A-Level Mathematics · Toán học A-Level · Topic 1 · Chủ đề 1
28:42
Toán Cơ bản 1
Hãy nhìn một cây cầu treo vĩ đại. Sợi cáp khổng lồ của nó không phải là hình dạng ngẫu nhiên — nó buông xuống theo một parabol hoàn hảo, một đường cong bạn có thể viết bằng một phương trình duy nhất. Sự…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
This handout covers Topic 1: Pure Mathematics 纯数学 1. It is the algebra 代数 and calculus 微积分 core of the course. Each ## section is one syllabus subtopic.
Tài liệu này bao gồm Chủ đề 1: Toán Thuần túy 1. Đây là phần đại số và giải tích cốt lõi của khóa học. Mỗi ## mục là một chủ đề con của chương trình.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| carry out the process of completing the square for a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use a completed square form | e.g. to locate the vertex of the graph of $y = ax^2 + bx + c$ or to sketch the graph |
| find the discriminant of a quadratic polynomial $ax^2 + bx + c$ and use the discriminant | e.g. to determine the number of real roots of the equation $ax^2 + bx + c = 0$. Knowledge of the term ‘repeated root’ is included. |
| solve quadratic equations, and quadratic inequalities, in one unknown | By factorising, completing the square and using the formula. |
| solve by substitution a pair of simultaneous equations of which one is linear and one is quadratic | e.g. $x + y + 1 = 0$ and $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ and $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| recognise and solve equations in $x$ which are quadratic in some function of $x$. | e.g. $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| thực hiện quy trình hoàn thành bình phương cho đa thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ và sử dụng dạng đã hoàn thành bình phương | Ví dụ: để xác định đỉnh của đồ thị $y = ax^2 + bx + c$ hoặc vẽ đồ thị |
| tìm biệt thức của đa thức bậc hai $ax^2 + bx + c$ và sử dụng biệt thức | Ví dụ: để xác định số nghiệm thực của phương trình $ax^2 + bx + c = 0$. Kiến thức về thuật ngữ 'nghiệm bội' được bao gồm. |
| giải phương trình bậc hai và bất phương trình bậc hai với một ẩn | Bằng cách đưa về tích, hoàn thành bình phương và sử dụng công thức. |
| giải bằng thế hệ một hệ phương trình đồng thời gồm một phương trình tuyến tính và một phương trình bậc hai | Ví dụ: $x + y + 1 = 0$ và $x^2 + y^2 = 25$, $2x + 3y = 7$ và $3x^2 = 4 + 4xy$. |
| nhận biết và giải các phương trình trong $x$ mà là phương trình bậc hai theo một hàm nào đó của $x$. | Ví dụ: $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$, $6x + \sqrt{x} - 1 = 0$, $\tan^2 x = 1 + \tan x$. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A quadratic 二次式 is an expression of the form $ax^2 + bx + c$, where $a \neq 0$. The letters $a$, $b$, $c$ are the coefficients 系数 (the fixed numbers). Much of this section is about solving the equation $ax^2 + bx + c = 0$.
To complete the square 配方 means to write the quadratic in the form
Worked example. Write $9x^2 - 36x + 8$ in the form $p(x + q)^2 + r$.
Take the factor $9$ out of the first two terms, then complete the square inside:
The discriminant 判别式 of $ax^2 + bx + c$ is
| Discriminant | Roots |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | two distinct 相异 real roots |
| $b^2 - 4ac = 0$ | one repeated real root |
| $b^2 - 4ac < 0$ | no real roots |
Worked example. Find the values of the constant $k$ for which $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ has two distinct real roots.
Here $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. For two distinct real roots you need $b^2 - 4ac > 0$:
To solve a quadratic equation 二次方程, factorise, complete the square, or use the formula
To solve a pair of simultaneous equations 联立方程 where one is linear and one is quadratic, use substitution 代入: rearrange the linear equation for one letter, then put that into the quadratic. This gives a single quadratic to solve.
Some equations are quadratic in some function of $x$. For example $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ is quadratic in $x^2$: let $u = x^2$, solve $u^2 - 5u + 4 = 0$, then go back to $x$. You will use this idea again in trigonometry.
Một biểu thức bậc hai có dạng $ax^2 + bx + c$, trong đó $a \neq 0$. Các chữ cái $a$, $b$, $c$ là các hệ số (các hằng số cố định). Phần lớn nội dung mục này về việc giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$.
Để hoàn thành bình phương có nghĩa là viết biểu thức bậc hai dưới dạng
Ví dụ minh họa. Viết $9x^2 - 36x + 8$ dưới dạng $p(x + q)^2 + r$.
Rút nhân tử chung $9$ ra khỏi hai số hạng đầu tiên, sau đó hoàn thành bình phương bên trong:
Biệt thức của $ax^2 + bx + c$ là
| Biệt thức | Nghiệm |
|---|---|
| $b^2 - 4ac > 0$ | hai nghiệm thực phân biệt |
| $b^2 - 4ac = 0$ | một nghiệm thực trùng lặp |
| $b^2 - 4ac < 0$ | không có nghiệm thực |
Ví dụ minh họa. Tìm các giá trị của hằng số $k$ sao cho $3kx^2 + (k + 8)x + 3 = 0$ có hai nghiệm thực phân biệt.
Ở đây $a = 3k$, $b = k + 8$, $c = 3$. Để có hai nghiệm thực phân biệt, bạn cần $b^2 - 4ac > 0$:
Để giải phương trình bậc hai, phân tích nhân tử, hoàn thành bình phương, hoặc sử dụng công thức
Để giải một hệ phương trình đồng thời gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai, sử dụng thay thế: sắp xếp lại phương trình bậc nhất theo một ẩn, sau đó thay vào phương trình bậc hai. Điều này tạo ra một phương trình bậc hai đơn lẻ để giải.
Một số phương trình là bậc hai đối với một hàm của $x$. Ví dụ, $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ là bậc hai theo $x^2$: đặt $u = x^2$, giải $u^2 - 5u + 4 = 0$, sau đó quay trở lại $x$. Bạn sẽ áp dụng ý tưởng này nữa trong lượng giác.
y = ax² + bx + c
Drag a, b and c. Watch the vertex, the line of symmetry and the roots (where it cuts the x-axis) move as the coefficients change. · Kéo a, b và c. Quan sát đỉnh, trục đối xứng và nghiệm (điểm cắt trục hoành) di chuyển khi các hệ số thay đổi.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Pure Mathematics/pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Toán học thuần túy |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | hàm bậc hai |
| complete the square/kəmˈpliːt ðə skweə/ | hoàn thành bình phương |
| vertex/ˈvɜːteks/ | đỉnh |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | delta (discriminant) |
| real roots/rɪəl ruːts/ | nghiệm thực |
| distinct/dɪˈstɪŋkt/ | phân biệt |
| quadratic equation/kwɒˈdrætɪk ɪˈkweɪʒn/ | phương trình bậc hai |
| quadratic inequality/kwɒˈdrætɪk ɪniːˈkwɒlɪti/ | bất phương trình bậc hai |
| simultaneous equations/ˌsɪməlˈteɪnɪəs ɪˈkweɪʒnz/ | hệ phương trình đồng thời |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | thay thế |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | hàm |
| composition of functions/ˌkɒmpəˈzɪʃn ɒv ˈfʌŋkʃnz/ | hợp hàm |
| domain/dəˈmeɪn/ | miền xác định |
| range/reɪndʒ/ | tập giá trị |
| one-one/wʌn wʌn/ | một-một (one-one) |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | hàm ngược |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | bố cục |
| parabola/pəˈræbələ/ | parabol |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the terms function, domain, range, one-one function, inverse function and composition of functions | |
| identify the range of a given function in simple cases, and find the composition of two given functions | e.g. range of $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ for $x \geqslant 1$ and range of $g : x \mapsto x^2 + 1$ for $x \in \mathbb{R}$. Including the condition that a composite function $gf$ can only be formed when the range of $f$ is within the domain of $g$. |
| determine whether or not a given function is one-one, and find the inverse of a one-one function in simple cases | e.g. finding the inverse of $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ for $x < -\frac{3}{2}$. |
| illustrate in graphical terms the relation between a one-one function and its inverse | Sketches should include an indication of the mirror line $y = x$. |
| understand and use the transformations of the graph of $y = f(x)$ given by $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ and simple combinations of these. | Including use of the terms ‘translation’, ‘reflection’ and ‘stretch’ in describing transformations. Questions may involve algebraic or trigonometric functions, or other graphs with given features. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu các thuật ngữ hàm số, miền xác định, miền giá trị, hàm một-một, hàm ngược và sự hợp thành hàm số | |
| xác định miền giá trị của một hàm số đã cho trong các trường hợp đơn giản, và tìm sự hợp thành của hai hàm số đã cho | Ví dụ: miền giá trị của $f : x \mapsto \frac{1}{x}$ cho $x \geqslant 1$ và miền giá trị của $g : x \mapsto x^2 + 1$ cho $x \in \mathbb{R}$. Bao gồm điều kiện rằng hàm hợp thành $gf$ chỉ có thể được tạo thành khi miền giá trị của $f$ nằm trong miền xác định của $g$. |
| xác định xem một hàm số đã cho có phải là hàm một-một hay không, và tìm hàm ngược của một hàm một-một trong các trường hợp đơn giản | Ví dụ: tìm hàm ngược của $h : x \mapsto (2x + 3)^2 - 4$ cho $x < -\frac{3}{2}$. |
| minh họa bằng đồ thị mối quan hệ giữa một hàm một-một và hàm ngược của nó | Các bản vẽ sơ đồ nên bao gồm chỉ dẫn về đường đối xứng $y = x$. |
| hiểu và sử dụng các phép biến đổi của đồ thị $y = f(x)$ được cho bởi $y = f(x) + a$, $y = f(x + a)$, $y = af(x)$, $y = f(ax)$ và các tổ hợp đơn giản của chúng. | Bao gồm việc sử dụng các thuật ngữ 'dịch chuyển', 'phản xạ' và 'kéo dãn' để mô tả các phép biến đổi. Câu hỏi có thể liên quan đến hàm đại số hoặc lượng giác, hoặc các đồ thị khác có các đặc điểm đã cho. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A function 函数 is a rule that sends each input to exactly one output. Write it as $f(x)$. The composition of functions 复合函数 $fg(x)$ means apply $g$ first, then apply $f$ to the result.
A function is one-one 一一对应 if different inputs always give different outputs. (No output is repeated.) Only a one-one function has an inverse function 反函数 $f^{-1}$, which reverses the rule.
The composition 复合 of two functions means doing one after the other. $fg(x)$ means "do $g$ first, then $f$": $fg(x) = f(g(x))$. The composite function $fg$ exists only when the range of $g$ lies inside the domain of $f$.
To find $f^{-1}$: write $y = f(x)$, make $x$ the subject, then swap letters.
Worked example. The function $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ is defined for $x \geqslant 0$. Find $f^{-1}(x)$.
Write $y = (x + 3)^2 - 12$ and solve for $x$:
The graph of $y = f^{-1}(x)$ is the reflection 反射 of $y = f(x)$ in the line $y = x$.
You should know these transformations 变换 of $y = f(x)$:
| New equation | Effect on the graph |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | translation 平移 up by $a$ |
| $y = f(x + a)$ | translation left by $a$ |
| $y = a\,f(x)$ | stretch 伸缩 in the $y$-direction, scale factor $a$ |
| $y = f(ax)$ | stretch in the $x$-direction, scale factor $\tfrac{1}{a}$ |
When two transformations are combined, the order can matter. State each one fully (type, direction, and amount).
Một hàm số là quy tắc gán mỗi giá trị đầu vào với đúng một giá trị đầu ra. Viết nó dưới dạng $f(x)$. Hợp của hai hàm số $fg(x)$ có nghĩa là áp dụng $g$ trước, sau đó áp dụng $f$ lên kết quả.
Một hàm số được gọi là đồng nhất nếu các giá trị đầu vào khác nhau luôn cho ra các giá trị đầu ra khác nhau. (Không có giá trị đầu ra nào bị lặp lại.) Chỉ có hàm số đồng nhất mới có hàm số nghịch đảo $f^{-1}$, làm ngược lại quy tắc ban đầu.
Hợp của hai hàm số có nghĩa là thực hiện hàm này theo sau hàm kia. $fg(x)$ có nghĩa là "làm $g$ trước, sau đó làm $f$": $fg(x) = f(g(x))$. Hợp hàm $fg$ chỉ tồn tại khi tập giá trị của $g$ nằm trong tập xác định của $f$.
Để tìm $f^{-1}$: viết $y = f(x)$, biến $x$ thành chủ thể, sau đó hoán vị các ký tự.
Ví dụ có lời giải. Hàm số $f(x) = (x + 3)^2 - 12$ được xác định trên $x \geqslant 0$. Tìm $f^{-1}(x)$.
Viết $y = (x + 3)^2 - 12$ và giải phương trình theo $x$:
Đồ thị của $y = f^{-1}(x)$ là phản xạ của $y = f(x)$ qua đường thẳng $y = x$.
Bạn cần nhớ các biến đổi sau đây của $y = f(x)$:
| Phương trình mới | Tác động lên đồ thị |
|---|---|
| $y = f(x) + a$ | dịch chuyển lên trên $a$ đơn vị |
| $y = f(x + a)$ | dịch chuyển sang trái $a$ đơn vị |
| $y = a\,f(x)$ | co giãn theo phương $y$, hệ số co giãn $a$ |
| $y = f(ax)$ | co giãn theo phương $x$, hệ số co giãn $\tfrac{1}{a}$ |
Khi kết hợp hai phép biến đổi, thứ tự có thể quan trọng. Hãy mô tả đầy đủ từng phép biến đổi (loại, hướng và lượng).
y = ax³ + bx² + cx + d
A function turns each input into exactly one output — drag the coefficients and watch where the curve rises and falls. · Một hàm số biến mỗi input (đầu vào) thành đúng một output (đầu ra) — kéo các hệ số và xem đường cong tăng hay giảm ở đâu.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| reflection/rɪˈflekʃn/ | phản xạ |
| transformations/trænsfɔːˈmeɪʃnz/ | phép biến hình |
| translation/trænˈsleɪʃn/ | dịch mã |
| stretch/stretʃ/ | kéo dãn |
| Coordinate geometry/kəʊˈɔːdɪnət dʒiˈɒmətri/ | Hình học tọa độ |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| find the equation of a straight line given sufficient information | e.g. given two points, or one point and the gradient. |
| interpret and use any of the forms $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ in solving problems | Including calculations of distances, gradients, midpoints, points of intersection and use of the relationship between the gradients of parallel and perpendicular lines. |
| understand that the equation $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ represents the circle with centre $(a, b)$ and radius $r$ | Including use of the expanded form $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| use algebraic methods to solve problems involving lines and circles | Including use of elementary geometrical properties of circles, e.g. tangent perpendicular to radius, angle in a semicircle, symmetry. Implicit differentiation is not included. |
| understand the relationship between a graph and its associated algebraic equation, and use the relationship between points of intersection of graphs and solutions of equations. | e.g. to determine the set of values of $k$ for which the line $y = x + k$ intersects, touches or does not meet a quadratic curve. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| tìm phương trình của đường thẳng khi có đủ thông tin | Ví dụ: cho hai điểm, hoặc một điểm và hệ số góc. |
| diễn giải và sử dụng bất kỳ dạng nào $y = mx + c$, $y - y_1 = m(x - x_1)$, $ax + by + c = 0$ trong việc giải bài toán | Bao gồm tính toán khoảng cách, hệ số góc, trung điểm, giao điểm và sử dụng mối quan hệ giữa hệ số góc của các đường song song và vuông góc. |
| hiểu rằng phương trình $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ biểu diễn đường tròn có tâm $(a, b)$ và bán kính $r$ | Bao gồm cả việc sử dụng dạng khai triển $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$. |
| sử dụng phương pháp đại số để giải các bài toán liên quan đến đường thẳng và đường tròn | Bao gồm việc sử dụng các tính chất hình học cơ bản của đường tròn, ví dụ: tiếp tuyến vuông góc với bán kính, góc nội tiếp nửa đường tròn, tính đối xứng. Vi phân ngầm định không được bao gồm. |
| hiểu mối quan hệ giữa một đồ thị và phương trình đại số tương ứng của nó, và sử dụng mối quan hệ giữa các điểm giao nhau của đồ thị và nghiệm của phương trình. | Ví dụ: để xác định tập giá trị của $k$ mà tại đó đường thẳng $y = x + k$ cắt, tiếp xúc hoặc không gặp đường cong bậc hai. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Coordinate geometry 坐标几何 studies lines and circles using their equations.
The gradient 斜率 (steepness) of the line joining $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$ is
The circle 圆 with centre 圆心 $(a, b)$ and radius 半径 $r$ has equation
A tangent 切线 to a circle touches it at one point and is perpendicular to the radius at that point. This right-angle fact solves most circle problems.
Worked example. The points $P(1, 1)$ and $Q(7, 11)$ are the ends of a diameter 直径 of a circle. Find the equation of the circle.
The centre is the midpoint of $PQ$:
Hình học tọa độ nghiên cứu các đường thẳng và đường tròn thông qua phương trình của chúng.
Hệ số góc (độ dốc) của đường thẳng nối $(x_1, y_1)$ và $(x_2, y_2)$ là
Đường tròn có tâm $(a, b)$ và bán kính $r$ có phương trình
A tiếp tuyến của đường tròn chạm vào nó tại một điểm và vuông góc với bán kính tại điểm đó.事实 vuông góc này giải quyết hầu hết các bài toán về đường tròn.
Ví dụ có lời giải. Các điểm $P(1, 1)$ và $Q(7, 11)$ là hai đầu của một đường kính của đường tròn. Tìm phương trình của đường tròn.
Tâm là trung điểm của $PQ$:
y = ax + b
The gradient a tilts the line; the intercept b slides it up and down. · Hệ số góc a nghiêng đường thẳng; ** tung độ gốc** b trượt nó lên và xuống.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| circle/ˈsɜːkl/ | hình tròn |
| centre/ˈsentə/ | tâm |
| radius/ˈreɪdɪəs/ | bán kính |
| tangent/ˈtændʒənt/ | tiếp tuyến |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | đường kính |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the definition of a radian, and use the relationship between radians and degrees | |
| use the formulae $s = r\theta$ and $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ in solving problems concerning the arc length and sector area of a circle. | Including calculation of lengths and angles in triangles and areas of triangles. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu định nghĩa của radian, và sử dụng mối quan hệ giữa radian và độ | |
| sử dụng các công thức $s = r\theta$ và $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ trong việc giải các bài toán về độ dài cung tròn và diện tích hình quạt của đường tròn. | Bao gồm tính toán độ dài và góc trong tam giác, cũng như diện tích tam giác. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A radian 弧度 is another way to measure angles. One radian is the angle at the centre of a circle that cuts off an arc 弧 equal in length to the radius. The link between radians and degrees 度 is
For a sector 扇形 with radius $r$ and angle $\theta$ in radians:
Worked example. A sector has centre $O$ and the angle at $O$ is $\tfrac{2}{3}\pi$ radians. Show that the segment cut off by the chord has area about $0.614 r^2$.
Một radian là một cách đo góc khác. Một radian là góc ở tâm của đường tròn chắn một cung có độ dài bằng bán kính. Mối liên hệ giữa radian và độ là
Đối với một hình quạt có bán kính $r$ và góc $\theta$ tính bằng radian:
Ví dụ có lời giải. Một hình quạt có tâm $O$ và góc tại $O$ là $\tfrac{2}{3}\pi$ radian. Chứng minh rằng thân cung bị chắn bởi dây cung có diện tích khoảng $0.614 r^2$.
Change the angle (in radians) and radius. See the arc length $s = r\theta$ and the sector area $\tfrac12 r^2\theta$ update. · Thay đổi góc (tính bằng radian) và bán kính. Xem chiều dài cung $s = r\theta$ và diện tích hình quạt $\tfrac12 r^2\theta$ cập nhật.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | radian |
| arc/ɑːk/ | cung |
| degrees/dɪˈɡriːz/ | độ |
| sector/ˈsektə/ | khu vực |
| chord/kɔːd/ | đường dây cung |
| segment/ˈseɡmənt/ | phân khúc |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| sketch and use graphs of the sine, cosine and tangent functions (for angles of any size, and using either degrees or radians) | Including e.g. $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| use the exact values of the sine, cosine and tangent of $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, and related angles | e.g. $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| use the notations $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ to denote the principal values of the inverse trigonometric relations | No specialised knowledge of these functions is required, but understanding of them as examples of inverse functions is expected. |
| use the identities $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ and $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | e.g. in proving identities, simplifying expressions and solving equations. |
| find all the solutions of simple trigonometrical equations lying in a specified interval (general forms of solution are not included). | e.g. solve $3 \sin 2x + 1 = 0$ for $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ for $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| vẽ sơ đồ và sử dụng đồ thị của các hàm sin, cosin và tan (đối với các góc có kích thước tùy ý, sử dụng cả độ hay radian) | Bao gồm ví dụ như $y = 3 \sin x$, $y = 1 - \cos 2x$, $y = \tan(x + \frac{1}{4}\pi)$. |
| sử dụng các giá trị chính xác của sin, cosin và tan tại $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$, và các góc liên quan | Ví dụ: $\cos 150^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$, $\sin \frac{3}{4}\pi = \frac{1}{\sqrt{2}}$. |
| sử dụng ký hiệu $\sin^{-1} x$, $\cos^{-1} x$, $\tan^{-1} x$ để chỉ các giá trị chính của các hàm lượng giác ngược | Không yêu cầu kiến thức chuyên sâu về các hàm này, nhưng cần hiểu chúng là các ví dụ về hàm nghịch đảo. |
| sử dụng các đẳng thức $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \tan \theta$ và $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ | Ví dụ: trong chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức và giải phương trình. |
| tìm tất cả các nghiệm của các phương trình lượng giác đơn giản nằm trong một khoảng cho trước (không bao gồm dạng nghiệm tổng quát). | Ví dụ: giải $3 \sin 2x + 1 = 0$ với $-\pi < x < \pi$, $3 \sin^2 \theta - 5 \cos \theta - 1 = 0$ với $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 360^\circ$. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
You must know the shape of the graphs of the sine 正弦, cosine 余弦 and tangent function 正切 (written $\sin$, $\cos$, $\tan$). The sine and cosine graphs wave between $-1$ and $1$ and repeat every $360^\circ$ ($2\pi$). Learn these exact values:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
The notations $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ mean the inverse angle (the principal value 主值).
An identity 恒等式 is true for every value of the angle. The two you must know are
To solve a trigonometric equation 三角方程, first reduce it to one function, then find every solution in the given interval.
Worked example. Solve $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ for $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Multiply through by $\sin\theta$ to clear the fraction. This makes a quadratic in $\sin\theta$:
The four solutions are $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Bạn phải biết hình dạng của các đồ thị của hàm sin, hàm cosin và hàm tangent (viết là $\sin$, $\cos$, $\tan$). Đồ thị sin và cosin dao động giữa $-1$ và $1$ và lặp lại mỗi $360^\circ$ ($2\pi$). Học thuộc các giá trị chính xác này:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $\tfrac12$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\tfrac{\sqrt3}{2}$ | $\tfrac{1}{\sqrt2}$ | $\tfrac12$ |
| $\tan\theta$ | $\tfrac{1}{\sqrt3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Các ký hiệu $\sin^{-1}x$, $\cos^{-1}x$, $\tan^{-1}x$ biểu thị góc nghịch đảo (giá trị chính).
Một đẳng thức đúng với mọi giá trị của góc. Hai đẳng thức bạn cần nhớ là
Để giải một phương trình lượng giác, trước hết hãy đưa nó về dạng một hàm số, sau đó tìm tất cả các nghiệm trong khoảng đã cho.
Ví dụ có lời giải. Giải $6\sin\theta = 1 + \dfrac{2}{\sin\theta}$ đối với $-180^\circ < \theta < 180^\circ$.
Nhân cả hai vế với $\sin\theta$ để khử phân thức. Điều này tạo ra một biểu thức bậc hai theo $\sin\theta$:
Bốn nghiệm là $\theta = -150^\circ,\ -30^\circ,\ 41.8^\circ,\ 138.2^\circ$.
Drag the amplitude, period and shifts of y = a·sin(bx + c) + d and watch the curve change against the base wave. · Kéo biên độ, chu kỳ và dịch chuyển của y = a·sin(bx + c) + d và xem đường cong thay đổi thế nào so với sóng cơ sở.
Drag the angle round the unit circle. The height is $\sin\theta$, the across-distance is $\cos\theta$ — that's where the graphs come from. · Kéo góc quanh đường tròn đơn vị. Chiều cao là $\sin\theta$, chiều ngang là $\cos\theta$ — đó chính là nguồn gốc của các đồ thị.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| sine/saɪn/ | sin |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | cosin |
| tangent function/ˈtændʒənt ˈfʌŋkʃn/ | hàm tan |
| principal value/ˈprɪnsɪpl ˈvæljuː/ | giá trị chính |
| identity/aɪˈdentɪti/ | bản sắc |
| trigonometric equation/ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ɪˈkweɪʒn/ | phương trình lượng giác |
| binomial expansion/baɪˈnəʊmɪəl ekˈspænʃn/ | nhân nhị thức |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | hệ số nhị thức |
| progression/prəˈɡreʃn/ | cấp số |
| arithmetic progression/əˈrɪθmətɪk prəˈɡreʃn/ | cấp số cộng |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use the expansion of $(a + b)^n$, where $n$ is a positive integer | Including the notations $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ and $n!$ Knowledge of the greatest term and properties of the coefficients are not required. |
| recognise arithmetic and geometric progressions | |
| use the formulae for the $n$th term and for the sum of the first $n$ terms to solve problems involving arithmetic or geometric progressions | Including knowledge that numbers $a$, $b$, $c$ are 'in arithmetic progression' if $2b = a + c$ (or equivalent) and are 'in geometric progression' if $b^2 = ac$ (or equivalent). Questions may involve more than one progression. |
| use the condition for the convergence of a geometric progression, and the formula for the sum to infinity of a convergent geometric progression. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| sử dụng khai triển của $(a + b)^n$, trong đó $n$ là số nguyên dương | Bao gồm cả ký hiệu $\begin{pmatrix} n \\ r \end{pmatrix}$ và $n!$. Không yêu cầu biết số hạng lớn nhất và tính chất của các hệ số. |
| nhận biết dãy cộng và dãy nhân | |
| sử dụng công thức cho số hạng thứ $n$ và tổng $n$ số hạng đầu tiên để giải các bài toán liên quan đến dãy cộng hoặc dãy nhân | Bao gồm kiến thức rằng ba số $a$, $b$, $c$ 'thuộc dãy cộng' nếu $2b = a + c$ (hoặc tương đương) và 'thuộc dãy nhân' nếu $b^2 = ac$ (hoặc tương đương). Câu hỏi có thể涉及 nhiều hơn một dãy. |
| sử dụng điều kiện hội tụ của một dãy nhân, và công thức tổng vô hạn của một dãy hội tụ. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
For a positive integer $n$, the binomial expansion 二项展开式 is
Worked example. Find the first three terms, in ascending powers of $x$, of $(2 - px)^5$.
A progression 数列 (sequence) is a list of terms following a rule.
A GP is convergent — it converges 收敛 (settles to a limit) — when $|r| < 1$. Then it has a sum to infinity 无穷和
Worked example. The third term of a GP is $18$ and the sum of the first three terms is $26$. The common ratio is negative. Find the sum to infinity.
From $ar^2 = 18$ you get $a = \dfrac{18}{r^2}$. Put this into $a(1 + r + r^2) = 26$:
Đối với số nguyên dương $n$, khai triển nhị thức là
Ví dụ có lời giải. Tìm ba số hạng đầu tiên, theo lũy thừa tăng dần của $x$, của $(2 - px)^5$.
Một cấp số là danh sách các số hạng tuân theo một quy luật.
Cấp số nhân là hội tụ — nó hội tụ (tập trung về một giới hạn) — khi $|r| < 1$. Khi đó nó có một tổng vô hạn
Ví dụ có lời giải. Số hạng thứ ba của một GP là $18$ và tổng của ba số hạng đầu là $26$. Tỷ số là số âm. Tìm tổng vô hạn.
Từ $ar^2 = 18$ bạn thu được $a = \dfrac{18}{r^2}$. Thay điều này vào $a(1 + r + r^2) = 26$:
Switch between an arithmetic (add d) and a geometric (multiply by r) sequence and watch the terms and their sum build up. · Chuyển đổi giữa dãy số cộng (cộng d) và dãy số nhân (nhân r) và xem các số hạng cũng như tổng của chúng phát triển như thế nào.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| common difference/ˈkɒmən ˈdɪfrəns/ | công sai |
| term/tɜːm/ | hạng mục |
| geometric progression/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk prəˈɡreʃn/ | cấp số nhân |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | công bội |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | hội tụ |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | tổng vô hạn |
| Differentiation/ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | Vi phân |
| gradient of a curve/ˈɡreɪdɪənt əvə kɜːv/ | hệ số góc của đường cong |
| limit/ˈlɪmɪt/ | giới hạn |
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | quy tắc chuỗi |
| second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | đạo hàm cấp hai |
| normal/ˈnɔːml/ | pháp tuyến |
| increasing function/ɪnˈkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | hàm đồng biến |
| decreasing function/ˈdiːkriːsɪŋ ˈfʌŋkʃn/ | hàm nghịch biến |
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | tốc độ thay đổi |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the gradient of a curve at a point as the limit of the gradients of a suitable sequence of chords, and use the notations $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, and $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ for first and second derivatives | Only an informal understanding of the idea of a limit is expected. e.g. includes consideration of the gradient of the chord joining the points with $x$ coordinates $2$ and $(2 + h)$ on the curve $y = x^3$. Formal use of the general method of differentiation from first principles is not required. |
| use the derivative of $x^n$ (for any rational $n$), together with constant multiples, sums and differences of functions, and of composite functions using the chain rule | e.g. find $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, given $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| apply differentiation to gradients, tangents and normals, increasing and decreasing functions and rates of change | Including connected rates of change, e.g. given the rate of increase of the radius of a circle, find the rate of increase of the area for a specific value of one of the variables. |
| locate stationary points and determine their nature, and use information about stationary points in sketching graphs. | Including use of the second derivative for identifying maxima and minima; alternatives may be used in questions where no method is specified. Knowledge of points of inflexion is not included. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu hệ số góc của một đường cong tại một điểm là giới hạn của hệ số góc của một dãy dây cung thích hợp, và sử dụng các ký hiệu $f'(x)$, $f''(x)$, $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, và $\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2}$ cho đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp hai | Chỉ yêu cầu hiểu khái niệm giới hạn ở mức phi chính thức. Ví dụ: bao gồm xem xét hệ số góc của dây cung nối hai điểm có $x$ tọa độ $2$ và $(2 + h)$ trên đường cong $y = x^3$. Không yêu cầu áp dụng chính thức phương pháp đạo hàm từ định nghĩa cơ bản. |
| sử dụng đạo hàm của $x^n$ (với mọi số hữu tỉ $n$), cùng với hằng số nhân, tổng, hiệu của các hàm, và của hàm hợp thông qua quy tắc chuỗi | Ví dụ: tìm $\frac{\text{d}y}{\text{d}x}$, biết $y = \sqrt{2x^3 + 5}$. |
| áp dụng đạo hàm vào hệ số góc, tiếp tuyến và pháp tuyến, hàm đồng biến/nghịch biến và tốc độ biến thiên | Bao gồm tốc độ biến thiên liên kết, ví dụ: biết tốc độ tăng của bán kính đường tròn, tìm tốc độ tăng của diện tích cho một giá trị cụ thể của một biến số. |
| xác định các điểm dừng và phân loại tính chất của chúng, và sử dụng thông tin về điểm dừng để vẽ sơ đồ đồ thị. | Bao gồm sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định cực đại và cực tiểu; các phương pháp thay thế có thể được dùng trong câu hỏi khi không chỉ định phương pháp cụ thể. Không bao gồm kiến thức về điểm uốn. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Differentiation 微分 finds the gradient of a curve 曲线斜率 at each point. The gradient is the limit 极限 of the gradients of shorter and shorter chords, called the derivative 导数.
Write the derivative as $f'(x)$ or $\dfrac{dy}{dx}$. The basic rule is
A stationary point 驻点 is where $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Test its nature with the second derivative: $f''(x) > 0$ gives a minimum point 极小值点, and $f''(x) < 0$ gives a maximum point 极大值点. When $f''(x) = 0$ the test is inconclusive: the point may be a point of inflexion 拐点, where the curve changes concavity (the way it bends) – check the sign of $\dfrac{dy}{dx}$ just before and after to decide.
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ has a maximum point at $x = a$. Find $a$.
Vi phân tìm hệ số góc của đường cong tại mỗi điểm. Hệ số góc là giới hạn của các hệ số góc của những dây cung ngắn dần, gọi là đạo hàm.
Viết đạo hàm dưới dạng $f'(x)$ hoặc $\dfrac{dy}{dx}$. Quy tắc cơ bản là
Một điểm dừng là nơi $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Kiểm tra tính chất của nó bằng đạo hàm cấp hai: $f''(x) > 0$ cho thấy điểm cực tiểu, và $f''(x) < 0$ cho thấy điểm cực đại. Khi $f''(x) = 0$ phép kiểm tra không conclusiveness: điểm đó có thể là điểm uốn, nơi đường cong thay đổi độ lồi (cách nó bẻ cong) – hãy kiểm tra dấu của $\dfrac{dy}{dx}$ ngay trước và sau điểm đó để quyết định.
Ví dụ có lời giải. Đường cong $y = 4x^{1/2} - x$ có điểm cực đại tại $x = a$. Tìm $a$.
y = ax³ + bx² + cx + d
Slide the point along the curve. The tangent shows the gradient $\frac{dy}{dx}$ there — steeper where the curve bends more. · Trượt điểm dọc theo đường cong. Tiếp tuyến cho thấy độ dốc $\frac{dy}{dx}$ tại đó — càng dốc nơi đường cong uốn cong nhiều hơn.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| gradient/ˈɡreɪdɪənt/ | hệ số góc |
| equation of a straight line/ɪˈkweɪʒn əvə streɪt laɪn/ | phương trình đường thẳng |
| parallel/ˈpærəlel/ | song song |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | vuông góc |
| stationary point/ˈsteɪʃənəri pɔɪnt/ | điểm dừng |
| minimum point/ˈmɪnɪməm pɔɪnt/ | điểm cực tiểu |
| maximum point/ˈmæksɪməm pɔɪnt/ | điểm cực đại |
| point of inflexion/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | điểm uốn |
| Integration/ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | Tích phân |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | hằng số tích phân |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | tích phân xác định |
| region/ˈriːdʒn/ | vùng lãnh thổ |
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | tích phân bất thường |
| volume of revolution/ˈvɒljuːm ɒv ˌrevəˈluːʃn/ | thể tích vật thể tròn xoay |
| algebra/ˈældʒɪbrə/ | đại số |
| calculus/ˈkælkjʊləs/ | vi phân tích |
| coefficient/ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | hệ số |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand integration as the reverse process of differentiation, and integrate $(ax + b)^n$ (for any rational $n$ except $-1$), together with constant multiples, sums and differences | e.g. $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| solve problems involving the evaluation of a constant of integration | e.g. to find the equation of the curve through $(1, -2)$ for which $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| evaluate definite integrals | Including simple cases of 'improper' integrals, such as $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ and $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| use definite integration to find: - the area of a region bounded by a curve and lines parallel to the axes, or between a curve and a line or between two curves - a volume of revolution about one of the axes. | A volume of revolution may involve a region not bounded by the axis of rotation, e.g. the region between $y = 9 - x^2$ and $y = 5$ rotated about the $x$-axis. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu tích phân là quá trình ngược lại của đạo hàm, và tích phân $(ax + b)^n$ (với mọi số hữu tỉ $n$ ngoại trừ $-1$), cùng với hằng số nhân, tổng, hiệu | Ví dụ: $\int (2x^3 - 5x + 1) \text{d}x$, $\int \frac{1}{(2x + 3)^2} \text{d}x$. |
| giải các bài toán liên quan đến việc xác định hằng số tích phân | Ví dụ: tìm phương trình đường cong đi qua $(1, -2)$ sao cho $\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \sqrt{2x + 1}$. |
| tính tích phân xác định | Bao gồm các trường hợp đơn giản của 'tích phân suy biến', chẳng hạn như $\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}} \text{d}x$ và $\int_{1}^{\infty} x^{-2} \text{d}x$. |
| sử dụng tích phân xác định để tìm: - diện tích của vùng giới hạn bởi một đường cong và các đường thẳng song song với trục tọa độ, hoặc giữa đường cong và một đường thẳng, hoặc giữa hai đường cong - thể tích khối xoay quanh một trong các trục. | Thể tích khối xoay có thể liên quan đến vùng không bị giới hạn bởi trục quay, ví dụ: vùng giữa $y = 9 - x^2$ và $y = 5$ quay quanh trục $x$. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Integration 积分 is the reverse of differentiation. Reversing the power rule gives
A definite integral 定积分 has limits and gives a number:
Worked example. The curve $y = 4x^{1/2} - x$ meets the $x$-axis again at $x = 16$. Find the area between the curve and the $x$-axis from $x = 0$ to $x = 4$.
An improper integral 广义积分 has an infinite limit or an endpoint where the integrand is undefined; evaluate it as a limit. For example,
When a region is turned all the way around an axis it sweeps out a solid. The volume of revolution 旋转体体积 about the $x$-axis is
Tích phân là quá trình ngược lại của vi phân. Đảo ngược quy tắc lũy thừa cho ra
Một tích phân xác định có cận và cho ra một con số:
Ví dụ có lời giải. Đường cong $y = 4x^{1/2} - x$ cắt trục $x$ lần nữa tại $x = 16$. Tìm diện tích giữa đường cong và trục $x$ từ $x = 0$ đến $x = 4$.
Một tích phân bất định có giới hạn vô cùng hoặc một điểm đầu cuối mà hàm dưới dấu tích phân không xác định; hãy tính nó như một giới hạn. Ví dụ,
Khi một vùng được quay trọn vẹn quanh một trục, nó tạo ra một khối. Thể tích quay quanh trục $x$ là
y = ax³ + bx² + cx + d
Drag the limits. The definite integral is the shaded area between the curve and the x-axis. · Kéo giới hạn. Tích phân xác định chính là diện tích được tô màu giữa đường cong và trục hoành.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…