Распределение Пуассона
| English | Русский |
|---|---|
| Poisson distribution/ˈpɔɪsn ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | распределение Пуассона |
| interval/ˈɪntəvl/ | интервал |
| mean/miːn/ | среднее значение |
| variance/ˈveərɪəns/ | дисперсией |
| overdispersion/ˌəʊvədɪˈspɜːʃn/ | избыточная дисперсия |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | параметром |
Очередь, которая никогда не заканчивается
- Клиенты приходят в магазин со средней скоростью 3 в минуту. Какова вероятность того, что ровно 5 придут в следующую минуту?
- Распределение Пуассона моделирует редкие события, происходящие со стабильной скоростью — от телефонных звонков до радиоактивного распада.
Распределение Пуассона
- $X \sim \text{Po}(\lambda)$ моделирует число случайных событий за фиксированный интервал при постоянной скорости $\lambda$:
Разобранный пример. Звонки поступают со скоростью $\lambda = 4$ в час. P(ровно 2 звонка) $= e^{-4} \dfrac{4^2}{2!} = 0.0183 \times \dfrac{16}{2} = 0.1465$.
Люди, случайно подходящие к очереди, подчиняются распределению Пуассона
Распределение Пуассона
X ~ Po(λ)
Распределение Пуассона считает случайные события в интервале. Его среднее и дисперсия равны λ.
Для X ~ Po(3) найдите P(X = 2) = e⁻³ × 3²/2!. Дайте ответ с точностью до 3 знаков после запятой.
P(X=2) = e⁻³ × 9/2 = 0.0498 × 4.5 ≈ 0.224.
Для X ~ Po(2), P(X = 0) = e⁻². Найдите это значение (с точностью до 3 знаков после запятой).
P(X=0) = e⁻² × 2⁰/0! = e⁻² = 0.1353 ≈ 0.135.
Соотнесите каждую идею распределения Пуассона с её результатом.
Для распределения Пуассона среднее значение и дисперсия обе равны лямбде.
Свойства распределения Пуассона
- Для случайной величины с распределением Пуассона среднее и дисперсия равны $\lambda$: $E(X) = \text{Var}(X) = \lambda$.
- Это уникальное свойство — ни одно другое распространенное распределение им не обладает.
Для Po(3) среднее и дисперсия равны 3; столбцы показывают P(X = k).
Среднее = дисперсия — это критерий. Если среднее ваших данных приблизительно равно дисперсии, модель Пуассона может быть уместна. Если дисперсия значительно больше среднего, события не являются независимыми (сверхдисперсия), и модель Пуассона неверна.
Для X ~ Po(3), каково математическое ожидание X?
Для пуассоновской случайной величины среднее значение равно λ = 3 (так же как и дисперсия).
Для X ~ Po(3), какова дисперсия X?
Для пуассоновской случайной величины дисперсия также равна λ = 3.
Для распределения Пуассона среднее значение и дисперсия всегда равны.
Это определяющее свойство распределения Пуассона: E(X) = Var(X) = λ.
Приближение Пуассона для биномиального распределения
- Распределение Пуассона приближает биномиальное распределение, когда $n$ велико, а $p$ мало.
- Используйте $\lambda = np$ в качестве параметра Пуассона.
- Пример: $B(200, 0.01) \approx \text{Po}(2)$.
X ~ B(200, 0.01). Аппроксимация распределением Пуассона: λ = np. Найдите λ.
λ = np = 200 × 0.01 = 2.
Разобранный пример — приближение
- $X \sim B(100, 0.02)$. Приближение с помощью распределения Пуассона: $\lambda = np = 100 \times 0.02 = 2$.
- $P(X = 0) \approx e^{-2} \dfrac{2^0}{0!} = e^{-2} = 0.1353$.
- Нормальное распределение приближает биномиальное распределение (с поправкой на непрерывность) при соответствующих условиях.
Вы поняли
- Распределение Пуассона: $P(X = r) = e^{-\lambda}\dfrac{\lambda^r}{r!}$
- среднее и дисперсия равны $\lambda$
- приближает биномиальное при большом $n$ и малом $p$ (используйте $\lambda = np$)