Introduction to Related Rates · Introdução a Taxas Relacionadas
| English | Português |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | taxas relacionadas |
| time/taɪm/ | tempo |
When one rate drives another
- Blow up a balloon: its radius grows, and because of that, its volume grows too.
- The two rates are linked — knowing how fast the radius changes tells you how fast the volume changes.
- Problems like this are related rates 相关变化率: several quantities changing together in time.
- The engine that links them is the chain rule, applied with respect to time 时间.
Quando uma taxa direciona outra
- Encha um balão: seu raio cresce, e por causa disso, seu volume também cresce.
- As duas taxas estão ligadas — saber quão rápido o raio muda diz quão rápido o volume muda.
- Problemas como estes são taxas relacionadas 相关变化率: várias quantidades mudando juntas no tempo.
- O motor que as liga é a regra da cadeia, aplicada com respeito ao tempo 时间.
A related-rates problem links the rates of quantities that change with respect to... · Um problema de taxas relacionadas conecta as taxas de quantidades que mudam em relação a...
The variables are functions of time, linked via the chain rule. · As variáveis são funções do tempo, ligadas pela regra da cadeia.
Start with an equation relating the variables
- First, find an equation that ties the quantities together — usually geometry or a formula.
- Balloon: $V=\tfrac43\pi r^3$ links volume and radius.
- Ladder sliding down a wall: $x^2+y^2=L^2$ (Pythagoras) links the two distances.
- This relating equation is true at every instant, so we can differentiate it in time.
Comece com uma equação relacionando as variáveis
- Primeiro, encontre uma equação que una as quantidades — geralmente geometria ou uma fórmula.
- Balão: $V=\tfrac43\pi r^3$ conecta volume e raio.
- Escada deslizando por uma parede: $x^2+y^2=L^2$ (Pitágoras) conecta as duas distâncias.
- Essa equação de relação é verdadeira em todo instante, então podemos diferenciá-la em relação ao tempo.
Volume grows with radius · O volume cresce com o raio
y = a·x³ (V vs r)
$V=\tfrac43\pi r^3$ climbs steeply — a small radius rate makes a large volume rate when $r$ is big. · $V=\tfrac43\pi r^3$ sobe acentuadamente — uma pequena taxa de raio gera uma grande taxa de volume quando $r$ é grande.
The first step is to write an ____ that relates the changing variables. · O primeiro passo é escrever uma ____ que relacione as variáveis em mudança.
Usually a geometric or physical relationship. · Geralmente uma relação geométrica ou física.
A ladder of length $L$ leans on a wall. Which equation relates the base distance $x$ and height $y$? · Uma escada de comprimento $L$ apoia-se em uma parede. Qual equação relaciona a distância da base $x$ e a altura $y$?
Pythagoras: the wall and floor form a right angle, so $x^2+y^2=L^2$. · Pitágoras: a parede e o chão formam um ângulo reto, então $x^2+y^2=L^2$.
Differentiate with respect to time
- Every variable secretly depends on $t$, so differentiating brings in a rate for each — via the chain rule.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ gives $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Each term contributes a "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" factor — exactly like implicit differentiation, but the hidden variable is $t$.
- Now the equation links the rates $\tfrac{dV}{dt}$ and $\tfrac{dr}{dt}$.
Diferencie com respeito ao tempo
- Cada variável secretamente depende de $t$, então diferenciar traz uma taxa para cada uma — via regra da cadeia.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$ resulta em $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Cada termo contribui com um fator "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" — exatamente como diferenciação implícita, mas a variável oculta é $t$.
- Agora a equação liga as taxas $\tfrac{dV}{dt}$ e $\tfrac{dr}{dt}$.
Differentiating $V=\tfrac43\pi r^3$ with respect to $t$ gives $\dfrac{dV}{dt}=$ · Diferenciar $V=\tfrac43\pi r^3$ em relação a $t$ resulta em $\dfrac{dV}{dt}=$
Chain rule in time: $4\pi r^2$ times $\tfrac{dr}{dt}$. · Regra da cadeia no tempo: $4\pi r^2$ vezes $\tfrac{dr}{dt}$.
Sort the givens from the unknown
- Read the problem and label: which rates are given, and which single rate is wanted?
- "The radius grows at $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ is given.
- "How fast is the volume growing?" → $\tfrac{dV}{dt}$ is the unknown.
- Also note any fixed quantities (like the radius at the instant asked about).
Separe o dado do desconhecido
- Leia o problema e rotule: quais taxas são dadas e qual taxa única é desejada?
- "O raio cresce a $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$" → $\tfrac{dr}{dt}=2$ está dado.
- "A que velocidade o volume está crescendo?" → $\tfrac{dV}{dt}$ é o desconhecido.
- Observe também quantidades fixas (como o raio no instante solicitado).
Differentiating $r^3$ with respect to time gives just $3r^2$. · Diferenciar $r^3$ em relação ao tempo resulta apenas em $3r^2$.
It gives $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — the rate factor is required. · Ele resulta em $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — o fator de taxa é necessário.
"The radius grows at $2$ cm/s; how fast is the volume growing?" Select all · todos correct labels. · "O raio cresce a $2$ cm/s; com que velocidade o volume está crescendo?" Selecione todas os rótulos corretos.
The radius rate is given, the volume rate is wanted, and $V=\tfrac43\pi r^3$ relates them. · A taxa do raio é dada, a taxa do volume é desejada, e $V=\tfrac43\pi r^3$ as relaciona.
Related-rates variables are functions of time, so differentiating $r^3$ gives $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — never just $3r^2$. Forgetting the $\tfrac{dr}{dt}$ (the chain-rule rate factor) is the defining error. Every changing quantity contributes its own $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
As variáveis de taxas relacionadas são funções do tempo, então derivar $r^3$ resulta em $3r^2\tfrac{dr}{dt}$ — nunca apenas $3r^2$. Esquecer o $\tfrac{dr}{dt}$ (o fator de taxa da regra da cadeia) é o erro definidor. Cada quantidade que muda contribui com seu próprio $\tfrac{d(\ )}{dt}$.
A balloon's volume is $V=\tfrac43\pi r^3$. Set up the related-rates equation.
- Differentiate with respect to $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- This links the growth rate of volume to the growth rate of radius.
- Given $\tfrac{dr}{dt}$ and the current $r$, we could now solve for $\tfrac{dV}{dt}$ (next lesson).
O volume de um balão é $V=\tfrac43\pi r^3$. Monte a equação de taxas relacionadas.
- Derive em relação a $t$: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- Isso conecta a taxa de crescimento do volume à taxa de crescimento do raio.
- Dado $\tfrac{dr}{dt}$ e o $r$ atual, poderíamos agora resolver para $\tfrac{dV}{dt}$ (aula seguinte).
A related rates problem links the rates of two or more quantities changing in time. Write an equation relating the variables (often geometry), differentiate it with respect to $t$ using the chain rule (each variable gets a $\tfrac{d(\ )}{dt}$), and identify which rates are given and which is wanted.
Um problema de taxas relacionadas liga as taxas de duas ou mais quantidades que mudam no tempo. Escreva uma equação relacionando as variáveis (geralmente geometria), derive-a em relação a $t$ usando a regra da cadeia (cada variável recebe um $\tfrac{d(\ )}{dt}$) e identifique quais taxas são dadas e qual é desejada.