Derivatives of cos x, sin x, eˣ, and ln x · Derivadas de cos x, sin x, eˣ e ln x
| English | Português |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | exponencial |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | logarítmica |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | derivadas elementares |
Four derivatives worth memorizing
- The Power Rule stops at powers of $x$. Beyond it lie the elementary functions.
- Four of them appear constantly, so their derivatives are worth knowing cold.
- They are $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, and $\ln x$.
- Learn these four and, with the earlier rules, you can differentiate a huge range of expressions.
Quatro derivadas para memorizar
- A Regra da Potência para com potências de $x$. Além dela estão as funções elementares.
- Quatro delas aparecem constantemente, então suas derivadas valem saber de cor.
- Elas são $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ e $\ln x$.
- Aprenda essas quatro e, com as regras anteriores, você pode diferenciar uma grande gama de expressões.
The trig pair
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — note the minus sign.
- A handy check: the slope of $\sin x$ at $0$ is $1$ (steepest rise), and $\cos 0=1$. ✓
- (These require $x$ in radians — the clean formulas only hold there.)
O par trigonométrico
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — note o sinal de menos.
- Uma verificação útil: a inclinação de $\sin x$ em $0$ é $1$ (maior elevação), e $\cos 0=1$. ✓
- (Estas exigem $x$ em radianos — as fórmulas limpas só valem lá.)
The slope of sine is cosine · A inclinação do seno é o cosseno
Where · Onde $\sin x$ is steepest (at $0$) its slope is $1$ — exactly $\cos 0$. The derivative of $\sin$ is $\cos$. · Onde $\sin x$ é mais íngreme (em $0$), sua inclinação é $1$ — exatamente $\cos 0$. A derivada de $\sin$ é $\cos$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$? · O que é $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$?
$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (mind the sign). · $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (atenção ao sinal).
The derivative of cosine is $-\sin x$. · A derivada do cosseno é $-\sin x$.
The exponential and the logarithm
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — the exponential 指数 function is its own derivative. Its slope always equals its height.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — the logarithmic 对数 derivative, valid for $x>0$.
- $e^x$ is the unique function that never changes under differentiation.
- $\ln x$ turns into the simple reciprocal $\tfrac1x$ — a surprisingly tidy result.
A exponencial e o logaritmo
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — a função exponencial 指数 é sua própria derivada. Sua inclinação sempre iguala sua altura.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — a derivada logarítmica 对数, válida para $x>0$.
- $e^x$ é a única função que nunca muda sob diferenciação.
- $\ln x$ transforma-se no simples recíproco $\tfrac1x$ — um resultado surpreendentemente limpo.
$e^x$ is its own derivative. · $e^x$ é sua própria derivada.
$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — unique among functions. · $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — único entre as funções.
What is $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (for $x>0$)? · Qual é $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (para $x>0$)?
$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
Mix them with the combining rules
- These elementary derivatives 基本导数 slot straight into the sum, difference, and constant-multiple rules.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Differentiate each term with its own rule, then combine — nothing new to learn beyond the four facts.
Misture com as regras de combinação
- Estas derivadas elementares 基本导数 encaixam diretamente nas regras de soma, diferença e multiplicação por constante.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- Diferencie cada termo com sua própria regra, depois combine — nada novo a aprender além dos quatro fatos.
Differentiate $3\sin x-2e^x$. · Diferencie $3\sin x-2e^x$.
$3\cos x$ and · e $e^x$ stays $e^x$: $3\cos x-2e^x$. · $3\cos x$ e $e^x$ permanece $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
Select all · todos correct elementary derivatives. · Selecione todos as derivadas elementares corretas.
The last is wrong — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, not $x$. · A última está errada — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, não $x$.
Mind the signs and the domain. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (the minus is the top mistake). $e^x$ is its own derivative — do not apply the Power Rule to it. And $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ holds only for $x>0$, the domain of $\ln$.
Cuidado com os sinais e o domínio. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (o menos é o erro principal). $e^x$ é sua própria derivada — não aplique a Regra da Potência nela. E $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$ vale apenas para $x>0$, o domínio de $\ln$.
Differentiate $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Diferencie $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
Memorize four elementary derivatives: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. They combine with the sum/difference/constant-multiple rules to differentiate mixed expressions. Watch the minus on $\cos$, keep $x$ in radians, and remember $e^x$ is its own derivative.
Memorize quatro derivadas elementares: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. Elas combinam com as regras de soma/diferença/multiplicação por constante para diferenciar expressões mistas. Cuidado com o menos em $\cos$, mantenha $x$ em radianos e lembre-se que $e^x$ é sua própria derivada.