Векторы и модуль
| English | Русский |
|---|---|
| vectors/ˈvektəz/ | векторы |
| scalar/ˈskeɪlə/ | скаляр |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | величина |
Векторы со свойствами
- Скорость ветра, сила, скорость — у всех них есть величина и направление. Именно это делает их векторами.
- Скаляр (например, температура) имеет только величину. Вектору нужны оба свойства.
Запись векторов
- Вектор записывается как столбец $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$, как $\overrightarrow{AB}$, или жирным шрифтом $\mathbf{a}$.
- $x$ — горизонтальная компонента (вправо — плюс), $y$ — вертикальная компонента (вверх — плюс).
Такие силы, как ветер, являются векторами, имея и величину, и направление
Векторы
равнодействующая = a + b
Векторы складываются с конца в начало; равнодействующий — это единственная стрелка, их заменяющая.
Сложение и вычитание векторов
- Складывайте/вычитайте покомпонентно: верхнее с верхним, нижнее с нижним.
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Скалярное умножение: умножьте обе компоненты на число. $3\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \end{pmatrix}$.
a = (3, 1) и b = (2, −4). Какое число будет верхним компонентом суммы a + b?
3 + 2 = 5.
a = (3, 1) и b = (2, −4). Какое число будет нижним компонентом суммы a + b?
1 + (−4) = −3.
Если a = (3, 1), какое число будет верхним компонентом 4a?
4 × 3 = 12.
Чтобы вычесть векторы, нужно вычесть каждый ______ отдельно.
Вычитайте верхнее из верхнего и нижнее из нижнего, так же, как при сложении.
Модуль (длина)
- Модуль вектора находится по теореме Пифагора:
- $\left|\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Модуль, а не сумма. Длина $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ равна $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$, а не $3 + 4 = 7$. Вы должны использовать теорему Пифагора.
Сложение по правилу треугольника: начертите b из конца a, и a+b идет от начала до конца
Найдите модуль (длину) вектора (3, 4).
√(3² + 4²) = √25 = 5.
Модуль вектора (3, 4) равен 3 + 4 = 7.
Модуль вычисляется по теореме Пифагора: √(3² + 4²) = 5, а не сумма 3 + 4 = 7.
Изменение направления
- Если вектор переносит вас из точки A в B, то его отрицательное значение перенесёт вас из B в A.
- Для $\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}$ обратным является $\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-3\\-4\end{pmatrix}$. Оба имеют модуль 5.
Вектор a = (2, −3). Найдите вертикальную компоненту вектора −2a.
Перемножьте вертикальные компоненты: −2 × (−3) = 6.
Скалярное умножение и проверка нуля
- Умножьте обе компоненты: если $\mathbf a=\begin{pmatrix}2\\-3\end{pmatrix}$, тогда $3\mathbf a=\begin{pmatrix}6\\-9\end{pmatrix}$ и $-\mathbf a=\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$. Отрицательный множитель меняет направление.
- Модуль остаётся неотрицательным: $|3\mathbf a|=3\sqrt{13}$; нулевой вектор имеет модуль 0. Ненулевые параллельные векторы являются скалярными кратными друг другу.
Вы поняли
- складывайте/вычитайте векторы покомпонентно; скалярное умножение масштабирует обе
- $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$
- модуль $= \sqrt{x^2 + y^2}$, поэтому $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$ имеет длину $5$