Множества, отношения и функции
Введено| English | Русский |
|---|---|
| set/set/ | множество |
| union/ˈjuːnɪən/ | объединение множеств |
| intersection/ˌɪntəˈsekʃn/ | пересечение множеств |
| set complement/set ˈkɒmplɪmənt/ | дополнение множества |
| subset/ˈsʌbset/ | подмножество |
| Venn diagram/ven ˈdaɪəɡræm/ | диаграмма Венна |
| inclusion-exclusion principle/ɪnˈkluːʒn eksˈkluːʒn ˈprɪnsɪpl/ | принцип включений-исключений |
| relation/rɪˈleɪʃn/ | отношение |
| function/ˈfʌŋkʃn/ | функция |
Посчитайте общего ученика один раз
- В классе из 30 человек 18 изучают французский, 15 — немецкий и 7 изучают оба предмета. Простое сложение чисел предметов посчитает общих семь человек дважды.
- Множество содержит уникальные объекты. Порядок и повторяющиеся записи не меняют состав множества или количество его элементов.
Определите универсум для дополнения
- Объединение содержит элементы в любом из множеств; пересечение содержит элементы в обоих.
- Дополнение множества содержит элементы заявленного универсума, не входящие в само множество. Подмножество содержит только элементы, принадлежащие его родительскому множеству.
Соотнесите каждую операцию над множествами с тем, что она содержит.
Объединение содержит элементов из любого множества, пересечение — элементов обоих множеств, а дополнение содержит только элементы указанного универсума вне множества.
Разделите подсчёт на непересекающиеся области
- Диаграмма Венна может показать пересечение и области «только/ни то, ни другое». Убедитесь, что эти области в сумме дают общее число универсума.
- Принцип включений-исключений даёт $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$, вычитая пересчитанное пересечение один раз.
Два множества и их пересечение
Объединение учитывает пересечение один раз, именно для этого используется знак минус.
Предоставленный класс. Только французский — 11, оба предмета — 7, только немецкий — 8 и ни один из них — 4. Объединение равно 26, а сумма непересекающихся множеств равна $11+7+8+4=30$. «Ни один» означает вне обоих предметов, но всё ещё внутри универсума данного класса.
В классе из 30 человек 18 изучают французский, 15 — немецкий, а 7 изучают оба языка. Сколько учеников не изучают ни один язык?
18 + 15 − 7 = 26 изучают хотя бы один язык, значит 30 − 26 = 4 не изучают ни одного.
В том же классе сколько учеников изучают только французский?
18 − 7 = 11. Заполнение диаграммы Эйлера-Венна от центра к краям никогда не приводит к двойному подсчёту.
Каждому входному значению области определения соответствует ровно один выход
- Отношение сопоставляет элементы. Функция присваивает ровно один выход каждому входному значению из заявленной области определения; разные входы могут иметь одинаковый выход.
- Для $f(x)=x^2$ на отрицательных и положительных входах один выход может соответствовать двум входам. Тогда обратное отношение не будет функцией на этом диапазоне без соответствующего ограничения.
Что делает отношение функцией?
Каждый вход в указанной области должен иметь ровно один выход. Различные входы могут иметь общий выход.
Разделите принадлежность и подсчёт. В листе 4.1 перечислите элементы множества перед указанием их количества и определите заявленную область определения, прежде чем судить, является ли отношение функцией или имеет обратную функцию.
Что означает |A| в нотации множеств?
В нотации множеств |A| подсчитывает различные элементы A.
В нотации множеств $|A|$ обозначает количество элементов A. Дополнение без указания универсума неполно: элемент вне универсума не входит в это дополнение.