Окружности — части и теоремы
| English | Русский |
|---|---|
| radius/ˈreɪdɪəs/ | радиусу |
| diameter/daɪˈæmɪtə/ | диаметру |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | окружности |
| chord/kɔːd/ | хорда |
| tangent/ˈtændʒənt/ | касательную |
| arc/ɑːk/ | дуга |
| sector/ˈsektə/ | сектора |
| segment/ˈseɡmənt/ | сегмент |
| cyclic quadrilateral/ˈsaɪklɪk ˌkwɒdrɪˈlætərəl/ | вписанный четырехугольник |
Колесо, изменившее мир
- Окружность — самая совершенная фигура в природе — каждая точка на её границе находится на одинаковом расстоянии от центра.
- Древние математики открыли замечательные свойства, скрытые в этой простой форме.
Части окружности
- Радиус: от центра до края. Диаметр: через всю ширину ($= 2r$). Длина окружности: расстояние по кругу.
- Хорда: прямая, соединяющая две точки на окружности. Касательная: касается ровно в одной точке.
- Дуга: часть длины окружности. Сектор: кусок между двумя радиусами. Сегмент: область, отсекаемая хордой.
Диаметр — это особая хорда — самая длинная из возможных, проходящая через центр.
Дуга и сектор
Перетащите угол и радиус, чтобы увидеть дугу (часть окружности) и сектор (кусочек пирога), которые они образуют.
Соотнесите каждую часть окружности с её определением.
Хорда соединяет две точки; касательная касается один раз; сектор — кусочек между радиусами.
Теоремы о окружности (Основы)
- Угол в полукруге равен $90^{\circ}$ (угол, опирающийся на диаметр).
- Угол между касательной и радиусом равен $90^{\circ}$.
Основные части окружности; хорда соединяет две точки, касательная касается в одной
На какой градус равен угол в полуокружности?
Угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°.
Касательная к окружности пересекает радиус под углом 90°.
Касательная всегда перпендикулярна радиусу в точке касания.
Теоремы о окружности (Расширенные)
- Угол в центре в два раза больше угла на окружности (для той же дуги).
- Углы в одном сегменте равны.
- Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^{\circ}$.
Угол в центре всегда в два раза больше угла на окружности для одной и той же дуги.
Только одна дуга. Правило «угол в центре = 2 × угол на окружности» работает только тогда, когда оба угла опираются на одну и ту же дугу. Разные дуги этому правилу не подчиняются.
Угол на окружности равен 40°. Угол в центре на той же дуге равен скольким градусам?
Угол в центре = 2 × угол на окружности = 2 × 40 = 80°.
В вписанном четырёхугольнике один угол равен 85°. Его противолежащий угол равен скольким градусам?
Противолежащие углы в сумме дают 180°: 180 − 85 = 95°.
Углы в одном сегменте ______.
Любые два угла, опирающиеся на одну дугу в одном сегменте, равны.
Разобранный пример
- Угол на окружности $= 40^{\circ}$ → угол в центре $= 2 \times 40 = 80^{\circ}$.
- Во вписанном четырёхугольнике один угол $= 85^{\circ}$ → противоположный угол $= 180 - 85 = 95^{\circ}$.
Сектор — кусок между двумя радиусами; сегмент отсекается хордой; дуга — часть длины окружности
Пропущенные факты о кругах (расширенная программа)
- Теорема о касательной и хорде: угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду, во вписанном угле противоположного сегмента. Если этот угол между касательной и хордой равен $52^{\circ}$, то соответствующий вписанный угол равен $52^{\circ}$.
- Перпендикулярный биссектор хорды проходит через центр; равные хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра. Касательные PA и PB, проведенные из одной внешней точки P, равны по длине, поэтому $PA=7$ см означает, что $PB=7$ см.
Угол между касательной и хордой равен 52°. Найдите угол в противоположном сегменте в градусах.
Теорема об угле между касательной и хордой утверждает, что эти два угла равны.
PA и PB — касательные, проведенные из одной внешней точки P. PA = 7 см. Найдите PB в см.
Касательные, проведённые из одной внешней точки, имеют равную длину.
Вы поняли
- Угол в полукруге $= 90^{\circ}$; касательная пересекает радиус под углом $90^{\circ}$
- Угол в центре $= 2 \times$ угол на окружности (для одной дуги)
- вписанный четырехугольник: сумма противоположных углов равна $180^{\circ}$