Defining and Differentiating Vector-Valued Functions · 向量值函数的定义与求导
| English | 中文 | Pinyin · 拼音 |
|---|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | 向量值函数 | xiàng liàng zhí hán shù |
Packaging motion into a single arrow
- A parametric curve gives $x(t)$ and $y(t)$ separately. Bundle them into one object: a vector-valued function 向量值函数.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ is the position vector — an arrow from the origin to the moving point.
- It describes planar motion compactly, tracking both coordinates at once.
- Everything from parametric curves reappears here, in vector form.
把运动打包成一支箭
- 参数曲线分别给出 $x(t)$ 和 $y(t)$。把它们打包成一个对象:一个向量值函数。
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ 是位置向量——从原点指向动点的箭。
- 它紧凑地描述平面运动,同时追踪两个坐标。
- 参数曲线的一切在这里以向量形式重现。
A path traced by r(t) · r(t) 追踪的路径
y = ax² + bx
The position vector $\mathbf{r}(t)$ points to the moving particle; its derivative (component-wise) is the velocity vector. · 位置矢量 $\mathbf{r}(t)$ 指向运动粒子；其导数（逐分量）是速度矢量。
Differentiate component by component
- To differentiate a vector-valued function, just differentiate each component separately:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- No new rules — the derivative of a vector is the vector of the derivatives.
- $\mathbf{r}'(t)$ is the velocity vector, pointing in the direction of motion.
逐分量求导
- 要对向量值函数求导,只需分别对每个分量求导:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- 没有新规则——向量的导数是各导数组成的向量。
- $\mathbf{r}'(t)$ 是速度向量,指向运动方向。
To differentiate $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$, you... · 要对 $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ 求导，你需...
$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
Velocity and acceleration vectors
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — the velocity vector.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — the acceleration vector.
- Each is found by differentiating the components again.
- The velocity vector is tangent to the path; its length is the speed.
速度与加速度向量
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$——速度向量。
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$——加速度向量。
- 各自通过再次对分量求导得到。
- 速度向量与路径相切;它的长度是速率。
For · 支持 $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$, the velocity $\mathbf{v}(t)=$ · 对于 $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$，速度 $\mathbf{v}(t)=$
Differentiate each component. · 分别对每个分量求导。
The acceleration vector is... · 加速度矢量是...
Differentiate position twice: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$. · 对位置求两次导：$\mathbf{a}=\mathbf{r}''$。
Speed is the magnitude of velocity
- Speed is not a vector — it's the magnitude $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$.
- That's the same speed integrand as parametric arc length.
- So velocity carries direction and size; speed is just the size.
- Differentiate to go position → velocity → acceleration, component by component.
速率是速度的模
- 速率不是向量——它是模 $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$。
- 这与参数弧长的速率被积函数相同。
- 所以速度带方向和大小;速率只是大小。
- 逐分量求导以从位置 → 速度 → 加速度。
For · 支持 $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$, find the speed $|\mathbf{v}(0)|$. · 对于 $\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$，求速率 $|\mathbf{v}(0)|$。
$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
Speed is a vector, the same as velocity. · 速率是矢量，与速度相同。
Speed is the scalar magnitude $|\mathbf{v}|$. · 速率是标量模 $|\mathbf{v}|$。
Speed equals the ____ of the velocity vector. · 速率等于速度矢量的 ____。
$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
Differentiate a vector component by component — don't try to differentiate the "whole vector" as one messy expression. And keep velocity (a vector) distinct from speed (its magnitude, a scalar): $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, never just $x'+y'$.
逐分量对向量求导——别试图把"整个向量"当作一个杂乱表达式来求导。并保持速度(向量)与速率(它的模,标量)不同:$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$,绝非只是 $x'+y'$。
For $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$, find $\mathbf{v}(t)$ and the speed at $t=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- At $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- Speed $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
对 $\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$,求 $\mathbf{v}(t)$ 与 $t=0$ 处的速率。
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$。
- 在 $t=0$:$\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$。
- 速率 $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$。
A vector-valued function $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ describes planar motion. Differentiate it component by component: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$ (velocity), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (acceleration). Speed is the magnitude $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — a scalar, distinct from the velocity vector.
向量值函数 $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$ 描述平面运动。逐分量求导:$\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$(速度),$\mathbf{a}=\mathbf{r}''$(加速度)。速率是模 $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$——标量,与速度向量不同。