Нахождение общих решений методом разделения переменных
| English | Русский |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | разделяемое |
Получите значения $x$'s и $y$'s по обе стороны
- Чтобы действительно решить дифференциальное уравнение (а не просто нарисовать его), мы интегрируем — но сначала разделим переменные.
- Дифференциальное уравнение разделяется, если можно записать его так, чтобы одна сторона содержала только $y$, а другая только $x$.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$ — это характерная форма: произведение части $x$ и части $y$.
- Тогда каждую сторону можно проинтегрировать отдельно.
Какое уравнение разделяемое?
$xy$ раскладывается как произведение ($x$-часть)$\times$($y$-часть); сумма так не раскладывается.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$ не является разделяемым, потому что нельзя разделить ____.
Разделение требует произведения, а не суммы.
Разделите переменные
- Рассматривайте $\dfrac{dy}{dx}$ как отношение дифференциалов и перенесите каждую переменную на свою сторону.
- Из $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$: разделите на $h(y)$ и умножьте на $dx$:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- Теперь каждая сторона содержит только одну переменную и ее дифференциал — готово к интегрированию.
Разделение $\dfrac{dy}{dx}=xy$ дает...
Разделите на $y$, умножьте на $dx$: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
Проинтегрируйте обе стороны
- Проинтегрируйте левую часть в $y$ и правую в $x$: $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- Добавьте единственную константу $+C$ (достаточно одной — объедините константы обеих сторон).
- Затем решите относительно $y$, если возможно, чтобы получить общее решение.
- Результатом будет семейство функций с константой $C$.
Общее решение — это семейство
Решение $\tfrac{dy}{dx}=ay$ дает $y=Ce^{ax}$ — одна кривая на каждую константу, все подходят к одному полю.
Интегрирование $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$ дает...
$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; добавьте $+C$.
Сохраните $+C$ (и решите относительно $y$)
- Константа интегрирования — это то, что делает это семейством — никогда не опускайте ее.
- Часто вам придется возводить в степень или преобразовывать, чтобы изолировать $y$; $C$ трансформируется, но остается.
- Оставление ответа в виде неявного соотношения приемлемо, если $y$ нельзя cleanly изолировать.
- Позднее начальное условие (урок 7.7) определит значение $C$.
При решении дифференциального уравнения методом разделения необходимо добавить константу $+C$.
Константа $+C$ дает общее (семейство) решений.
Общее решение для $\dfrac{dy}{dx}=xy$ равно...
Возведите в экспоненту $\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$, чтобы получить $y=A e^{x^2/2}$.
Разделение переменных работает только если уравнение факторизуется как (функция от $x$) $\times$ (функция от $y$). Что-то вроде $\frac{dy}{dx}=x+y$ не является разделяемым — вы не можете разделить сумму. И не забудьте $+C$ после интегрирования: без него вы получите одну кривую, а не общее семейство.
Решите $\dfrac{dy}{dx}=xy$ (общее решение).
- Разделите: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- Проинтегрируйте: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- Возведите в степень: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ (записывая $A=e^C$). Общее решение: $y=A\,e^{x^2/2}$.
Разделение переменных решает разделяемое уравнение $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$: переставьте слагаемые так, чтобы получить $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$, проинтегрируйте обе части (одна из которых по $+C$), и выразите $y$ для получения общего решения. Метод работает только тогда, когда уравнение раскладывается на произведение части, зависящей от $x$, и части, зависящей от $y$.