Переменный ток

Переменный ток (a.c.) постоянно меняет направление. Сетевое питание является синусоидальным переменным током: $I$ или $V$ следует синусоиде во времени:

(Для чисто актив нагрузки напряжение и ток совпадают по фазе, что рассматривается в данной программе.)

Ключевые термины

• Период $T$ — время одного полного цикла. Единица измерения: с.
• частота $f$ — число циклов в секунду; $f = 1/T$. Сетевая частота обычно составляет $50\ \text{Hz}$ или $60\ \text{Hz}$.
• угловая частота $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$.
• пиковое значение $I_{0}$ или $V_{0}$ — наибольшее значение за цикл (также называемое амплитудой).
• амплитуда-амплитуда (от пика до пика) $2 I_{0}$ — от $+I_{0}$ до $-I_{0}$. Полезно при снятии показаний с осциллографа.

Определения на два балла. Частота переменного тока — это число полных циклов в единицу времени (можно сказать «в секунду» или «в единицу времени», а также «полные циклы» или «колебания»). Период — это время одного полного цикла, а пиковое значение — это максимальное значение тока или напряжения за цикл. Обратите внимание, что среднее значение синусоидального тока за цикл равно нулю, именно поэтому необходимо использовать действующее значение для его описания.

Чтение уравнения. В $V = V_{0} \sin(\omega t)$ число перед знаком умножения является пиковым значением, а число, умножаемое на $t$, представляет собой $\omega = 2\pi f$; угол $\omega t$ измеряется в радианах, поэтому перед вычислением установите калькулятор в режим радианов. Питание, записанное через $\cos$ вместо $\sin$, представляет ту же волну, начинающуюся с пика, а не с нуля.

Разобранное решение. Выход питания задан как $V = 320 \sin(100\pi t)$ (вольты, секунды). Найдите пиковое значение, частоту, период и действующее значение, а также первое время после $t = 0$, когда $V = 160\ \text{V}$.

Пиковое $V_{0} = 320\ \text{V}$. $\omega = 100\pi\ \text{rad s}^{-1}$, поэтому $f = \omega/2\pi = 50\ \text{Hz}$ и $T = 1/f = 0.020\ \text{s}$. $V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$. Для $V = 160\ \text{V}$: $\sin(100\pi t) = 0.5$, поэтому $100\pi t = \pi/6$ и $t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$. (Для $V = 18\cos(40\pi t)$ те же показания дают $V_{0} = 18\ \text{V}$, $f = 20\ \text{Hz}$, $T = 50\ \text{ms}$, и эскиз, начинающийся с $+18\ \text{V}$.)

Снятие показаний с осциллографа (CRO)

Так же, как и для любой волны (Тема 7), с использованием электронно-лучевого осциллографа:

• количество горизонтальных делений × временная база → период $T$, следовательно $f = 1/T$.
• Вертикальные деления × усиление $y$ → пиковое напряжение $V_{0}$ (измерить от центра до пика или от пика до пика, затем разделить пополам).

Для активной нагрузки $R$ мгновенная мощность равна $P(t) = I(t)^{2} R$. При использовании $I = I_{0}\sin(\omega t)$:

Это значение всегда положительно, имеет пик $I_{0}^{2} R$ и минимум ноль, колеблясь с удвоенной частотой по сравнению со $I$. Среднее значение $\sin^{2}(\omega t)$ за цикл равно $\tfrac{1}{2}$, поэтому средняя мощность равна

Средняя мощность переменного тока в резисторе равна половине пиковой мощности.

"Докажите расчётом, что средняя мощность равна половине пиковой." Питание с пиковым значением $12\ \text{V}$ питает резистор сопротивлением $680\ \Omega$. Пиковая мощность: $P_{0} = V_{0}^{2}/R = 12^{2}/680 = 0.212\ \text{W}$, мгновенная мощность в момент, когда напряжение достигает максимума. Средняя мощность: используйте действующее значение, $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$, следовательно $\langle P \rangle = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 8.49^{2}/680 = 0.106\ \text{W}$, ровно половина. Оба расчёта должны быть показаны отдельно; запись «$\tfrac{1}{2}$ от $0.212$» не даёт баллов, так как это именно то, что требуется доказать. Коэффициент $\tfrac{1}{2}$ равен $(1/\sqrt{2})^{2}$: возведение коэффициента действующего значения в квадрат.

Действующий ток $I_{\text{r.m.s.}}$ — это постоянный прямой ток, который выдавал бы такую же среднюю мощность на той же активной нагрузке $R$. Исходя из $\langle P \rangle = I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$:

Разобранное решение. Переменное питание имеет пиковое напряжение $12\ \text{V}$. Найдите его действующее напряжение.

Обозначение $\sqrt{2}$ происходит от названия корень-средне-квадрат: $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle I^{2} \rangle}$ и $\langle \sin^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}$. (В рамках программы достаточно рассмотреть только синусоидальный случай.)

Определение на два балла. Эффективное значение переменного тока — это значение постоянного (неизменного) тока, которое выделяло бы ту же (среднюю) мощность в том же резисторе. Фраза «с учетом нагревательного эффекта» означает именно это предложение: тот же резистор, та же мощность (или то же нагревание), постоянный ток. Определение, в котором упоминается только «$I_{0}/\sqrt{2}$», не оценивается, поскольку эта формула верна только для синусоидальной волны.

Разбор примера (несинусоидальный). Ток через резистор равен $+2.0\ \text{A}$ в первой половине каждого периода и $-1.0\ \text{A}$ во второй половине — это квадратная волна. Найдите его эффективное значение и среднюю мощность в резисторе $10\ \Omega$.

Возведите ток в квадрат: $4.0\ \text{A}^{2}$ в течение половины времени и $1.0\ \text{A}^{2}$ в другую половину, поэтому средний квадрат равен $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^{2}$, а $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$. Средняя мощность $= I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$. Знак тока не имеет значения для нагрева (он возводится в квадрат), и использование $I_{0}/\sqrt{2}$ дало бы неверный ответ, $1.4\ \text{A}$: этот метод упрощения подходит только для синусоидальных волн.

Почему важны эффективные значения

Приведенные значения переменного тока являются эффективными. «Сеть $230\ \text{V}$» означает $V_{\text{r.m.s.}} = 230\ \text{V}$, с пиковым значением $V_{0} = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$. Компоненты должны быть рассчитаны на пиковое, а не на эффективное значение. Средняя мощность тогда принимает вид постоянного тока:

Разбор примера. Нагреватель сопротивлением $50\ \Omega$ подключен к сети с эффективным напряжением $230\ \text{V}$. Найдите эффективный ток и среднюю рассеиваемую мощность.

Разбор примера. Синусоидальное напряжение с эффективным значением $4.2\ \text{V}$ и частотой $50\ \text{kHz}$ подается на резистор $150\ \Omega$. Найдите пиковый ток, среднюю мощность и запишите уравнение для тока.

$V_{0} = 4.2\sqrt{2} = 5.9\ \text{V}$, следовательно $I_{0} = V_{0}/R = 5.9/150 = 0.040\ \text{A}$ (или сначала $I_{\text{r.m.s.}} = 4.2/150 = 0.028\ \text{A}$, затем $\times\sqrt{2}$). Средняя мощность $= V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 4.2^{2}/150 = 0.12\ \text{W}$. С использованием $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5.0 \times 10^{4} = 3.1 \times 10^{5}\ \text{rad s}^{-1}$: получаем $I = 0.040 \sin(3.1 \times 10^{5} t)$ (амперы, секунды). Не смешивайте две группы величин: пиковые значения используются в уравнении и для номиналов компонентов; эффективные значения используются для расчета мощности.

Выпрямление преобразует переменное напряжение в однонаправленное (похожее на постоянное) напряжение с помощью диодов (которые проводят ток только в одном направлении).

«Объясните, что понимается под выпрямлением». Преобразование переменного тока (или напряжения) в постоянный ток (или напряжение): такой, который течет только в одном направлении, независимо от того, насколько сильно он меняется. Диод проводит ток только при прямом смещении, то есть когда его анод (плоский конец треугольника символа) более положителен, чем катод (полоска); в противном случае он находится в обратном смещении и ведет себя как разомкнутый ключ. Рассматривайте его как идеальный: нулевое сопротивление в одну сторону, бесконечное — в другую.

Полупериодное выпрямление

Один диод последовательно с нагрузкой пропускает только положительную half-period каждого цикла; в отрицательной half-period диод находится в обратном смещении, и ток не течет. Это полупериодное выпрямление.

Выход: положительные полуволны с плоскими промежутками нуля. Среднее выходное значение равно $V_{0}/\pi \approx 0.32 V_{0}$. Недостаток: половина входного сигнала теряется, а выход очень неравномерен.

Завершение схемы. Задание «Дополните схему так, чтобы получить полупериодное выпрямление» требует одного диода в последовательной цепи между источником питания и нагрузкой, причем треугольник должен указывать направление, в котором должен течь выходной ток, и снятие выхода $V_{\text{OUT}}$ осуществляется с нагрузки. Если конденсатор должен сгладить выход, он подключается параллельно нагрузке; конденсатор в последовательной цепи полностью заблокировал бы постоянный ток.

Двухполупериодное выпрямление (мостовая схема)

Мостовая схема использует четыре диода, расположенных таким образом, что ток через нагрузку всегда течет в одном и том же направлении, какой бы терминал переменного тока ни был положительным — это двухполупериодное выпрямление. В каждой half-period проводит другая пара диодов, но нагрузка всегда видит ток одного направления.

Объяснение работы моста (стандартный вопрос на четыре балла). Когда терминал P положительный, ток выходит из P, проходит через диод, направленный от P к верхней части нагрузки, течет вниз через нагрузку и возвращается к Q через диод, направленный к Q; остальные два диода находятся в обратном смещении и не проводят ток. Когда Q положительный, проводит другая пара диодов, но они расположены так, что ток все равно входит в нагрузку сверху: ток в нагрузке течет в том же направлении в обеих half-period. Назовите диоды в каждой half-period и скажите, какой конец нагрузки является положительным.

Сборка мостовой схемы. При сборке выпрямителя с диодами помните правило для каждого диода: условный ток протекает через него в направлении треугольника. Оба диода, подключенных к положительному выходному терминалу, должны быть направлены к нему; оба диода, подключенных к отрицательному выходному терминалу, должны быть направлены от него. Мостовая схема с диодом, включенным неправильно, либо создаст короткое замыкание источника питания на одной полуволне, либо не пропустит ток вообще.

Выход: непрерывная последовательность положительных полуволн (без пауз), при частоте, равной удвоенной входной частоте. Среднее значение выхода составляет $2V_{0}/\pi \approx 0.64 V_{0}$ — вдвое больше значения для однополупериодного выпрямления. Используется весь входной сигнал, форма более гладкая и легче поддается фильтрации.

Построение схем

• однополупериодное: источник переменного тока — один диод — нагрузка $R$, соединены последовательно.
• двухполупериодный мост: четыре диода образуют «ромб»; вход переменного тока подается на одну пару противоположных углов, нагрузка $R$ подключена к другой паре. Направление диодов обеспечивает сохранение полярности на выводах нагрузки независимо от полярности входа.

«Опишите различие между однополупериодным и двухполупериодным выпрямлением». При однополупериодном выпрямлении на выходе появляется только одна половина каждого входного цикла, а другая блокируется (выход равен нулю половину времени); при двухполупериодном выпрямлении появляются обе половины, одна из которых инвертирована, поэтому нет пауз, а выходная частота вдвое превышает входную. Эскиз должен показывать для однополупериодного выпрямления положительные горбы, разделенные плоскими участками нулевого напряжения одинаковой длины; для двухполупериодного — положительные горбы, соединенные на нулевой линии.

Выход выпрямителя все еще пульсирующий. Чтобы сгладить его, подключите конденсатор $C$ параллельно нагрузке $R$.

Как это работает

• на возрастающей части каждого импульса конденсатор заряжается почти до пика.
• на убывающей части (и во время любой паузы) диоды смещены в обратном направлении, поэтому конденсатор разряжается через нагрузку, поддерживая ток. Напряжение падает с постоянной времени $RC$ (Тема 19).
• на следующем пике конденсатор снова заряжается, и цикл повторяется.

Выходное напряжение теперь находится близко к пику с небольшими просадками. Величина этих просадок называется пульсацией (этот процесс называется сглаживанием).

Разобранное решение. Однополупериодный выпрямитель, работающий от источника $50\ \text{Hz}$, имеет конденсатор $470\ \mu\text{F}$, подключенный параллельно его нагрузке $1.2\ \text{k}\Omega$. Оцените относительное падение выходного напряжения между пиками и укажите, как оно изменится при использовании мостовой схемы.

Пики расположены на расстоянии $T = 1/50 = 20\ \text{ms}$ друг от друга (однополупериодное: один пик за цикл). Постоянная времени составляет $RC = (1.2 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 0.56\ \text{s}$. Между пиками конденсатор разряжается до значения $V_{0} e^{-t/RC} = V_{0} e^{-0.020/0.56} = 0.965\,V_{0}$, то есть падает примерно на величину $3.5\%$. При двухполупериодном выпрямлении пики расположены на расстоянии $10\ \text{ms}$ друг от друга, поэтому падение составляет всего $1.8\%$; удвоение емкости сократит его еще вдвое. Поскольку $t \ll RC$, падение приблизительно равно $V_{0}\, t/(RC)$: пульсация пропорциональна интервалу между пиками и обратно пропорциональна как $R$, так и $C$. (Сетевая структура конденсаторов на выходе суммируется по правилам Темы 19 перед тем, как будет использована здесь).

Что снижает пульсацию

• большее $C$ → больше накопленного заряда → меньше провал между пиками → меньше пульсация.
• большая $R$ → меньший ток нагрузки → медленнее разрядка → меньшая пульсация.
• более высокая частота выпрямленного сигнала (двухполупериодное в два раза выше входной) → меньше времени для разрядки между пиками → меньшая пульсация.

Коротко говоря, большое $RC$ по сравнению с интервалом между пиками обеспечивает более гладкий выход.

Нанесение на график сглаженного выхода. Сначала схематично нарисуйте несглаженные полуволны. Сглаженная кривая касается каждого пика, затем плавно снижается (наиболее круто сразу после пика) до следующего полуволнового подъема, где резко меняет направление вверх и следует за полуволной до пика. Она никогда не опускается до нуля и никогда не поднимается выше уровня пика. При однополупериодном выпрямлении спад должен продолжаться через отсутствующую половину периода, поэтому пульсация примерно вдвое больше, чем при двухполупериодном выпрямлении для того же $RC$. Если в задаче изменяются $C$ или $R$, перерисуйте на тех же осях: большее $RC$ лежит ближе к линии пиков; меньшее $RC$ дает более глубокий провал.

Назначение вкратце

Сглаживающий конденсатор уменьшает пульсацию, обеспечивая стабильное постоянное напряжение, подходящее для чувствительной электроники.

Вопросы на определение оцениваются по фиксированной формулировке. Выучите их точно и дайте только один ответ.

• $V = V_{0} \sin\omega t$ с $\omega = 2\pi f$ в радианах в секунду: считывайте $V_{0}$ и $\omega$ непосредственно из уравнения; режим радиан для любых вычислений времени.
• $I_{\text{r.m.s.}} = I_{0}/\sqrt{2}$ и $V_{\text{r.m.s.}} = V_{0}/\sqrt{2}$ справедливы только для синусоидальной волны; в противном случае используются квадратичная, средняя или корневая величина. Указанные значения сети являются действующими (r.m.s.); компоненты рассчитаны на пиковое значение.
• Средняя мощность в резисторе равна $I_{\text{r.m.s.}}^{2}R = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$, что составляет половину пиковой мощности; среднее ток равен нулю, а средняя мощность — нет.
• Один диод последовательно обеспечивает выпрямление полуволны; четырехдиодный мост обеспечивает выпрямление полной волны, при этом ток нагрузки всегда течет в одном направлении, а частота выхода в два раза выше входной.
• Сглаживание: конденсатор подключен параллельно нагрузке; пульсации уменьшаются при большем $C$, большем $R$ (меньший ток нагрузки) и более высокой частоте выпрямления, так как спад между пиками происходит $V_{0}e^{-t/RC}$.
• На эскизах отмечена форма: горбы касаются линии пика, спад никогда не достигает нуля, плоские нулевые промежутки характерны для выпрямления полуволны, отсутствуют для выпрямления полной волны.

Распространенные ошибки

• Использование пикового значения в расчете мощности или действующего значения в качестве амплитуды в $V = V_{0}\sin\omega t$.
• Запись $\omega = f$ или $\omega = 2\pi/f$; это является $2\pi f = 2\pi/T$.
• Определение действующего значения как "пик, деленный на $\sqrt{2}$", или пропуск фраз "такая же мощность" и "тот же резистор".
• Применение $I_{0}/\sqrt{2}$ к прямоугольной или треугольной волне.
• Изображение диода задним ходом, или моста, в котором два диода, соединенных с одним выходным терминалом, направлены в противоположные стороны.
• Размещение сглаживающего конденсатора последовательно с нагрузкой.
• Нарисованный сглаженный сигнал падает до нуля между пиками или поднимается выше пика.
• Утверждение о том, что большее сопротивление нагрузки дает большие пульсации; большее $R$ означает меньший ток, более медленный разряд и меньшие пульсации.
• Утверждение, что выпрямление полной волны дает постоянный ток (d.c.); без конденсатора это серия горбов с большими пульсациями.