Нормальное распределение
| English | Русский |
|---|---|
| normal distribution/ˈnɔːml ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | нормального распределения |
| empirical rule/emˈpɪrɪkl ruːl/ | эмпирическое правило |
| standard normal/ˈstændəd ˈnɔːml/ | стандартное нормальное распределение |
Знаменитый колокообразный график
- Многие реальные переменные — рост, ошибки измерений, результаты тестов — следуют колокообразному паттерну.
- Нормальное распределение — это идеализированный колокообразный график, симметричный относительно своего центра.
- Она полностью описывается двумя числами: средним $\mu$ (центр) и стандартным отклонением $\sigma$ (разброс).
- Поскольку так много данных попадает в эту форму, нормальная модель является основным инструментом статистики.
A normal distribution is completely described by its...
Two numbers: $\mu$ (center) and $\sigma$ (spread).
Правило эмпирическое (68–95–99.7)
- Для нормального распределения эмпирическое правило указывает, сколько данных попадает в пределах нескольких SD от среднего:
- Около $68\%$ находятся в пределах $1$ стандартного отклонения от среднего.
- Около $95\%$ в пределах $2$ SD; около $99.7\%$ в пределах $3$ SD.
- Эти три числа позволяют оценивать доли без использования калькулятора.
The normal bell curve
Shade a normal curve by z-score — about 68% lies within 1 SD, 95% within 2, 99.7% within 3.
About what percent of a normal distribution lies within $1$ standard deviation of the mean?
The empirical rule: about $68\%$.
About what percent lies within $2$ standard deviations of the mean?
About $95\%$ within $2$ SDs.
z-оценки и стандартное нормальное распределение
- Преобразуйте любое значение в $z$-оценку $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ — её расстояние от среднего в единицах стандартного отклонения.
- Стандартное нормальное распределение имеет среднее $0$ и SD $1$; любая нормальная кривая становится им после стандартизации.
- Используйте таблицу $z$ (или программное обеспечение), чтобы преобразовать значение $z$ в долю или перцентиль.
- Именно так вы находите «какой процент получал результат ниже $x$».
За $\mu=170$, $\sigma=8$, find the $z$-score of $x=186$.
$z=(186-170)/8=2$.
The standard normal distribution has mean $0$ and standard deviation ____.
Standardizing gives mean $0$, SD $1$.
Является ли нормальная модель разумной?
- Не всё подчиняется нормальному распределению — проверяйте, прежде чем делать предположение.
- Примерно симметричный, колоколообразный, одновершинный график подтверждает применимость нормальной модели.
- Сильная асимметрия, несколько вершин или сильные выбросы означают, что нормальная модель является плохим приближением.
- Сначала оцените форму данных; эмпирическое правило и таблицы $z$ применимы только если распределение приблизительно нормальное.
A normal model is a poor fit when the data are...
Skew or multiple peaks break the normal assumption.
Эмпирическое правило и доли по таблице $z$ применяются только к (приблизительно) нормальным распределениям — не используйте их для сильно скошенных данных. Кроме того, эмпирическое правило — это 68–95–99.7 (для $1$, $2$, $3$ стандартных отклонений) именно в таком порядке; перепутывание процентов — частая ошибка. Всегда стандартизируйте с помощью $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ перед чтением таблицы.
Рост распределен нормально со средним $\mu=170$ см и стандартным отклонением $\sigma=8$ см. Какой процент находится между $162$ и $178$ см?
- $162=170-8$ и $178=170+8$ — это ровно $1$ стандартных отклонения ниже и выше среднего.
- Согласно эмпирическому правилу, около $68\%$ значений роста попадает в диапазон $1$ стандартного отклонения.
- Таким образом, примерно $68\%$ находятся между $162$ и $178$ см.
Нормальное распределение — это симметричная колоколообразная кривая, задаваемая средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$. Правило эмпирическое (68–95–99.7) даёт доли значений, попадающих в пределы $1$/$2$/$3$ стандартных отклонений. Стандартизируйте с помощью $z$-оценки $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ и используйте стандартное нормальное распределение для точных долей — но только тогда, когда нормальная модель адекватно описывает данные.