Проверка гипотез
| English | Русский |
|---|---|
| hypothesis test/haɪˈpɒθəsɪs test/ | статистическая гипотеза |
| null hypothesis/nʌl haɪˈpɒθəsɪs/ | нулевая гипотеза |
| alternative/ɔːlˈtɜːnətɪv/ | альтернативная |
| one-tailed/wʌn teɪld/ | односторонним |
| two-tailed/tuː teɪld/ | двусторонним |
| significance level/sɪɡˈnɪfɪkəns ˈlevl/ | уровень значимости |
| test statistic/test stəˈtɪstɪk/ | статистика теста |
| rejection region/rɪˈdʒekʃn ˈriːdʒn/ | область отвержения |
| critical value/ˈkrɪtɪkl ˈvæljuː/ | критическое значение |
| Type I error/taɪp aɪ ˈerə/ | ошибка I рода |
| Type II error/taɪp ˈtuː ˈerə/ | ошибка II рода |
Статистический суд
- Фармацевтическая компания утверждает, что их новое лекарство работает лучше старого. Как вы решите, достаточно ли сильны доказательства?
- Проверка гипотез — это статистический аналог судебного процесса: вы предполагаете, что подсудимый (нулевая гипотеза) невиновен, пока его вина не будет доказана вне разумных сомнений.
Формулировка гипотез
- Гипотеза теста использует выборочные данные для оценки утверждения.
- Нулевая гипотеза $H_0$ — исходная позиция (обычно «нет изменений» или «нет эффекта»).
- Альтернативная гипотеза $H_1$ — то, что вы подозреваете как истинное.
- Однонаправленный, если $H_1$ указывает в одну сторону ($\mu > 50$); двухнаправленный, если обе ($\mu \neq 50$).
Пример решения. Машина наполняет бутылки объемом 500 мл. Вы подозреваете, что она недополняет. $H_0: \mu = 500$ (машина работает правильно). $H_1: \mu < 500$ (недополнение). Это однонаправленный тест.
Двухнаправленный тест на уровне 5% отвергает H0 в заштрихованных хвостах beyond plus or minus 1.96
Критическая область
отклонить H₀ если z < −z*
Заштрихованный хвост — это критическая область — если статистика критерия попадает туда, отклоните H₀.
Нулевая гипотеза H₀ обычно утверждает, что:
H₀ — это утверждение, которое проверяется, обычно "нет изменений"; H₁ — предполагаемая альтернатива.
Если H₁ утверждает μ > 50, тест является:
Направление H₁ в одну сторону (μ > 50 или μ < 50) делает его односторонним тестом.
Проведение теста
- Задайте уровень значимости (часто 5%), вычислите тестовую статистику и проверьте, попадает ли она в область отклонения.
- Если $|z|$ превышает критическое значение (1,96 для двухнаправленного теста на уровне 5%, 1,645 для однонаправленного теста на уровне 5%), отвергните $H_0$.
Однонаправленный тест на уровне 5% отвергает H₀ только если тестовая статистика попадает в заштрихованный хвост.
Уровень значимости НЕ является вероятностью того, что $H_0$ истинна. Уровень значимости 5% означает: если $H_0$ истинна, существует 5%-ная вероятность получить такие экстремальные данные. Он НЕ означает, что существует 5%-ная вероятность того, что $H_0$ истинна.
Типы ошибок
- Ошибка I рода: отвержение $H_0$, когда она истинна (ложноположительный результат). Вероятность = уровень значимости $\alpha$.
- Ошибка II рода: принятие $H_0$, когда она ложна (ложноотрицательный результат).
Ошибка типа I — это:
Ошибка типа I = отклонение истинной H₀; Ошибка типа II = принятие ложной H₀.
Ошибка типа II означает принятие H₀, когда она на самом деле ложна.
Тип II = отказ от отвержения ложного H₀ (ложноотрицательный результат).
Пример решения — z-тест
- $H_0: \mu = 50$, $H_1: \mu \neq 50$ (двухнаправленный, уровень 5%). $\sigma = 8$, $n = 64$, $\bar{x} = 52$.
- $z = \dfrac{52 - 50}{8/\sqrt{64}} = \dfrac{2}{1} = 2$.
- Критическое значение для двухнаправленного теста на уровне 5%: $1.96$. Поскольку $2 > 1.96$, отвергаем $H_0$.
- Задайте нулевую и альтернативную гипотезу; тестовая статистика попадает в критическую область (отвержение) или область принятия. Ошибка II рода — это принятие ложной $H_0$. Тесты могут использовать биномиальное или распределение Пуассона.
Утверждается среднее значение генеральной совокупности 50, σ = 8, выборка n = 64, x̄ = 52. Чему равно z = (x̄ − μ)/(σ/√n)?
z = (52 − 50)/(8/√64) = 2/(8/8) = 2/1 = 2.
Для двухстороннего теста с уровнем значимости 5% вы отклоняете H₀, если |z| > 1.96.
Критическое значение для двухстороннего теста с уровнем значимости 5% равно 1.96. Если |z| превышает это значение, отклоните H₀.
Вы поняли
- $H_0$ (нет изменений) против $H_1$ (подозреваемое); одно- или двухнаправленный
- тестовая статистика $z = \dfrac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$; отвергнуть $H_0$, если она находится в области отклонения
- Ошибка I = отвержение истинной $H_0$; Ошибка II = принятие ложной $H_0$