Составные фигуры и части фигур
| English | Русский |
|---|---|
| compound shapes/ˈkɒmpaʊnd ʃeɪps/ | сложные фигуры |
| hemisphere/ˈhemɪsfɪə/ | полусфера |
| frustum/ˈfrʌstəm/ | усеченный конус |
Составные фигуры
- Терраса представляет собой прямоугольник с полукруглой клумбой на одном конце. Сколько плитки потребуется?
- Составные фигуры состоят из простых фигур. Разделите, вычислите, затем сложите или вычтите.
Маршрут решения составных фигур
Разбейте составную фигуру на простые части, затем объедините их.
Стратегия: разделение на известные части
- Разбейте фигуру на прямоугольники, треугольники, круги — всё, для чего есть формула.
- Вычислите каждую площадь отдельно, затем сложите их вместе (или вычтите, если какая-то часть вырезана).
Прямоугольник $8 \times 5$ с полукругом (диаметром $5$) на одном конце: Площадь $= 40 + \dfrac{1}{2}\pi(2.5)^2 = 40 + 3.125\pi \approx 49.8\text{ cm}^2$.
Обращайте внимание на вырезы. Если фигура имеет отверстие, его площадь вычитают из общей площади. Прямоугольник с круглым отверстием: общая площадь $=$ площадь прямоугольника $-$ площадь круга.
Разбейте составную фигуру на известные части, здесь прямоугольник плюс полукруг, затем сложите площади
Чтобы найти площадь прямоугольника с полукругом на одном конце, вы:
Фигура представляет собой прямоугольник плюс полукруг, поэтому сложите две площади.
Составная фигура состоит из прямоугольника 8 см на 5 см и полукруга на конце. Какова площадь прямоугольной части (см²)?
Площадь прямоугольника = 8 × 5 = 40 см² (затем добавьте площадь полукруга).
Если из фигуры вырезано круглое отверстие, вычтите площадь круга из площади внешней фигуры.
Вырезы вычитаются: общая = внешняя площадь − площадь отверстия.
Части тел
- Полусфера — это половина сферы: объём $= \dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{2}{3}\pi r^3$.
- Отсечённый конус (фрустум) — это конус или пирамида, у которой верхняя часть отсечена параллельно основанию.
- Найдите его методом вычитания: весь конус минус маленький верхний конус.
Объём полусферы радиуса r равен:
Половина от (4/3)πr³ равна (2/3)πr³.
У полусферы радиус 6 см. Её объём равен kπ см³. Чему равно k?
(2/3) × π × 6³ = (2/3) × 216π = 144π, значит k = 144.
Конусную усечённую фигуру получают вычитанием маленькой верхней конусной части из ______ конуса.
Усечённый конус = целый конус − маленькая верхняя конусная часть (срезанная параллельно основанию).
Разбор пример — полусфера
- Полусфера радиусом $6\text{ cm}$:
- Объём $= \dfrac{2}{3}\pi(6)^3 = \dfrac{2}{3}\pi(216) = 144\pi\text{ cm}^3$.
Составные фигуры строятся из простых — здесь два квадрата разного размера, как прямоугольник, состоящий из двух частей.
Почему важен фрустум
- Фрустум — это форма большинства абажуров, ведер и стаканов. Инженеры и архитекторы постоянно используют эту формулу.
Открытая поверхность в месте соединения
- Два куба с ребром 3 см соединены гранями. Их объемы складываются: $V=2(3^3)=54\text{ cm}^3$. Площадь поверхности не складывается напрямую: две соприкасающиеся грани исчезают с внешней стороны, поэтому $S=12(3^2)-2(3^2)=90\text{ cm}^2$.
- Половина сферы радиусом 6 см имеет площадь криволинейной поверхности $2\pi r^2=72\pi\text{ cm}^2$; добавление плоского круглого основания дает общую площадь $3\pi r^2=108\pi\text{ cm}^2$. Укажите, является ли плоское основание открытым.
Два куба со стороной 3 см соединены гранями друг к другу. Найдите площадь видимой поверхности в см².
Остаётся открытыми десять квадратных граней: 10 × 9 = 90 см².
Вы поняли
- Разбейте сложную фигуру на известные части, затем сложите или вычтите
- Объем полушара $= \dfrac{2}{3}\pi r^3$
- Фрустум = весь конус минус маленький верхний конус