Inequalities · Desigualdades
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|---|---|
| inequality/ɪniːˈkwɒlɪti/ | desigualdade |
| intervals/ˈɪntəvlz/ | intervalos |
| number line/ˈnʌmbə laɪn/ | reta numérica |
| region/ˈriːdʒn/ | região |
Speed limits and number ranges
- A road sign says "Speed ≤ 30 mph". That's an inequality 不等式 — a range of allowed values, not a single answer.
- Inequalities describe intervals 区间: a set of values, not one value. Solving them is like solving equations, with one crucial twist.
Limites de velocidade e intervalos numéricos
- Um sinal de trânsito diz "Velocidade ≤ 30 mph". Isso é uma desigualdade — um intervalo de valores permitidos, não uma única resposta.
- Desigualdades descrevem intervalos: um conjunto de valores, não um único valor. Resolvê-las é como resolver equações, com uma diferença crucial.
Solving inequalities (Extended) (Extended)
- Solve exactly like an equation — but reverse the sign ($<$ becomes $>$, and vice versa) if you multiply or divide by a negative number.
Solve $3x + 1 < 10$: subtract 1 → $3x < 9$ → divide by 3 → $x < 3$.
The sign flip. Solve $-2x > 6$: divide by $-2$ and flip → $x < -3$ (not $x > -3$). Forgetting to flip is the most common mistake.
$-\tfrac13 \leqslant x < 3$: a closed circle includes the end value, an open circle excludes it
Resolvendo desigualdades (Estendido) (Estendido)
- Resolva exatamente como uma equação — mas inverta o sinal ($<$ vira $>$, e vice-versa) se você multiplicar ou dividir por um número negativo.
Resolva $3x + 1 < 10$: subtraia 1 → $3x < 9$ → divida por 3 → $x < 3$.
A virada de sinal. Resolva $-2x > 6$: divida por $-2$ e vire → $x < -3$ (não $x > -3$). Esquecer de virar é o erro mais comum.
$-\tfrac13 \leqslant x < 3$: um círculo fechado inclui o valor final, um círculo aberto exclui-o
Inequalities · Desigualdades
y = ax + b
An inequality asks where the line is above or below a value. · Uma desigualdade pergunta onde a linha está acima ou abaixo de um valor.
You must reverse the inequality sign when you: · Você deve inverter o sinal da desigualdade quando você:
Multiplying or dividing by a negative flips < to > (and vice versa). · Multiplicar ou dividir por um negativo inverte < to > (e vice-versa).
Solve 3x + 1 < 10. What is the upper bound for x? · Resolva 3x + 1 < 10. Qual é o limite superior para x?
3x < 9 → x < 3. The upper bound is 3 (not included). · 3x < 9 → x < 3. O limite superior é 3 (não incluído).
Solving −2x > 6 gives x > −3. · Resolver −2x > 6 resulta em x > −3.
Dividing by −2 and flipping gives x < −3, not x > −3. · Dividindo por −2 e invertendo dá x < −3, not x > −3.
Solving double inequalities (Extended)
- $-3 \leq 3x - 2 < 7$: apply the same operation to all three parts.
- Add 2: $-1 \leq 3x < 9$. Divide by 3: $-\dfrac{1}{3} \leq x < 3$.
Resolvendo desigualdades duplas (Estendido)
- $-3 \leq 3x - 2 < 7$: aplique a mesma operação para todas as três partes.
- Some 2: $-1 \leq 3x < 9$. Divida por 3: $-\dfrac{1}{3} \leq x < 3$.
Solve −3 ≤ 3x − 2 < 7. The solution is −1/3 ≤ x < ? What is the upper bound? · Resolva −3 ≤ 3x − 2 < 7. A solução é −1/3 ≤ x < ? Qual é o limite superior?
Add 2: −1 ≤ 3x < 9; divide by 3: −1/3 ≤ x < 3. · Some 2: −1 ≤ 3x < 9; divida por 3: −1/3 ≤ x < 3.
On a number line 数轴
- Open circle (○) for $<$ or $>$ — the end value is not included.
- Closed circle (●) for $\leq$ or $\geq$ — the end value is included.
Closed circle at $-\frac{1}{3}$ (included), open circle at $3$ (excluded). The shaded region 区域 is the solution.
Em uma reta numérica
- Círculo aberto (○) para $<$ ou $>$ — o valor final não está incluído.
- Círculo fechado (●) para $\leq$ ou $\geq$ — o valor final está incluído.
Círculo fechado em $-\frac{1}{3}$ (incluído), círculo aberto em $3$ (excluído). A região sombreada é a solução.
On a number line, the symbol ≤ is drawn with a: · Em uma reta numérica, o símbolo ≤ é desenhado com um:
≤ and ≥ include the end value, shown by a closed circle; < and > use an open circle. · ≤ e ≥ incluem o valor final, mostrado por um círculo fechado; < and > usam um círculo aberto.
Match each inequality symbol to its number-line drawing. · Associe cada símbolo de desigualdade ao seu desenho na reta numérica.
< and > use open circles (end value excluded); ≤ and ≥ use closed circles (included). · < and > usam círculos abertos (valor final excluído); ≤ e ≥ usam círculos fechados (incluído).
Inequality regions (Extended)
- An inequality in two variables ($y > 2x + 1$) shades a region on the coordinate plane.
- Broken (dashed) boundary line for strict inequalities ($<$ or $>$).
- Solid boundary line for $\leq$ or $\geq$.
Regiões de desigualdades (Estendido)
- Uma desigualdade com duas variáveis ($y > 2x + 1$) sombreia uma região no plano cartesiano.
- Linha de fronteira quebrada (tracejada) para desigualdades estritas ($<$ ou $>$).
- Linha de fronteira sólida para $\leq$ ou $\geq$.
Core: interpret before solving
- For $-3\le x<2$, mark a filled circle at $-3$, an open circle at 2 and shade between. The integer values are $-3,-2,-1,0,1$.
- A parcel rule $2\le m<5$ kg includes 2 kg but excludes 5 kg. Core questions ask you to interpret and represent such ranges; solving algebraic inequalities belongs to Extended.
Essencial: interprete antes de resolver
- Para $-3\le x<2$, marque um círculo cheio em $-3$, um círculo aberto em 2 e sombreie entre eles. Os valores inteiros são $-3,-2,-1,0,1$.
- Uma regra de pacote $2\le m<5$ kg inclui 2 kg, mas exclui 5 kg. Perguntas essenciais pedem para interpretar e representar esses intervalos; resolver desigualdades algébricas pertence ao Estendido.
How many integers satisfy −3 ≤ x < 2? · Quantos inteiros satisfazem −3 ≤ x < 2?
The integers are −3, −2, −1, 0 and 1. · Os inteiros são −3, −2, −1, 0 e 1.
You've got it
- solve like an equation, but flip the sign when multiplying/dividing by a negative
- $-3 \leq 3x - 2 < 7 \Rightarrow -\dfrac{1}{3} \leq x < 3$
- number line: open circle excludes, closed circle includes the end
- 2-variable inequalities shade a region (dashed boundary for strict, solid otherwise)
Entendeu?
- resolva como uma equação, mas inverte o sinal ao multiplicar/dividir por um negativo
- $-3 \leq 3x - 2 < 7 \Rightarrow -\dfrac{1}{3} \leq x < 3$
- reta numérica: círculo aberto exclui, círculo fechado inclui o extremo
- desigualdades com 2 variáveis sombreiam uma região (fronteira tracejada para estrita, sólida caso contrário)