Площадь поверхности и объём тел
| English | Русский |
|---|---|
| volume/ˈvɒljuːm/ | объем |
| surface area/ˈsɜːfɪs ˈeərɪə/ | площадью поверхности |
| cuboid/ˈkjuːbɔɪd/ | прямоугольный параллелепипед |
| prism/ˈprɪzəm/ | призма |
| cylinder/ˈsɪlɪndə/ | цилиндр |
| cone/kəʊn/ | конус |
| sphere/sfɪə/ | сфера |
Сколько воды поместится в бассейн?
- Бассейн длиной 25 м, шириной 10 м и глубиной 2 м вмещает $25 \times 10 \times 2 = 500\text{ m}^3 = 500\,000$ литров.
- Объём показывает, сколько может вместить тело. Площадь поверхности показывает, сколько материала нужно для покрытия.
Лабораторная работа по масштабированию объёма
площадь поверхности растёт пропорционально scale^2
Измените масштаб длины и посмотрите, как объём растёт быстрее, чем площадь поверхности.
Объёмы распространённых тел
| Тело | Объём |
|---|---|
| прямоугольный параллелепипед | $l \times w \times h$ |
| призма | площадь поперечного сечения $\times$ × длина |
| цилиндр | $\pi r^2 h$ |
| пирамида | $\dfrac{1}{3} \times$ × площадь основания $\times h$ |
| конус | $\dfrac{1}{3}\pi r^2 h$ |
| сфера | $\dfrac{4}{3}\pi r^3$ |
У призмы одинаковое поперечное сечение на всём протяжении. Цилиндр — это круговая призма: поперечное сечение $= \pi r^2$, следовательно, объём $= \pi r^2 \times h$.
Пирамиды Гизы — это гигантские квадратные пирамиды — реальные тела, объём и площадь поверхности которых можно вычислить
У цилиндра радиус 5 см, а высота — 10 см. Его объём равен kπ см³. Чему равно k?
Объём = πr²h = π(25)(10) = 250π, значит k = 250.
Объём сферы радиуса r равен:
Объём сферы = (4/3)πr³; 4πr² — это её площадь поверхности.
У конуса радиус 3 см, а высота — 4 см. Его объём равен kπ см³. Чему равно k?
Объём = (1/3)πr²h = (1/3)π(9)(4) = 12π, значит k = 12.
У прямоугольного параллелепипеда размеры 4 см × 3 см × 5 см. Найдите его объём (см³).
Объём = l × w × h = 4 × 3 × 5 = 60 см³.
Площадь поверхности
- Сложите площади всех внешних граней.
- Цилиндр: боковая поверхность $2\pi rh$ плюс два круглых торца $2\pi r^2$. Итого $= 2\pi rh + 2\pi r^2$.
- Сфера: $4\pi r^2$.
Площадь поверхности ≠ объём. Объём цилиндра использует $\pi r^2 h$ (кубические единицы), а площадь поверхности — $2\pi rh + 2\pi r^2$ (квадратные единицы). Перепутать их — частая ошибка.
Пирамиды Гизы представляют собой пирамиды с квадратным основанием — твердое тело в 3-мерном пространстве
У того же цилиндра (r = 5, h = 10) полная площадь поверхности равна kπ см². Чему равно k?
2π(5)(10) + 2π(5²) = 100π + 50π = 150π, значит k = 150.
Формулы площади поверхности и объёма цилиндра одинаковы.
Объём = πr²h (кубические единицы); площадь поверхности = 2πrh + 2πr² (квадратные единицы). Разные формулы.
Разобранный пример
- Цилиндр $r = 5$, $h = 10$:
- Объём $= \pi(5^2)(10) = 250\pi\text{ cm}^3$.
- Площадь поверхности $= 2\pi(5)(10) + 2\pi(5^2) = 100\pi + 50\pi = 150\pi\text{ cm}^2$.
Объём строится на основе площади: цилиндр — это круг ($\pi r^2$), вытянутый на высоту ($h$).
Уложенные контейнеры являются прямоугольными параллелепипедами; объём равен произведению длины на ширину на высоту
Площадь конуса и объем пирамиды
- Конус с радиусом 3 см, перпендикулярной высотой 4 см и образующей 5 см имеет площадь боковой поверхности $S_c=\pi rl=15\pi\text{ cm}^2$. Добавьте площадь круглого основания для получения общей площади $S=15\pi+9\pi=24\pi\text{ cm}^2$; для вычисления объема используйте перпендикулярную высоту $V=\pi r^2h/3=12\pi\text{ cm}^3$.
- Пирамида с площадью основания $30\text{ cm}^2$ и перпендикулярной высотой 8 см имеет объём $V=Ah/3=80\text{ cm}^3$. Для вычисления площади поверхности сложите площадь основания и площади треугольных граней, используя высоту каждой грани, проведённую перпендикулярно основанию грани.
У конуса r = 3 см, образующая (наклонная высота) 5 см. Его полная поверхность равна kπ см². Найдите k.
Площадь боковой поверхности равна 15π, площадь основания — 9π; k = 24.
У пирамиды площадь основания 30 см² и высота 8 см. Найдите её объём в см³.
V = площадь основания × высота / 3 = 30 × 8 / 3 = 80.
Вы поняли
- объём цилиндра $= \pi r^2 h$; сферы $= \dfrac{4}{3}\pi r^3$; конуса $= \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$
- площадь поверхности цилиндра $= 2\pi rh + 2\pi r^2$; сферы $= 4\pi r^2$
- $r=5$, $h=10$ цилиндр: объём $250\pi$, поверхность $150\pi$