Векторная геометрия
| English | Русский |
|---|---|
| collinear/ˈkɒlɪnɪə/ | коллинеарный |
| position vector/pəˈzɪʃn ˈvektə/ | вектор положения |
| parallel/ˈpærəlel/ | параллельно |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | середина |
Доказательство коллинеарности точек
- Как доказать, что три точки коллинеарны (лежат на одной прямой)?
- Покажите, что вектор от первой ко второй является скалярным кратным вектору от второй к третьей.
Радиус-векторы и $\overrightarrow{AB}$
- Радиус-вектор точки — это вектор от начала координат $O$ до нее.
- Вектор от $A$ до $B$:
Если $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \end{pmatrix}$, то $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 7-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
Векторная геометрия
равнодействующая = a + b
Сложите векторы, чтобы достичь точки — равнодействующий показывает прямой путь.
Если a и b — радиус-векторы точек A и B, то вектор AB равен:
AB = (радиус-вектор B) − (радиус-вектор A) = b − a.
A имеет радиус-вектор (1, 3), а B — (4, 7). Каков верхний компонент вектора AB?
AB = b − a: верхний компонент = 4 − 1 = 3.
Параллельные векторы и коллинеарные точки
- Два вектора параллельны, если один является скалярным кратным другого: $\mathbf{p} = k\mathbf{q}$.
- Три точки $A, B, C$ являются коллинеарными, если $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{BC}$ параллельны и имеют общую точку $B$.
Одной параллельности недостаточно. Два вектора могут быть параллельны, но точки при этом не коллинеарны — они могут лежать на отдельных параллельных прямых. Вам также нужна общая точка.
Два вектора параллельны, если один является скалярным множителем другого.
Параллельные векторы направлены в одну (или противоположную) сторону, поэтому один равен k умноженному на другой.
Чтобы доказать коллинеарность трёх точек, покажите, что векторы между ними ______ и имеют общую точку.
Коллинеарные точки имеют параллельные векторы между собой И общую точку.
Середина отрезка
- $M$ является серединой $AB$, где $\overrightarrow{OA} = \mathbf{a}$ и $\overrightarrow{OB} = \mathbf{b}$.
- Радиус-вектор середины — это среднее арифметическое двух концов.
Модуль столбчатого вектора находится с помощью теоремы Пифагора
M — середина отрезка AB. Радиус-вектор OM равен:
OM = a + ½(b − a) = ½(a + b).
A = (2, 4) и B = (8, 10). Какова координата x середины M?
½(2 + 8) = 5.
Почему важны векторы
- Видеоигры, физические движки и GPS используют векторную математику для отслеживания позиций и движений.
Радиус-векторы定位руют точки на сетке — это основа для доказательства коллинеарности и нахождения середины отрезка.
Полное векторное доказательство
- Если $\overrightarrow{OA}=\mathbf a$, $\overrightarrow{OB}=\mathbf b$, а M — середина AB, тогда $\overrightarrow{OM}=(\mathbf a+\mathbf b)/2$.
- Определите C через $\overrightarrow{OC}=2\mathbf b-\mathbf a$. Тогда $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\mathbf b-\mathbf a=\overrightarrow{AB}$. Равные векторы совпадают по направлению и пересекаются в точке B, поэтому A, B и C лежат на одной прямой, а B является серединой AC (для различных A и B).
A = (1,3), B = (4,7) и OC = 2OB − OA. Найдите координату x точки C.
C = (8,14) − (1,3) = (7,11).
Вы поняли
- $\overrightarrow{AB} = \mathbf{b} - \mathbf{a}$ (конец минус начало)
- Параллельные векторы являются скалярными кратными; именно так доказывается, что точки коллинеарны.
- середина отрезка $AB$: $\;\overrightarrow{OM} = \dfrac{1}{2}(\mathbf{a} + \mathbf{b})$