Применение математического анализа
Введено| English | Русский |
|---|---|
| optimisation/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | оптимизация |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | ограничение |
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | связанные скорости изменения |
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | площадь между двумя кривыми |
| marginal cost/ˈmɑːdʒɪnl kɒst/ | предельные издержки |
| marginal revenue/ˈmɑːdʒɪnl ˈrevənjuː/ | предельный доход |
Фиксированный объём ограничивает конструкцию
- Закрытая цилиндрическая учебная модель содержит 500 кубических сантиметров, с плоскими верхней и нижней частями и без учёта швов. Её радиус и высота не могут выбираться независимо.
- Оптимизация находит требуемый максимум или минимум на указанной допустимой области; физические предположения являются частью модели.
Уменьшите количество переменных и сравните кандидатов
- Используйте ограничение, чтобы выразить целевую величину одной переменной. Для закрытого цилиндра: $h=500/(\pi r^2)$ и $A(r)=2\pi r^2+1000/r$, при $r>0$.
- Продифференцируйте, чтобы найти стационарные кандидаты, затем обоснуйте классификацию и проверьте применимые границы. Для целочисленных вариантов сравнивайте допустимые соседние целые числа, а не рассматривайте дробный оптимум как допустимый ответ.
Расставьте шаги решения задачи на оптимизацию в правильном порядке.
Укажите целевую величину и допустимую область применения, используйте ограничение при необходимости, найдите стационарные кандидаты и сравните классификацию, границы и любые дискретные ограничения.
Минимум для закрытого цилиндра. $A'(r)=4\pi r-1000/r^2=0$ даёт $r^3=250/\pi$, следовательно, $r\approx4.30$ см. Поскольку $A''(r)=4\pi+2000/r^3>0$ для положительных r и A растёт неограниченно на обоих концах, это глобальный минимум указанной непрерывной модели. Ограничение объёма затем даёт $h=2r$.
Закрытый цилиндр с плоскими верхом и дном должен вмещать 500 см³. Пренебрегая швами, найдите радиус, минимизирующий площадь поверхности для положительного радиуса, с точностью до 2 знаков после запятой.
A(r) = 2πr² + 1000/r для r > 0. Его производная даёт r³ = 250/π, следовательно r ≈ 4.30 см. Положительная вторая производная и неограниченный рост площадей на границах подтверждают глобальный минимум.
Связывайте скорости через определённую зависимость
- Когда $V=V(r)$ и $r=r(t)$, правило сложной функции даёт $dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)$.
- Связанные скорости требуют совместимых единиц измерения и значений в запрашиваемый момент времени. Интегрирование скорости даёт накопленное изменение, тогда как начальное количество определяет итоговый результат.
Радиус шарика увеличивается с известной скоростью, и вам нужно узнать, как быстро растёт его объём. С чего начать запись?
Сначала запишите цепное правило, затем заполните каждый множитель. Это сводит задачу к двум обычным производным.
У площадей и маржинальных моделей есть ограничения
- Площадь между двумя кривыми вычисляется как верхняя минус нижняя на указанном участке. Найдите точки пересечения для замкнутых областей и разбивайте при изменении порядка; внешний заданный интервал может вместо этого提供 пределы.
- Маржинальные издержки и маржинальный доход — это производные непрерывных моделей. Их равенство находит внутреннего стационарного кандидата на прибыль, чья допустимость, классификация и граничные конкуренты всё ещё требуют проверки.
Для конечной области, ограниченной двумя пересекающимися кривыми, что необходимо найти, чтобы определить пределы интегрирования?
Найдите соответствующие точки пересечения, определите, какая кривая находится выше на каждом интервале, и разбейте интеграл, если их порядок меняется. Если в условии задан внешний интервал, пределы могут быть даны непосредственно.
В дифференцируемой непрерывной модели затрат предельные затраты являются производной от общих затрат.
Это мгновенная модель скорости. Фактическое дискретное увеличение на одну единицу — это конечная разность и может не совпадать точно с этой производной.
Производная не всегда означает точный рост на единицу. Для $C(q)=100+3q+0.2q^2$, $C'(10)=7$, но $C(11)-C(10)=7.2$. Лист 3.3 также сравнивает непрерывный максимум при 5,5 с лучшими целочисленными количествами 5 и 6.
Вы нашли r = 4.30 для банки. Запишите полный ответный предложение, которое ожидает увидеть экзаменатор.
Пример: Радиус составляет приблизительно 4.30 см, что минимизирует площадь поверхности в рамках указанной модели объёма закрытого цилиндра.
Стационарная точка сама по себе не устанавливает глобальный оптимум. Укажите допустимую область и почему другие кандидаты или границы не могут дать лучшее значение. Другое отверстие контейнера, припуск на швы или практическое ограничение размеров может изменить модель.