Преобразования

Зеркало, вращение, зум, перемещение

• Компьютерная графика использует преобразования для анимации персонажей — отражения для зеркальных изображений, вращения для вращения, увеличения для приближения.
• Каждое преобразование требует полного описания, чтобы получить максимальный балл.

Отражение

• Переворачивает фигуру через зеркальную линию. Укажите уравнение этой линии.
• Отражение $(3,2)$ относительно оси $y$ → $(-3, 2)$ (меняется только знак координаты $x$).
• Отражение относительно оси $x$ → $(3, -2)$ (меняется только знак координаты $y$).

Отражение относительно оси $y$: измените знак координаты $x$. Фигура сохраняет тот же размер — она конгруэнтна.

Поворот

• Вращает фигуру вокруг центра. Укажите центр, угол и направление.
• Поверните $(3,1)$ на $90^{\circ}$ против часовой стрелки относительно $O$: $(x,y) \to (-y, x) \to (-1, 3)$.

Геометрические плитки создаются путем отражения, вращения и переноса фигур

Увеличение (Масштабирование)

• Изменяет размер с помощью коэффициента масштабирования $k$ от центра. Укажите центр и $k$.
• Увеличьте $(1,2)$ от $O$ в коэффициенте $k=2$ → $(2, 4)$.
• Ядро включает положительные дробные множители: $k=\dfrac12$ делает его меньше. Расширенное также включает отрицательные множители, такие как $k=-1$, которые размещают изображение на противоположной стороне от центра.

Увеличение умножает каждое расстояние от центра на коэффициент масштабирования (здесь 2)

Поворот поворачивает фигуру вокруг фиксированного центра, здесь $90^\circ$ против часовой стрелки относительно начала координат

Перенос (Трансляция)

• Сдвигает каждую точку на одно и то же количество. Опишите с помощью столбчатого вектора $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$.
• Переместите $(5,3)$ на $\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \end{pmatrix}$ → $(5-2, 3+4) = (3, 7)$.
• Перенос сохраняет всё: размер, форму и ориентацию.

Перенос сдвигает каждую точку на один и тот же столбчатый вектор, без вращения

Центр не обязательно является началом координат

• Увеличьте $P=(3,2)$ с коэффициентом 2 относительно $C=(1,1)$. Перемещение $P-C=(2,1)$ удваивается до $(4,2)$, следовательно, $P'=C+2(P-C)=(5,3)$.
• Чтобы найти центр по фигуре и её изображению, проведите линии через соответствующие вершины и продлите их; они пересекаются в центре. Коэффициент $1/2$ помещает каждую точку изображения посередине между центром и её исходным положением. Базовые преобразования — это одиночные операции, а не комбинации.

Вы поняли