Comparison Tests for Convergence · Testes de Comparação para Convergência
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| comparison tests/kəmˈpærɪsn tests/ | testes de comparação |
Judging a series by a known neighbor
- If a mystery series looks like a series you already understand, compare them.
- The comparison tests 比较判别法 measure an unknown positive series against a known one (usually a p-series or geometric series).
- Bigger than something that diverges → diverges. Smaller than something that converges → converges.
- Two flavors: a direct comparison and a limit comparison.
Julgando uma série por um vizinho conhecido
- Se uma série misteriosa parece com uma série que você já entende, compare-as.
- Os testes de comparação 比较判别法 medem uma série positiva desconhecida contra uma conhecida (geralmente uma série p ou geométrica).
- Maior que algo que diverge → diverge. Menor que algo que converge → converge.
- Dois sabores: comparação direta e comparação por limite.
Direct Comparison Test
- For positive terms with $0\le a_n\le b_n$:
- If $\sum b_n$ converges, then the smaller $\sum a_n$ converges too.
- If $\sum a_n$ diverges, then the bigger $\sum b_n$ diverges too.
- Squeeze from the right side: bounded above by a convergent series, or below by a divergent one.
Teste da Comparação Direta
- Para termos positivos com $0\le a_n\le b_n$:
- Se $\sum b_n$ converge, então a menor $\sum a_n$ converge também.
- Se $\sum a_n$ diverge, então a maior $\sum b_n$ diverge também.
- Comprimindo pelo lado direito: limitado acima por uma série convergente, ou abaixo por uma divergente.
Compare to a known series · Comparar com uma série conhecida
A positive series bounded by a known convergent (or divergent) series shares its fate — pick the dominant comparison. · Uma série positiva limitada por uma série conhecida convergente (ou divergente) compartilha seu destino — escolha a comparação dominante.
If $0\le a_n\le b_n$ and · e $\sum b_n$ converges, then $\sum a_n$... · Se $0\le a_n\le b_n$ e $\sum b_n$ converge, então $\sum a_n$...
Smaller than a convergent series → converges. · Menor que uma série convergente → converge.
The comparison tests require positive terms. · Os testes de comparação exigem termos positivos.
They compare magnitudes of positive series. · Eles comparam magnitudes de séries positivas.
Limit Comparison Test
- Sometimes inequalities are awkward; instead compare growth rates.
- Take $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. If $L$ is a finite positive number ($0
- Pick $b_n$ from the dominant terms of $a_n$ (e.g. compare $\tfrac{n}{n^3+1}$ with $\tfrac1{n^2}$).
- The limit being positive and finite means they behave alike.
Teste da Comparação por Limite
- Às vezes desigualdades são incômodas; em vez disso, compare taxas de crescimento.
- Pegue $\displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{a_n}{b_n}$. Se $L$ for um número finito positivo ($0
- Escolha $b_n$ dos termos dominantes de $a_n$ (ex.: compare $\tfrac{n}{n^3+1}$ com $\tfrac1{n^2}$).
- O limite sendo positivo e finito significa que elas se comportam de forma semelhante.
In the Limit Comparison Test, if $\lim\tfrac{a_n}{b_n}=L$ with $0
A finite positive limit → same convergence behavior. · Um limite positivo finito → mesmo comportamento de convergência.
For the Limit Comparison Test to conclude, the limit $L$ must be finite and ____. · Para que o Teste de Comparação no Limite conclua, o limite $L$ deve ser finito e ____.
$0
Choosing the comparison series
- Look at the dominant behavior of $a_n$ for large $n$ — the highest powers on top and bottom.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ behaves like $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compare with the p-series $\tfrac1{n^2}$.
- Then either bound it directly or take the limit ratio.
- The right comparison series turns a scary series into a known one.
Escolhendo a série de comparação
- Olhe para o comportamento dominante de $a_n$ para grandes $n$ — as maiores potências no topo e na base.
- $\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$ comporta-se como $\dfrac{3n^2}{n^4}=\dfrac{3}{n^2}$ — compare com a série p $\tfrac1{n^2}$.
- Então limite-o diretamente ou pegue a razão do limite.
- A série de comparação certa transforma uma série assustadora em uma conhecida.
To test $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, a good comparison series is... · Para testar $\sum\dfrac{3n^2+1}{n^4+5}$, uma boa série de comparação é...
Dominant behavior $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → compare with $\tfrac1{n^2}$. · Comportamento dominante $\tfrac{3n^2}{n^4}=\tfrac{3}{n^2}$ → compare com $\tfrac1{n^2}$.
Since $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ and · e $\sum\tfrac1{n^2}$ converges, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$... · Como $\tfrac{1}{n^2+1}<\tfrac1{n^2}$ e $\sum\tfrac1{n^2}$ converge, $\sum\tfrac{1}{n^2+1}$...
Bounded above by a convergent series → converges. · Limitada acima por uma série convergente → converge.
Comparison tests need positive terms. For Direct Comparison, the inequality must point the right way: to prove convergence, bound above by a convergent series; to prove divergence, bound below by a divergent one. For Limit Comparison, the limit $L$ must be finite and positive ($0
Os testes de comparação precisam de termos positivos. Para a Comparação Direta, a desigualdade deve apontar no sentido certo: para provar convergência, limite acima por uma série convergente; para provar divergência, limite abaixo por uma divergente. Para a Comparação por Limite, o limite $L$ deve ser finito e positivo ($0
Does $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge?
- For large $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ behaves like $\dfrac{1}{n^2}$ (a convergent p-series).
- Direct: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, and $\sum\tfrac1{n^2}$ converges → so does the smaller series.
- Therefore $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converges.
A série $\displaystyle\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge?
- Para grandes $n$, $\dfrac{1}{n^2+1}$ comporta-se como $\dfrac{1}{n^2}$ (uma série p convergente).
- Direto: $\dfrac{1}{n^2+1}<\dfrac{1}{n^2}$, e $\sum\tfrac1{n^2}$ converge → então a série menor também converge.
- Portanto $\sum\dfrac{1}{n^2+1}$ converge.
The comparison tests judge a positive series against a known one. Direct: bound above by a convergent series (→ converges) or below by a divergent one (→ diverges). Limit: if $\lim\frac{a_n}{b_n}$ is finite and positive, both share the same fate. Choose $b_n$ from $a_n$'s dominant terms.
Os testes de comparação julgam uma série positiva contra uma conhecida. Direto: limite acima por uma série convergente (→ converge) ou abaixo por uma divergente (→ diverge). Limite: se $\lim\frac{a_n}{b_n}$ é finito e positivo, ambas compartilham o mesmo destino. Escolha $b_n$ dos termos dominantes de $a_n$.