Подобные фигуры
| English | Русский |
|---|---|
| similar/ˈsɪmɪlə/ | подобный |
| scale factor/skeɪl ˈfæktə/ | множитель масштабирования |
| congruent/ˈkɒŋɡruːənt/ | равновеликими (конгруэнтными) |
Чертёж архитектора
- Архитектор чертит здание в масштабе 1:100. Каждое измерение на плане составляет $\dfrac{1}{100}$ от реального объекта.
- Чертёж и здание подобны — одинаковая форма, разные размеры.
Что делает фигуры подобными?
- Две фигуры подобны, если у них одинаковые углы, а все стороны умножены на один и тот же коэффициент подобия $k$.
- Все окружности подобны. Все равносторонние треугольники подобны. Не все прямоугольники подобны.
- Фигуры, которые являются точно такого же размера и формы, называются равными (конгруэнтными).
Треугольник со сторонами $3, 4, 5$ и треугольник со сторонами $6, 8, 10$: коэффициент подобия $k = 2$. Одинаковые углы ($90^{\circ}$), стороны удвоены. Они подобны.
Сумма трёх углов треугольника равна 180 градусам
Подобные фигуры — подобие (увеличение)
Similar shapes are the same shape but a different size. An enlargement scales every length by the same factor; angles stay the same.
Similar shapes have the same angles.
Similar shapes keep all angles equal; only the side lengths scale.
Two similar triangles have sides 5 cm and 15 cm. What is the scale factor k?
k = 15/5 = 3.
Shapes that are exactly the same size AND shape are called ______.
Congruent shapes are identical in both size and shape (scale factor = 1).
Площадь и объем масштабируются по-разному (расширенная программа) (расширенная программа)
- Длины масштабируются с коэффициентом $k$, но:
Не масштабируйте площадь как длину. Если коэффициент подобия равен $2$, то отношение площадей равно $2^2 = 4$, а не $2$. А отношение объёмов равно $2^3 = 8$.
Two similar shapes have lengths in the ratio 2:3. The area ratio is 4:b. What is b?
Area scales by k²: 2²:3² = 4:9, so b = 9.
If the scale factor is 4, the area ratio is k²:1. What is k²?
4² = 16. Area scales as the square of the length scale factor.
Разобранный пример
- Два подобных тела имеют длины в отношении $2:3$.
- Отношение площадей $= 2^2:3^2 = 4:9$.
- Отношение объёмов $= 2^3:3^3 = 8:27$.
- Если у меньшего тела объём $40$ см³: у большего $= 40 \times \dfrac{27}{8} = 135$ см³.
Two similar solids have lengths 2:3; the smaller has volume 40 cm³. Find the larger volume (cm³).
Volume ratio 8:27, so 40 × 27/8 = 135 cm³.
Интересный факт
- Площадь поверхности сферы масштабируется как $r^2$, а её объём масштабируется как $r^3$. Именно поэтому слонам нужны большие уши (площадь поверхности для охлаждения), а мышам нет — объём растёт быстрее площади поверхности.
Два квадрата всегда подобны — одинаковые углы, стороны масштабированы с коэффициентом. Здесь коэффициент подобия равен $2$, поэтому отношение площадей равно $4$.
Найти пропущенную соответствующую длину
- Соответствующие стороны 4 см и 10 см дают коэффициент масштабирования $k=10/4=2.5$ от малого к большому. Следовательно, сторона длиной 6 см превратится в сторону $L=kl=2.5(6)=15$ см.
- В обратном порядке, большая сторона 20 см получается из стороны $l=L/k=20/2.5=8$ см. Базовая программа использует отношения длин; расширенная программа также использует отношения площадей и объемов.
Similar shapes have scale factor 2.5 from small to large. Find the small side corresponding to 20 cm.
Reverse the enlargement: 20 / 2.5 = 8 cm.
Вы поняли
- Подобные = одинаковые углы, стороны $\times$ коэффициент подобия $k$
- Площадь масштабируется как $k^2$, объём масштабируется как $k^3$
- Длины $2:3 \Rightarrow$ площади $4:9 \Rightarrow$ объёмы $8:27$