
ما هو $\dfrac{d}{dx}[12]$؟
مشتقة أي عدد ثابت هي $0$.
وفقاً لقاعدة المجموع، $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____.
اشتق كل جزء ثم اجمعهم.
المضاعف الثابت
- قاعدة المضاعف الثابت: المعامل البسيط يبقى كما هو: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- الرقم الموجود في المقدمة يبقى دون تغيير بواسطة الاشتقاق؛ فقط الجزء المتعلق بـ $x$ يتغير.
- ادمجها مع قاعدة المجموع: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
دالة تكعيبية وميلها المتغير
y = ax³ + bx
مشتقة كثير حدود هي كثيرة حدود أخرى — اسحب المعاملات وتصور أين يكون الميل موجباً أو سالباً.
إذا كان $f(x)=5x^3$، فأوجد $f'(2)$.
$f'(x)=15x^2$، إذن $f'(2)=15\cdot4=60$.
بالنسبة لـ $\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$، حدد جميع المشتقات الصحيحة للحدود.
المشتقة الثابتة $-8$ هي $0$، وليست $-8$.
اشتق كثير الحدود في مرور واحد
- اقرأ كثير الحدود حداً بحد، مطبقاً قاعدة القوة والمعاملات أثناء التمرير.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- لاحظ أن الثابت $-9$ يختفي، وأن $7x$ يصبح ببساطة $7$.
- مع التدريب، تكتب المشتقة مباشرة بدون عمل ورقي.
اشتق $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$.
حدًا تلو الآخر: $12x^3$، $-4x$، $+7$، والثابت $\to 0$.
قاعدة الجمع تسمح لك بحساب $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$ كـ $f'\cdot g'$.
قواعد المجموع/الفرق تنطبق على $+$ و$-$ فقط؛ أما الضرب فيحتاج إلى قاعدة الضرب.
لا يوجد "اختصار لقاعدة الضرب" مختبئ هنا: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$ ليس $f'\cdot g'$. قواعد المجموع/الفرق تنطبق عبر $+$ و$-$ فقط. الضرب والقسمة تحتاج إلى قواعدها الخاصة (دروس 2.8–2.9). أيضاً، مشتقة الثابت هي $0$، وليست الثابت نفسه.
اشتق $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$.
- أعد الكتابة: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- حداً بحد: $6\cdot3x^2$، $4\cdot(-2)x^{-3}$، $-1$، و$0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
أربع قواعد دمج: الثابت $\to 0$؛ المجموع/الفرق تشتق حداً بحد؛ المضاعف الثابت يحافظ على المعامل في المقدمة ($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). مع قاعدة القوة، تشتق أي كثير حدود في مرور واحد — لكنها تنطبق فقط عبر $+$ و$-$، أبداً عبر حاصل ضرب.