Volume with Disc Method: Revolving Around Other Axes · Volume com Método dos Discos: Girando em Torno de Outros Eixos
Spinning around a shifted line
- What if you revolve a region not around an axis, but around a line like $y=-1$ or $x=3$?
- The disc method still works — you just measure the radius from the curve to that shifted axis.
- The formula $V=\pi\int R^2$ is unchanged; only $R$ needs adjusting.
- Getting the radius right is the whole game.
Girando em torno de uma linha deslocada
- E se você girar uma região não em torno de um eixo, mas em torno de uma linha como $y=-1$ ou $x=3$?
- O método do disco ainda funciona — você apenas mede o raio da curva até esse eixo deslocado.
- A fórmula $V=\pi\int R^2$ permanece inalterada; apenas $R$ precisa ser ajustada.
- Obter o raio certo é todo o jogo.
Radius = distance to the new axis
- Revolving about a horizontal line $y=k$: the radius is the vertical gap $R=|f(x)-k|$.
- Revolving about a vertical line $x=k$: the radius is the horizontal gap $R=|g(y)-k|$.
- Subtract the axis's value from the curve's value (in the right variable) to get the distance.
- Then square, multiply by $\pi$, and integrate as usual.
Raio = distância para o novo eixo
- Revolvendo em torno de uma linha horizontal $y=k$: o raio é a lacuna vertical $R=|f(x)-k|$.
- Revolvendo em torno de uma linha vertical $x=k$: o raio é a lacuna horizontal $R=|g(y)-k|$.
- Subtraia o valor do eixo do valor da curva (na variável certa) para obter a distância.
- Depois eleve ao quadrado, multiplique por $\pi$ e integre como de costume.
The curve above a shifted axis · A curva acima de um eixo deslocado
y = a·√x
Revolving about $y=-1$ makes the radius reach from the curve down to that line — $R=f(x)+1$, larger than $f(x)$. · Girar em torno de $y=-1$ faz o raio alcançar da curva até essa linha — $R=f(x)+1$, maior que $f(x)$.
Revolving $y=f(x)$ about the line $y=-1$, the radius is... · Girar $y=f(x)$ em torno da linha $y=-1$, o raio é...
Distance from $f(x)$ down to $y=-1$ is $f(x)-(-1)=f(x)+1$. · A distância de $f(x)$ até $y=-1$ é $f(x)-(-1)=f(x)+1$.
Revolving about $y=k$ (below the region), the radius of a curve $f(x)$ is... · Girando em torno de $y=k$ (abaixo da região), o raio de uma curva $f(x)$ é...
Curve value minus axis value: $f(x)-k$. · Valor da curva menos valor do eixo: $f(x)-k$.
Revolving about a vertical line $x=k$, the radius is the ____ distance $|g(y)-k|$. · Girando em torno de uma linha vertical $x=k$, o raio é a distância ____ $|g(y)-k|$.
For a vertical axis, measure horizontally. · Para um eixo vertical, meça horizontalmente.
Axis below the region
- If the axis $y=k$ is below the region, the curve is above it, so $R=f(x)-k$ (a positive gap).
- Example: revolving about $y=-1$ a curve at height $f(x)$ gives radius $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- The "$+1$" is the extra distance down to the shifted axis.
- Always draw it: the radius reaches from the curve to the axis.
Eixo abaixo da região
- Se o eixo $y=k$ estiver abaixo da região, a curva está acima dele, logo $R=f(x)-k$ (uma lacuna positiva).
- Exemplo: girar sobre $y=-1$ uma curva na altura $f(x)$ dá raio $R=f(x)-(-1)=f(x)+1$.
- O "$+1$" é a distância extra para baixo até o eixo deslocado.
- Desenhe sempre: o raio vai da curva até o eixo.
If the axis $y=3$ lies above the region (curve $f(x)<3$), the radius is... · Se o eixo $y=3$ está acima da região (curva $f(x)<3$), o raio é...
Distance is axis minus curve: $3-f(x)$ (a positive gap). · A distância é eixo menos curva: $3-f(x)$ (uma lacuna positiva).
Don't reuse the plain-axis radius
- The most common error is forgetting to shift: using $R=f(x)$ when the axis is $y=-1$.
- That underestimates the radius by the shift amount, giving a wrong (too small) volume.
- Rewrite the radius as (curve value) $-$ (axis value) every time the axis isn't $y=0$ or $x=0$.
- Sketching the distance segment prevents this slip.
Não reutilize o raio de eixo simples
- O erro mais comum é esquecer de deslocar: usar $R=f(x)$ quando o eixo é $y=-1$.
- Isso subestima o raio em quantia do deslocamento, resultando em um volume errado (muito pequeno).
- Reescreva o raio como (valor da curva) $-$ (valor do eixo) sempre que o eixo não for $y=0$ ou $x=0$.
- Esboçar o segmento de distância previne esse erro.
When revolving about $y=-1$, you can still use radius $R=f(x)$. · Ao girar em torno de $y=-1$, ainda pode usar o raio $R=f(x)$.
You must shift: $R=f(x)+1$. · Você deve deslocar: $R=f(x)+1$.
Revolving $y=\sqrt x$ on $[0,4]$ about $y=-1$ gives radius $\sqrt x+1$, so $V=$ · Girar $y=\sqrt x$ em $[0,4]$ em torno de $y=-1$ resulta em raio $\sqrt x+1$, logo $V=$
$\pi\int_0^4(x+2\sqrt x+1)\,dx=\pi(8+\tfrac{32}{3}+4)=\tfrac{68\pi}{3}$.
For a shifted axis, the radius is the distance from the curve to that line, e.g. $R=f(x)-k$ for $y=k$ — not just $f(x)$. Revolving about $y=-1$ makes the radius larger (add $1$); about $y=3$ above the region makes it $3-f(x)$. Always measure to the correct axis before squaring.
Para um eixo deslocado, o raio é a distância da curva até essa linha, por exemplo, $R=f(x)-k$ para $y=k$ — não apenas $f(x)$. Girar sobre $y=-1$ torna o raio maior (some $1$); sobre $y=3$ acima da região torna-o $3-f(x)$. Meça sempre até o eixo correto antes de elevar ao quadrado.
Revolve the region between $y=\sqrt x$ and the line $y=-1$ on $[0,4]$ about $y=-1$. (The region reaches down to the axis, so each slice sweeps a solid disc — no hole.)
- Radius reaches from the curve down to $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
Gire a região entre $y=\sqrt x$ e a linha $y=-1$ no intervalo $[0,4]$ em torno de $y=-1$. (A região desce até o eixo, então cada fatia varre um disco sólido — sem buraco.)
- Raio vai da curva até $y=-1$: $R(x)=\sqrt x-(-1)=\sqrt x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt x+1)^2\,dx=\pi\int_0^4 \big(x+2\sqrt x+1\big)\,dx$.
- $=\pi\Big[\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{4}{3}x^{3/2}+x\Big]_0^4=\pi\big(8+\tfrac{32}{3}+4\big)=\tfrac{68\pi}{3}$.
The disc method about a shifted axis keeps $V=\pi\int R^2$, but the radius is the distance from the curve to that line: $R=f(x)-k$ for $y=k$, or $g(y)-k$ for $x=k$. Adjust $R$ for the shift (an axis below the region adds to the radius); never reuse the plain-axis radius.
O método do disco em torno de um eixo deslocado mantém $V=\pi\int R^2$, mas o raio é a distância da curva até essa linha: $R=f(x)-k$ para $y=k$, ou $g(y)-k$ para $x=k$. Ajuste $R$ para o deslocamento (um eixo abaixo da região soma ao raio); nunca reutilize o raio de eixo simples.