Defining Limits and Using Limit Notation · Definindo Limites e Usando Notação de Limite
| English | Português |
|---|---|
| limit/ˈlɪmɪt/ | limite |
| approaches/əˈprəʊtʃɪz/ | aproximações |
| one-sided limit/wʌn ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | limite unilateral |
| left-hand/left hænd/ | à esquerda |
| right-hand/raɪt hænd/ | à direita |
| two-sided limit/tuː ˈsaɪdɪd ˈlɪmɪt/ | limite bilateral |
Where is the graph heading?
- Forget the single point for a moment — ask where the curve is heading as you slide $x$ toward a value.
- Follow $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ as $x$ gets close to $1$. Plug in $x=1$ and you get $\tfrac{0}{0}$ — undefined.
- Yet the outputs march steadily toward $2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- The function has a hole at $x=1$, but it is clearly aiming at $2$. That target value is the limit 极限.
Para onde o gráfico está indo?
- Esqueça o ponto único por um momento — pergunte para onde a curva está indo à medida que deslizamos $x$ em direção a um valor.
- Siga $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ à medida que $x$ se aproxima de $1$. Insira $x=1$ e obtém-se $\tfrac{0}{0}$ — indefinido.
- Yet as saídas avançam constantemente em direção a $2$: $f(0.9)=1.9$, $f(0.99)=1.99$, $f(1.01)=2.01$.
- A função tem um buraco em $x=1$, mas claramente está mirando em $2$. Esse valor alvo é o limite 极限.
Watch where the curve heads · Observe para onde a curva se dirige
y = ax² + bx + c
Drag the coefficients and pick an input $c$ in your mind — the limit is the height the curve approaches near $c$, not the point itself. · Arraste os coeficientes e imagine uma entrada $c$ — o limite é a altura que a curva aproxima-se perto de $c$, não o próprio ponto.
Writing it down: limit notation
- We write $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ and read it "the limit of $f$ of $x$, as $x$ approaches 趋近 $c$, equals $L$."
- $c$ is the input we creep toward; $L$ is the output the function heads for.
- Crucially, $x \to c$ means "gets close to $c$" — never "equals $c$." We stay off the point itself.
- For our example: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, even though $f(1)$ does not exist.
Escrevendo-o: notação de limite
- Escrevemos $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x) = L$ e lemos "o limite de $f$ de $x$, quando $x$ se aproxima 趋近 de $c$, é igual a $L$.""
- $c$ é a entrada que nos aproximamos; $L$ é a saída para a qual a função tende.
- Crucialmente, $x \to c$ significa "ficar perto de $c$" — nunca "igual a $c$." Permanecemos fora do próprio ponto.
- Para nosso exemplo: $\displaystyle\lim_{x \to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$, mesmo que $f(1)$ não exista.
The notation $\lim_{x \to c} f(x) = L$ means that as $x$... · A notação $\lim_{x \to c} f(x) = L$ significa que, à medida que $x$...
$x \to c$ means $x$ approaches $c$ without touching it, and $f(x)$ heads toward $L$. · $x \to c$ significa que $x$ aproxima-se de $c$ sem tocá-la, e $f(x)$ tende para $L$.
Evaluate · Avaliar $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$. · Avalie $\displaystyle\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$.
Factor: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ for $x\neq3$, which heads to $3+3=6$. · Fatorizar: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ para $x\neq3$, que tende para $3+3=6$.
Coming from the left and the right
- You can approach $c$ from two directions, and each has its own one-sided limit 单侧极限.
- From below ($x$ slightly less than $c$): the left-hand 左侧 limit, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- From above ($x$ slightly more than $c$): the right-hand 右侧 limit, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- The small $-$ and $+$ signs sit up high on $c$ to show the direction of travel.
Vindo da esquerda e da direita
- Você pode se aproximar de $c$ por duas direções, e cada uma tem seu próprio limite lateral 单侧极限.
- De baixo ($x$ ligeiramente menor que $c$): o limite lateral esquerdo 左侧, $\displaystyle\lim_{x \to c^-} f(x)$.
- De cima ($x$ ligeiramente maior que $c$): o limite lateral direito 右侧, $\displaystyle\lim_{x \to c^+} f(x)$.
- Os pequenos sinais $-$ e $+$ ficam altos em $c$ para mostrar a direção da viagem.
Which expression is the right-hand limit of $f$ at $c$? · Qual expressão é o limite lateral direito de $f$ em $c$?
The · A $+$ superscript on $c$ means $x$ approaches from above — the right-hand side. · O sobreescrito $+$ em $c$ significa que $x$ se aproxima de cima — o lado direito.
The two sides must agree
- The ordinary two-sided limit 双侧极限 $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ exists only when both one-sided limits exist and are equal.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- If the left side heads for one value and the right side for another, the two-sided limit does not exist (DNE).
Os dois lados devem concordar
- O limite bilateral 双侧limite ordinário $\displaystyle\lim_{x \to c} f(x)$ existe apenas quando ambos os limites laterais existem e são iguais.
-
$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L \iff \lim_{x \to c} f(x) = L$$
- Se o lado esquerdo tende a um valor e o direito a outro, o limite bilateral não existe (DNE).
A two-sided limit at $c$ exists only when the left-hand and right-hand limits are both present and ____. · Um limite bilateral em $c$ existe apenas quando os limites laterais esquerdo e direito estão ambos presentes e ____.
The two one-sided limits must agree on a single value $L$. · Os dois limites laterais devem concordar num único valor $L$.
Select all · todos situations in which $\lim_{x\to c} f(x)$ does · faz not · não exist. · Selecione todas as situações em que $\lim_{x\to c} f(x)$ não existe.
A limit fails when the sides disagree, the value is unbounded, or it oscillates. A mismatch with $f(c)$ alone does not · não kill the limit — it only breaks continuity. · Um limite falha quando os lados discordam, o valor é ilimitado ou oscila. Um desacordo com $f(c)$ sozinho não anula o limite — apenas interrompe a continuidade.
The limit is about the journey, not the destination point. $\lim_{x \to c} f(x)$ can exist even when $f(c)$ is undefined, and it can differ from $f(c)$ when the point is plotted somewhere off the curve. Never assume $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — that is a special case (continuity), not a rule.
O limite trata da viagem, não do ponto de destino. $\lim_{x \to c} f(x)$ pode existir mesmo quando $f(c)$ é indefinido, e pode diferir de $f(c)$ quando o ponto é plotado em algum lugar fora da curva. Nunca assuma $\lim_{x\to c} f(x)=f(c)$ — esse é um caso especial (continuidade), não uma regra.
If $f(c)$ is undefined, then $\lim_{x \to c} f(x)$ cannot exist. · Se $f(c)$ for indefinido, então $\lim_{x \to c} f(x)$ não pode existir.
The limit is about the approach, not the point. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ even though $f(1)$ is undefined. · O limite trata-se da aproximação, não do ponto. $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=2$ mesmo quando $f(1)$ está indefinido.
For a piecewise function, $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ and $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- The left side heads for $3$; the right side heads for $5$.
- They disagree, so $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ does not exist — the graph jumps at $x=2$.
- This is true no matter what value (if any) is plotted at $x=2$.
Para uma função definida por partes, $\displaystyle\lim_{x\to 2^-} f(x) = 3$ e $\displaystyle\lim_{x\to 2^+} f(x) = 5$.
- O lado esquerdo tende a $3$; o lado direito tende a $5$.
- Eles desentendem, então $\displaystyle\lim_{x \to 2} f(x)$ não existe — o gráfico salta em $x=2$.
- Isso é verdade independentemente de qualquer valor (se houver) plotado em $x=2$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ says $f(x)$ heads toward $L$ as $x$ nears $c$ from both sides — without ever touching $c$. The two-sided limit exists iff the left-hand and right-hand limits both exist and are equal. The limit describes where the function is going, which need not equal $f(c)$.
$\displaystyle\lim_{x\to c} f(x)=L$ diz que $f(x)$ tende a $L$ à medida que $x$ se aproxima de $c$ de ambos os lados — sem nunca tocar $c$. O limite bilateral existe se e somente se os limites laterais esquerdo e direito existirem e forem iguais. O limite descreve para onde a função está indo, o que não precisa ser igual a $f(c)$.