Volumes with Cross Sections: Squares and Rectangles · Volumes com Secções Transversais: Quadrados e Retângulos
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| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | secções transversais |
Stacking up thin slabs into a solid
- Integration also finds volumes, not just areas — by adding up thin slices of a solid.
- Slice a solid perpendicular to an axis; each slice is a thin slab of some cross-sectional area $A(x)$.
- Add them up: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — the integral of the cross-sectional area.
- This lesson covers solids whose cross sections 横截面 are squares or rectangles.
Empilhando finas lâminas para formar um sólido
- A integração também encontra volumes, não apenas áreas — somando fatias finas de um sólido.
- Corte um sólido perpendicularmente a um eixo; cada fatia é uma fina lâmina de alguma área da seção transversal $A(x)$.
- Some-as: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — a integral da área da seção transversal.
- Esta aula cobre sólidos cujas seções transversais 横截面 são quadrados ou retângulos.
The general volume formula
- If the cross section at $x$ has area $A(x)$ and thickness $dx$, its tiny volume is $A(x)\,dx$.
- Sum over the solid: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Everything reduces to: write the cross-sectional area as a function of $x$, then integrate.
- The hard part is the geometry of one slice, not the calculus.
A fórmula geral de volume
- Se a seção transversal em $x$ tem área $A(x)$ e espessura $dx$, seu pequeno volume é $A(x)\,dx$.
- Soma sobre o sólido: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- Tudo se resume a: escrever a área da seção transversal como função de $x$, depois integrar.
- A parte difícil é a geometria de uma fatia, não o cálculo.
The volume of a solid with cross-sectional area $A(x)$ is... · O volume de um sólido com área da seção transversal $A(x)$ é...
Add up slabs $A(x)\,dx$. · Some lamelas $A(x)\,dx$.
To use $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the cross-section slices must be... · Para usar $V=\int_a^b A(x)\,dx$, as fatias da seção transversal devem ser...
Slices are perpendicular to the axis you integrate along. · As fatias são perpendiculares ao eixo ao longo do qual você integra.
Square cross sections
- A common setup: cross sections are squares with base sitting on the region between two curves.
- If the base length is $s(x)$ (often $f(x)-g(x)$, the gap between curves), a square's area is $s(x)^2$.
- So $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- The base of each square spans the region; its area is base-squared.
Seções transversais quadradas
- Configuração comum: as seções transversais são quadrados com base assentada na região entre duas curvas.
- Se o comprimento da base for $s(x)$ (muitas vezes $f(x)-g(x)$, a distância entre curvas), a área de um quadrado é $s(x)^2$.
- Então $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$.
- A base de cada quadrado abrange a região; sua área é base-ao-quadrado.
The base region under √x · A região base sob √x
y = a·√x
Each square slice sits on the base; its side is the height $\sqrt{x}$, so its area is $(\sqrt{x})^2=x$. · Cada fatia quadrada assenta na base; seu lado é a altura $\sqrt{x}$, então sua área é $(\sqrt{x})^2=x$.
For square cross sections with base $s(x)$, the area is... · Para secções transversais quadradas com base $s(x)$, a área é...
A square of side $s$ has area $s^2$. · Um quadrado de lado $s$ tem área $s^2$.
The base length of a cross section is often the distance between the boundary curves, $f(x)-g(x)$. · O comprimento da base de uma seção transversal é frequentemente a distância entre as curvas fronteira, $f(x)-g(x)$.
The base spans the region between the curves. · A base abrange a região entre as curvas.
Rectangular cross sections
- For rectangles, the area is base $\times$ height: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- The height might be a fixed multiple of the base, or given separately in the problem.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Read the problem carefully to get the height rule right.
Seções transversais retangulares
- Para retângulos, a área é base $\times$ × altura: $A(x)=s(x)\cdot h(x)$.
- A altura pode ser um múltiplo fixo da base, ou dada separadamente no problema.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- Leia o problema cuidadosamente para obter a regra da altura correta.
Base under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$, square cross sections: $A(x)=x$. Find $V=\int_0^4 x\,dx$. · Base sob $y=\sqrt x$ em $[0,4]$, secções transversais quadradas: $A(x)=x$. Encontre $V=\int_0^4 x\,dx$.
$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
For rectangular cross sections, area = base ____ height. · Para secções transversais retangulares, área = base ____ altura.
$A=s\cdot h$ for a rectangle. · $A=s\cdot h$ para um retângulo.
The base length $s(x)$ is usually the distance between the boundary curves ($f(x)-g(x)$) or between a curve and an axis — figure out what spans the base before squaring. For squares, the area is $s(x)^2$ (don't forget to square the whole gap). Slices must be perpendicular to the axis you integrate along.
O comprimento da base $s(x)$ é geralmente a distância entre as curvas limites ($f(x)-g(x)$) ou entre uma curva e um eixo — descubra o que abrange a base antes de elevar ao quadrado. Para quadrados, a área é $s(x)^2$ (não esqueça de elevar toda a distância ao quadrado). As fatias devem ser perpendiculares ao eixo ao longo do qual se integra.
A solid has base the region under $y=\sqrt{x}$ from $x=0$ to $4$, with square cross sections perpendicular to the $x$-axis.
- The base of each square is $s(x)=\sqrt{x}$ (curve to $x$-axis).
- Cross-sectional area: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
Um sólido tem base a região sob $y=\sqrt{x}$ de $x=0$ a $4$, com seções transversais quadradas perpendiculares ao eixo $x$.
- A base de cada quadrado é $s(x)=\sqrt{x}$ (curva ao eixo $x$).
- Área da seção transversal: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
A solid's volume is $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the integral of its cross-sectional area. For square cross sections with base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; for rectangles, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Find the base $s(x)$ (often the gap between curves), write $A(x)$, and integrate.
O volume de um sólido é $V=\int_a^b A(x)\,dx$, a integral de sua área da seção transversal. Para seções transversais quadradas com base $s(x)$, $A(x)=s(x)^2$; para retângulos, $A(x)=s(x)\cdot h(x)$. Encontre a base $s(x)$ (muitas vezes a distância entre curvas), escreva $A(x)$ e integre.