Defining the Derivative of a Function and Using Derivative Notation · Definindo a Derivada de uma Função e Usando Notação de Derivada
| English | Português |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | derivada |
The derivative: instantaneous rate, packaged
- The instantaneous rate of change is so useful it gets its own name: the derivative 导数.
- It turns "slope of the tangent at each $x$" into a brand-new function, $f'(x)$.
- Feed it an $x$, and it returns the slope of $f$ right there.
- This lesson makes the definition precise and shows the notations you'll use everywhere.
A derivada: taxa instantânea, embalada
- A taxa instantânea de variação é tão útil que recebe seu próprio nome: a derivada 导数.
- Ela transforma "inclinação da tangente em cada $x$" em uma nova função, $f'(x)$.
- alimente-a com um $x$, e ela devolve a inclinação de $f$ naquele ponto exato.
- Esta lição torna a definição precisa e mostra as notações que você usará em toda parte.
The derivative is the tangent slope · A derivada é a inclinação da tangente
y = x²
Drag the point along the curve — the number the tangent slope shows is exactly $f'(x)$ at that input. · Arraste o ponto ao longo da curva — o número que a inclinação da tangente mostra é exatamente $f'(x)$ naquela entrada.
The limit definition
- The derivative of $f$ is
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Inside is a difference quotient — the secant slope over an interval of width $h$.
- Taking $h\to0$ shrinks the interval to nothing, turning the secant slope into the tangent slope.
A definição de limite
- A derivada de $f$ é
-
$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$
- Dentro está um quociente de diferença — a inclinação da secante sobre um intervalo de largura $h$.
- Fazer $h\to0$ tender a reduz o intervalo a nada, transformando a inclinação da secante na inclinação da tangente.
Which expression is the limit definition of $f'(x)$? · Qual expressão é a definição de limite de $f'(x)$?
The derivative is the limit of the difference quotient as $h\to0$. · A derivada é o limite do quociente de diferenças conforme $h\to0$.
The "at a point" version
- To find the slope at one specific input $a$, use the alternate form:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Here $x$ slides toward $a$ instead of a step $h$ shrinking to $0$ — same idea, different bookkeeping.
- Both definitions are just "secant slope, in the limit," so they always agree.
A versão "em um ponto"
- Para encontrar a inclinação em uma entrada específica $a$, use a forma alternada:
-
$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$
- Aqui $x$ se aproxima de $a$ em vez de um passo $h$ tendendo a $0$ — mesma ideia, contabilidade diferente.
- Ambas as definições são apenas "inclinação da secante, no limite", então elas sempre concordam.
You can compute $f'(x)$ by setting $h=0$ directly in $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$. · Você pode calcular $f'(x)$ definindo $h=0$ diretamente em $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
That gives $\tfrac00$; you must take the limit after simplifying. · Isso dá $\tfrac00$; você deve tomar o limite após simplificar.
The alternate form $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ is best described as... · A forma alternativa $f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ é melhor descrita como...
It is the same tangent slope at $a$, expressed with $x\to a$ instead of $h\to0$. · É a mesma inclinação da tangente em $a$, expressa com $x\to a$ em vez de $h\to0$.
Reading the notations
- The same derivative wears several outfits — learn to recognize all of them:
- Lagrange: $f'(x)$ (read "$f$ prime of $x$").
- Leibniz: $\dfrac{dy}{dx}$ or $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — emphasizes "rate of $y$ with respect to $x$."
- All mean the instantaneous rate of change, i.e. the slope of the tangent line at $x$.
Lendo as notações
- A mesma derivada usa vários trajes — aprenda a reconhecer todos eles:
- Lagrange: $f'(x)$ (leia "$f$ prime de $x$").
- Leibniz: $\dfrac{dy}{dx}$ ou $\dfrac{d}{dx}[f(x)]$ — enfatiza "taxa de $y$ com respeito a $x$."
- Todos significam a taxa instantânea de variação, isto é, a inclinação da reta tangente em $x$.
The Leibniz notation $\dfrac{dy}{dx}$ means the same thing as $f'(x)$: the ____ of the tangent line. · A notação de Leibniz $\dfrac{dy}{dx}$ significa a mesma coisa que $f'(x)$: a ____ da linha tangente.
Both denote the instantaneous rate of change = tangent slope. · Ambas denotam a taxa instantânea de variação = inclinação da tangente.
Select all · todos notations that denote the derivative of $y=f(x)$. · Selecione todas as notações que denotam a derivada de $y=f(x)$.
The first three are all the derivative; $f(x)^{-1}$ is a reciprocal/inverse, not a derivative. · Os três primeiros são todos a derivada; $f(x)^{-1}$ é um recíproco/inverso, não uma derivada.
You cannot just plug $h=0$ into $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — that gives $\tfrac00$. The derivative is the limit as $h\to0$, which you evaluate by simplifying the difference quotient first (cancel the $h$), then letting $h\to0$. Skipping the limit is the classic mistake.
Você não pode apenas substituir $h=0$ em $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ — isso resulta em $\tfrac00$. A derivada é o limite quando $h\to0$, que você avalia simplificando primeiro o quociente de diferenças (cancelando o $h$), e depois fazendo $h\to0$. Pular o limite é o erro clássico.
From the definition, $f(x)=x^2$ gives $f'(x)=2x$. Evaluate $f'(3)$. · Da definição, $f(x)=x^2$ dá $f'(x)=2x$. Avalie $f'(3)$.
$f'(3)=2\cdot3=6$.
Use the definition to find $f'(x)$ for $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (for $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, so $f'(x)=2x$.
Use a definição para encontrar $f'(x)$ para $f(x)=x^2$.
- $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}$.
- $=\dfrac{2xh+h^2}{h}=2x+h$ (para $h\neq0$).
- $\displaystyle\lim_{h\to0}(2x+h)=2x$, logo $f'(x)=2x$.
The derivative $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (or the point form $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) is the limit of a difference quotient — the slope of the tangent line, i.e. the instantaneous rate of change. Write it as $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$, or $\frac{d}{dx}[f(x)]$.
A derivada $f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ (ou a forma pontual $f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$) é o limite de um quociente de diferenças — a inclinação da reta tangente, ou seja, a taxa instantânea de variação. Escreva como $f'(x)$, $\frac{dy}{dx}$ ou $\frac{d}{dx}[f(x)]$.