Окружности, дуги и секторы

Словарь

English	Русский
circumference/sɜːˈkʌmfrəns/	окружности
area/ˈeərɪə/	площадь
sector/ˈsektə/	сектора
arc length/ɑːk leŋθ/	длину дуги

Число, которое не заканчивается

$\pi \approx 3.14159\dots$ — это отношение длины окружности любой окружности к её диаметру.
Это иррациональное число — его цифры никогда не повторяются и никогда не заканчиваются. Древние египтяне приближенно оценивали его как $\dfrac{256}{81} \approx 3.16$.

Длина окружности и площадь

Для окружности с радиусом $r$ (диаметром $d = 2r$):

$$\text{circumference} = 2\pi r = \pi d, \qquad \text{area} = \pi r^2$$

Example

Радиус $7\text{ cm}$: длина окружности $= 2\pi(7) = 14\pi\text{ cm}$, площадь $= \pi(7^2) = 49\pi\text{ cm}^2$.

Watch out

Не путайте $r$ и $d$. Если дан диаметр, сначала разделите его пополам. Окружность с диаметром $10$ имеет радиус $5$, поэтому площадь равна $= \pi(5)^2 = 25\pi$, а НЕ $\pi(10)^2 = 100\pi$.

Сектор — это доля от всей окружности, поэтому его дуга и площадь составляют эту долю от и

Сектор — это доля $\tfrac{\theta}{360}$ от всей окружности, поэтому его дуга и площадь составляют эту долю от $2\pi r$ и $\pi r^2$

Исследовать

Дуги и сектора

s = rθ · A = ½r²θ

Больший угол или радиус означают более длинную дугу и большую площадь сектора.

Практика

У окружности радиус 7 см. Её площадь равна kπ см². Чему равно k?

Практика

У окружности радиус 7 см. Её длина окружности равна kπ см. Чему равно k?

Практика

У окружности диаметр 10 см, а площадь равна 100π см².

Дуги и секторы

Сектор — это «кусочек» круга между двумя радиусами с углом $\theta$.
Он составляет долю $\dfrac{\theta}{360}$ от всего круга:

$$\text{arc length} = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r, \qquad \text{sector area} = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$$

Круг с отмеченными секторами и дугами, показывающий, как угол θ определяет долю полного круга

Сектор с углом $\theta$ составляет $\dfrac{\theta}{360}$ от всего круга — та же самая доля применяется к длине дуги и площади.

Разобранный пример

$\theta = 90^{\circ}$, $r = 8$: доля $= \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}$.
Дуга $= \dfrac{1}{4} \times 2\pi(8) = 4\pi\text{ cm}$.
Площадь $= \dfrac{1}{4} \times \pi(8^2) = 16\pi\text{ cm}^2$.

Круг: длина окружности = пи × d, площадь = pi × r в квадрате

Круг: длина окружности = pi × d, площадь = pi × r в квадрате

Практика

У сектора угол равен 90°, а радиус — 8 см. Его площадь равна kπ см². Чему равно k?

Практика

У сектора угол равен 60°, а радиус — 12 см. Длина дуги равна kπ см. Чему равно k?

Практика

Сектор составляет долю θ/______ от всей окружности.

Длина дуги — это не периметр сектора

Сектор радиусом 6 см и углом $120^{\circ}$ составляет долю $1/3$ от круга. Длина дуги $L=(1/3)2\pi(6)=4\pi$ см; площадь $S=(1/3)\pi(6)^2=12\pi\text{ cm}^2$.
Его периметр также включает два радиуса: $P=L+2r=4\pi+12\approx24.6$ см. Углы секторов в программе Core являются делителями $360^{\circ}$; в Extended можно использовать другие углы.