Закон сохранения импульса
| English | Русский |
|---|---|
| conservation/ˌkɒnsəˈveɪʃn/ | сохранение |
| isolated system/ˈaɪsəleɪtɪd ˈsɪstəm/ | изолированная система |
Пушка отдаёт назад — и книги сходятся
- Выстрелите из пушки, и она дернется назад, пока ядро летит вперед.
- Прямой импульс ядра уравновешивается обратным импульсом пушки.
- До выстрела ничего не двигалось: суммарный импульс был равен нулю. После выстрела он по-прежнему равен нулю.
- Импульс не был создан — он был распределен, и общая сумма сохранилась.
Закон сохранения
- В замкнутой системе (нет внешней результирующей силы) суммарный импульс остается постоянным.
- Суммарный импульс до взаимодействия равен суммарному импульсу после.
- $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$ (используя $u$ для состояния до, $v$ для состояния после).
- Это напрямую следует из третьего закона Ньютона: внутренние силы компенсируют друг друга парами.
Сохраняется импульс
Задайте массы и скорости, запустите столкновение и проверьте, что суммарный импульс до равен таковому после.
Пушка массы $1000\ \text{kg}$ выпускает снаряд массы $5\ \text{kg}$ со скоростью $200\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Какова скорость отдачи пушки, в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$? (Начальный суммарный импульс равен нулю.)
$0 = 1000 v + 5(200)$, значит $v = -1000/1000 = -1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — скорость $1\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ назад.
В изолированном столкновении суммарный импульс после равен суммарному импульсу до.
Это и есть закон сохранения импульса: $\sum p_{\text{before}} = \sum p_{\text{after}}$.
Почему внутренние силы компенсируются
- Во время столкновения два объекта давят друг на друга с одинаковой силой, но в противоположных направлениях.
- Эти внутренние импульсы силы равны и противоположны, поэтому они компенсируются в общей сумме.
- При отсутствии внешней силы ничего не изменяет общий импульс системы.
- Импульс каждого отдельного объекта может меняться кардинально — но их сумма нет.
Сохранение импульса непосредственно следует из закона Ньютона ____.
Равные и противоположные внутренние силы (третий закон) компенсируют друг друга, оставляя суммарный импульс неизменным.
Решение через закон сохранения
- Запишите суммарный импульс до, приравняйте его к суммарному импульсу после и решите уравнение.
- Не забудьте учитывать знаки — импульс является векторной величиной.
- Отдача (оружие, ракеты), взрывы и каждое столкновение подчиняются этому закону.
- Он работает даже тогда, когда вам совершенно неизвестны сложные силы, действующие во время контакта.
Тележка массы $2\ \text{kg}$ со скоростью $3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ врезается в неподвижную тележку массы $1\ \text{kg}$, и они слипаются. Какова их общая скорость после, в $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$?
До: $p = 2(3) = 6$. После: $3v = 6$, значит $v = 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Выберите все ситуации, в которых сохраняется суммарный импульс.
Первые три случая не имеют внешней равнодействующей силы. Сильное внешнее трение создает внешний импульс, поэтому там импульс не сохраняется.
Импульс сохраняется только для замкнутой системы — одной без внешней результирующей силы. Трение, гравитация или стена могут добавить внешний импульс и изменить общую сумму. Выберите свою систему так, чтобы основные силы были внутренними, тогда применим закон сохранения.
Импульс сохраняется только тогда, когда система:
При отсутствии внешней равнодействующей силы внутренние силы компенсируют друг друга, и суммарный импульс остается постоянным.
Тележка массой $2\ \text{kg}$ со скоростью $3\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ сталкивается с неподвижной тележкой массой $1\ \text{kg}$, и они слипаются вместе.
- До столкновения: $p = 2(3) + 1(0) = 6\ \text{kg}\cdot\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
- После: суммарная масса $3\ \text{kg}$ движется со скоростью $v$, следовательно, $3v = 6 \Rightarrow v = 2\ \tfrac{\text{m}}{\text{s}}$.
Закон сохранения импульса: в замкнутой системе суммарный импульс не изменяется, значит $m_1 u_1 + m_2 u_2 = m_1 v_1 + m_2 v_2$. Он вытекает из третьего закона Ньютона (внутренние силы компенсируются). Учитывайте знаки, и это решает задачи на отдачу, взрывы и столкновения.