Integrating Vector-Valued Functions · 积分向量值函数
Integrating a vector, one component at a time
- Differentiating a vector was component-wise. Integrating one is exactly the same.
- Integrate each component separately, and bundle the results back into a vector.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- This lets you run motion backward: from acceleration to velocity, velocity to position.
逐分量地对向量积分
- 对向量求导是逐分量的。对它积分也完全一样。
- 分别对每个分量积分,再把结果打包回一个向量。
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$。
- 这让你把运动倒着跑:从加速度到速度、速度到位置。
To integrate $\langle f(t),g(t)\rangle$, you... · 要积分 $\langle f(t),g(t)\rangle$，你需...
Integrate componentwise, plus a constant vector. · 逐分量积分，加常向量。
Component-wise antiderivatives
- Each component gets its own antiderivative — and its own constant.
- The constants combine into a constant vector $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$.
- So the indefinite integral of a vector function is itself a vector (plus $\mathbf{C}$).
- Nothing new to learn — just apply single-variable integration twice.
逐分量的原函数
- 每个分量有自己的原函数——和自己的常数。
- 这些常数合并成一个常数向量 $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$。
- 所以向量函数的不定积分本身是一个向量(加 $\mathbf{C}$)。
- 没有新东西要学——只是把单变量积分用两次。
Integrating a vector function introduces a constant vector $\mathbf{C}$. · 积分向量函数引入常向量 $\mathbf{C}$。
One constant per component, bundled into $\mathbf{C}$. · 每个分量一个常数，打包进 $\mathbf{C}$。
Each component of the integral has its own constant of integration. · 积分的每个分量都有自己的积分常数。
They combine into the constant vector $\mathbf{C}$. · 它们组合成常向量 $\mathbf{C}$。
Velocity from acceleration
- Given the acceleration vector $\mathbf{a}(t)$, integrate to recover velocity:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, with the constant vector fixed by an initial velocity $\mathbf{v}(t_0)$.
- Integrate again for position, using an initial position.
- It's the vector version of "position ← velocity ← acceleration" by integration.
由加速度求速度
- 给定加速度向量 $\mathbf{a}(t)$,积分还原速度:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$,常数向量由初速度 $\mathbf{v}(t_0)$ 确定。
- 再积分一次求位置,用初始位置。
- 这是"位置 ← 速度 ← 加速度"通过积分的向量版本。
Integrate acceleration to velocity · 积分加速度至速度
y = ax² + bx
Integrating each acceleration component (plus a constant) recovers velocity — the initial condition fixes the constants. · 积分每个加速度分量（加常数）恢复速度 —— 初始条件确定常数。
Integrating the acceleration vector recovers the... · 积分加速度矢量恢复...
Acceleration integrates to velocity. · 加速度积分得速度。
Use the initial condition to find $\mathbf{C}$
- Each integration introduces a constant vector you must pin down.
- Plug in the given initial vector (velocity or position at a time) and solve for $\mathbf{C}$.
- Do this per component: the initial condition fixes both $C_1$ and $C_2$.
- Then write the fully determined vector function.
用初始条件求 $\mathbf{C}$
- 每次积分都引入一个你必须确定的常数向量。
- 代入给定的初始向量(某时刻的速度或位置)并解出 $\mathbf{C}$。
- 逐分量做:初始条件同时确定 $C_1$ 和 $C_2$。
- 然后写出完全确定的向量函数。
If $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ and $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$, then $\mathbf{v}(t)=$ · 若 $\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$ 且 $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$，则 $\mathbf{v}(t)=$
Integrate then apply $\mathbf{v}(0)$: $C_1=1,C_2=0$. · 积分后应用 $\mathbf{v}(0)$：$C_1=1,C_2=0$。
To determine the constant vector, apply the given ____ condition. · 为确定常向量，应用给定的 ____ 条件。
Plug in the initial velocity or position. · 代入初始速度或位置。
Integrate each component separately, and don't forget a constant vector $\mathbf{C}$ — a constant of integration for each component. Use the initial condition (velocity or position at a given time) to solve for $\mathbf{C}$ component by component before reporting the answer.
分别对每个分量积分,别忘了一个常数向量 $\mathbf{C}$——每个分量一个积分常数。在报告答案前,用初始条件(某时刻的速度或位置)逐分量解出 $\mathbf{C}$。
If $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$ and $\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$, find $\mathbf{v}(t)$.
- Integrate: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- Apply $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$: $C_1=1$, $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
若 $\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$、$\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$,求 $\mathbf{v}(t)$。
- 积分:$\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$。
- 应用 $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$:$C_1=1$,$C_2=0$。
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$。
Integrate a vector-valued function component by component: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, plus a constant vector $\mathbf{C}$. Integrate acceleration to get velocity (and again for position), using an initial condition to solve for $\mathbf{C}$ in each component.
逐分量对向量值函数积分:$\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$,加一个常数向量 $\mathbf{C}$。对加速度积分得速度(再一次得位置),用初始条件逐分量解出 $\mathbf{C}$。