Functions · 函数
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|---|---|---|
| function/ˈfʌŋkʃn/ | 函数 | hán shù |
| domain/dəˈmeɪn/ | 定义域 | dìng yì yù |
| range/reɪndʒ/ | 值域 | zhí yù |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | 反函数 | fǎn hán shù |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 复合函数 | fù hé hán shù |
A machine with an input and an output
- A vending machine: you put in a code (input), it gives you a snack (output). A function 函数 works the same way — each input produces exactly one output.
- $f(x) = 3x - 5$ is a function: put in $x = 2$, get out $f(2) = 1$.
一台有输入和输出的机器
- 一台自动售货机:你输入一个代码(输入),它给你一个零食(输出)。一个函数(function)以同样的方式工作——每个输入产生恰好一个输出。
- $f(x) = 3x - 5$ 是一个函数:输入 $x = 2$,输出 $f(2) = 1$。
Evaluating functions
- $f(x) = 3x - 5$: $\;f(2) = 3(2) - 5 = 1$; $\;f(0) = -5$; $\;f(-1) = -8$.
- The domain 定义域 is the set of allowed inputs. The range 值域 is the set of possible outputs.
$f(x) = \sqrt{x}$ has domain $x \geq 0$ (can't square-root a negative) and range $f(x) \geq 0$.
求函数的值
- $f(x) = 3x - 5$:$\;f(2) = 3(2) - 5 = 1$;$\;f(0) = -5$;$\;f(-1) = -8$。
- 定义域(domain)是允许的输入的集合。值域(range)是可能的输出的集合。
$f(x) = \sqrt{x}$ 有定义域 $x \geq 0$(不能对一个负数求平方根)和值域 $f(x) \geq 0$。
Functions · 函数
y = f(x)
A function turns each input · 输入 into exactly one output · 输出 — watch its shape. · 一个函数把每个输入变成恰好一个输出——观察它的形状。
For f(x) = 3x − 5, what is f(2)? · 对 f(x) = 3x − 5,f(2) 是多少?
f(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1. · f(2) = 3(2) − 5 = 6 − 5 = 1。
For f(x) = x² + 1, what is f(3)? · 对 f(x) = x² + 1,f(3) 是多少?
f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10. · f(3) = 3² + 1 = 9 + 1 = 10。
Inverse functions 反函数
- The inverse $f^{-1}$ undoes $f$: if $f$ turns $2$ into $1$, then $f^{-1}$ turns $1$ back into $2$.
- Method: write $y = f(x)$, swap $x$ and $y$, then make $y$ the subject.
- $f(x) = 3x - 5$: $y = 3x - 5$, swap: $x = 3y - 5$, solve: $y = \dfrac{x+5}{3}$.
- So $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$. Check: $f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$ ✓.
$f^{-1}$ is NOT $f$ to the power $-1$. The notation $f^{-1}(x)$ means "the inverse of $f$", not "$\dfrac{1}{f(x)}$". These are completely different.
反函数
- 反函数(inverse)$f^{-1}$ 撤销 $f$:如果 $f$ 把 $2$ 变成 $1$,那么 $f^{-1}$ 把 $1$ 变回 $2$。
- 方法:写 $y = f(x)$,交换 $x$ 和 $y$,然后使 $y$ 成为主项。
- $f(x) = 3x - 5$:$y = 3x - 5$,交换:$x = 3y - 5$,解:$y = \dfrac{x+5}{3}$。
- 所以 $f^{-1}(x) = \dfrac{x+5}{3}$。检查:$f^{-1}(1) = \dfrac{6}{3} = 2$ ✓。
$f^{-1}$ 不是 $f$ 的 $-1$ 次幂。 记号 $f^{-1}(x)$ 意味着"$f$ 的反函数",不是"$\dfrac{1}{f(x)}$"。这些是完全不同的。
The inverse of f(x) = 3x − 5 is f⁻¹(x) = (x + 5)/3. What is f⁻¹(1)? · f(x) = 3x − 5 的反函数是 f⁻¹(x) = (x + 5)/3。f⁻¹(1) 是多少?
f⁻¹(1) = (1 + 5)/3 = 6/3 = 2. · f⁻¹(1) = (1 + 5)/3 = 6/3 = 2。
To find the inverse of f(x), write y = f(x), swap x and y, then make ______ the subject. · 要求 f(x) 的反函数,写 y = f(x),交换 x 和 y,然后使______成为主项。
After swapping, solve for y — that gives you f⁻¹(x). · 交换后,解出 y——那给你 f⁻¹(x)。
Composite functions 复合函数
- $gf(x)$ means "do $f$ first, then apply $g$ to the result".
- $f(x) = 2x$, $g(x) = x + 3$: $gf(x) = g(2x) = 2x + 3$.
- $fg(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6$. Order matters!
复合函数
- $gf(x)$ 意味着"先做 $f$,然后把 $g$ 应用到结果"。
- $f(x) = 2x$,$g(x) = x + 3$:$gf(x) = g(2x) = 2x + 3$。
- $fg(x) = f(x+3) = 2(x+3) = 2x + 6$。顺序重要!
If f(x) = 2x and g(x) = x + 3, what is gf(x) at x = 5? (gf means do f first) · 如果 f(x) = 2x 且 g(x) = x + 3,gf(x) 在 x = 5 是多少?(gf 意味着先做 f)
gf(5) = g(f(5)) = g(10) = 10 + 3 = 13. · gf(5) = g(f(5)) = g(10) = 10 + 3 = 13。
For f(x) = 2x and g(x) = x + 3, gf(x) and fg(x) give the same result. · 对 f(x) = 2x 且 g(x) = x + 3,gf(x) 和 fg(x) 给出相同的结果。
gf(x) = 2x + 3, but fg(x) = 2(x+3) = 2x + 6. The order matters. · gf(x) = 2x + 3,但 fg(x) = 2(x+3) = 2x + 6。顺序重要。
Fun fact
- The identity function $I(x) = x$ leaves everything unchanged. For any function, $f \circ f^{-1} = I$ — composing a function with its inverse gives back the original input.
Every curve here is a function: for each input $x$, there's exactly one output $y$.
趣味事实
- 恒等函数(identity function)$I(x) = x$ 使一切不变。对任何函数,$f \circ f^{-1} = I$——把一个函数与它的反函数复合给回原来的输入。
这里每条曲线都是一个函数:对每个输入 $x$,有恰好一个输出 $y$。
You've got it
- $f(x) = 3x - 5 \Rightarrow f(2) = 1$; domain = inputs, range = outputs
- inverse $f^{-1}$ undoes $f$: swap $x$ and $y$, then solve for $y$
- composite $gf(x)$ = do $f$ first, then $g$; order matters ($gf \neq fg$)
你掌握了
- $f(x) = 3x - 5 \Rightarrow f(2) = 1$;定义域 = 输入,值域 = 输出
- 反函数 $f^{-1}$ 撤销 $f$:交换 $x$ 和 $y$,然后解出 $y$
- 复合 $gf(x)$ = 先做 $f$,然后 $g$;顺序重要($gf \neq fg$)