Newton's law of gravitation · Lei da Gravitação Universal de Newton
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| law of gravitation/lɔː ɒv ˌɡrævɪˈteɪʃn/ | lei da gravitação universal |
| attractive/əˈtræktɪv/ | atrativo |
| universal constant/ˌjuːnɪˈvɜːsl ˈkɒnstənt/ | constante universal |
| inverse-square law/ɪnˈvɜːs skweə lɔː/ | lei do inverso do quadrado |
| point mass/pɔɪnt mæs/ | massa pontual |
Every mass pulls every other
- The Earth pulls you down — and you pull the Earth up, just as hard.
- Every pair of masses attracts, anywhere in the universe.
- Newton captured it in one equation.
Toda massa puxa toda outra
- A Terra te puxa para baixo — e você puxa a Terra para cima, com a mesma intensidade.
- Todo par de massas se atrai, em qualquer lugar do universo.
- Newton capturou isso em uma equação.
The law of gravitation 万有引力定律
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — an attractive 吸引 pull along the line joining the masses.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ is the universal constant 万有引力常数.
A lei da gravitação 万有引力定律
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — uma atração 吸引 ao longo da linha que une as massas.
- $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^2}{\text{kg}^2}$ é a constante universal 万有引力常数.
Newton's law of gravitation · Lei da Gravitação Universal de Newton
F ∝ Mm / r²
Gravity pulls inward and weakens with the square of the distance. · A gravidade puxa para dentro e diminui com o quadrado da distância.
Newton's law of gravitation gives the force between two masses as: · A lei da gravitação de Newton dá a força entre duas massas como:
The pull is proportional to each mass and inversely proportional to the distance squared. · A atração é proporcional a cada massa e inversamente proporcional ao quadrado da distância.
Gravity is always attractive. · A gravidade é sempre atrativa.
Yes — masses only ever pull together; there is no gravitational repulsion. · Sim — massas só se atraem; não existe repulsão gravitacional.
An inverse-square law 平方反比定律
- The force falls off as $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Double the separation → the force drops to a quarter.
The International Space Station orbits Earth, held in its path by gravity
Uma lei de inverso-quadrático 平方反比定律
- A força diminui conforme $\dfrac{1}{r^{2}}$.
- Dobrar a separação → a força cai para um quarto.
A Estação Espacial Internacional orbita a Terra, mantida em seu caminho pela gravidade
Two masses attract with $40\ \text{N}$ at separation $r$. What is the force at separation $2r$? · Duas massas se atraem com $40\ \text{N}$ a uma separação $r$. Qual é a força a uma separação $2r$?
Inverse-square: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$. · Inverso do quadrado: $\dfrac{40}{2^{2}} = \dfrac{40}{4} = 10\ \text{N}$.
If both masses are doubled (same distance), the gravitational force becomes: · Se ambas as massas forem duplicadas (mesma distância), a força gravitacional torna-se:
$F \propto m_1 m_2$, so doubling each multiplies the force by $2 \times 2 = 4$. · $F \propto m_1 m_2$, logo duplicar cada uma multiplica a força por $2 \times 2 = 4$.
Two masses attract with force $F$. Match each change to the new force. · Duas massas se atraem com força $F$. Combine cada mudança com a nova força.
$F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: masses scale the force directly, the separation scales it by the inverse square. · $F \propto \dfrac{m_1 m_2}{r^{2}}$: as massas escalonam a força diretamente, a separação a escala pelo inverso do quadrado.
Spheres act as points
- A uniform sphere pulls (from outside) exactly like a point mass 质点 at its centre.
- So you can treat the Earth as a point mass at its centre, and $r$ is always measured centre to centre.
Two masses attract along the line joining them
Esferas atuam como pontos
- Uma esfera uniforme atrai (de fora) exatamente como uma massa pontual 质点 em seu centro.
- Então podemos tratar a Terra como uma massa pontual em seu centro, e $r$ é sempre medido de centro a centro.
Duas massas se atraem ao longo da linha que as une
A uniform sphere attracts outside objects as if all its mass were at its centre. · Uma esfera uniforme atrai objetos externos como se toda a sua massa estivesse concentrada em seu centro.
Yes — from outside, a uniform sphere behaves exactly like a point mass at its centre. · Sim — visto de fora, uma esfera uniforme comporta-se exatamente como uma massa pontual em seu centro.
Worked example: the Earth and the Moon
Earth's mass is $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, the Moon's is $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, and their centres are $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$ apart.
- Force: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- On which body? On both: the Moon pulls the Earth with exactly the same $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — a Newton's third law pair.
- Halve the distance: the force would be $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Check: square the separation before dividing, and keep it in metres. An answer near $10^{28}\ \text{N}$ means $r$ was not squared.
Exemplo resolvido: a Terra e a Lua
A massa da Terra é $5.97 \times 10^{24}\ \text{kg}$, a da Lua é $7.35 \times 10^{22}\ \text{kg}$, e seus centros estão $3.84 \times 10^{8}\ \text{m}$ separados.
- Força: $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^{2}} = 2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Sobre qual corpo? Sobre ambos: a Lua puxa a Terra com exatamente a mesma $2.0 \times 10^{20}\ \text{N}$ — um par da terceira lei de Newton.
- Metade a distância: a força seria $4 \times 2.0 \times 10^{20} = 8.0 \times 10^{20}\ \text{N}$.
- Verificação: eleve a separação ao quadrado antes de dividir, e mantenha em metros. Uma resposta próxima de $10^{28}\ \text{N}$ significa que $r$ não foi elevado ao quadrado.
Two $50\ \text{kg}$ people stand with their centres $1.0\ \text{m}$ apart. What is the gravitational force between them, as a multiple of $10^{-7}\ \text{N}$? · Dois seres humanos de massa $50\ \text{kg}$ ficam de pé com seus centros separados por $1.0\ \text{m}$. Qual é a força gravitacional entre eles, como múltiplo de $10^{-7}\ \text{N}$?
$F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — less than the weight of a grain of dust, which is why $G$ is called tiny. · $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 50 \times 50}{1.0^{2}} = 1.67 \times 10^{-7}\ \text{N}$ — menos que o peso de um grão de poeira, o que é por isso que $G$ é chamado de minúsculo.
Weighing a planet
- You cannot put a planet on a balance, but its surface field gives its mass: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, so $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- A moon's orbit works too: gravity supplies the centripetal force, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, so $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — only the orbit's radius and period are needed.
Pesando um planeta
- Não podemos colocar um planeta numa balança, mas seu campo superficial dá sua massa: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$, logo $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$.
- A órbita de um satélite também funciona: a gravidade fornece a força centrípeta, $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, logo $M = \dfrac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$ — basta o raio e o período da órbita.
Worked example: the mass of Mars
At the surface of Mars the field strength is $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ and the radius is $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Show that the mass of Mars is about $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Start from the field of a sphere: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Rearrange: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Answer: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, as required — about a tenth of the Earth's mass.
- Check: a "show that" is marked on the working, so write the equation, the rearrangement and the substitution, and let the number fall out.
Exemplo resolvido: a massa de Marte
Na superfície de Marte, a intensidade do campo é $3.7\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ e o raio é $3.4 \times 10^{6}\ \text{m}$. Mostre que a massa de Marte é cerca de $6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$.
- Comece com o campo de uma esfera: $g = \dfrac{GM}{R^{2}}$.
- Reorganize: $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{3.7 \times (3.4 \times 10^{6})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}}$.
- Resposta: $M = 6.4 \times 10^{23}\ \text{kg}$, conforme exigido — cerca de uma décima parte da massa da Terra.
- Verificação: em um "mostre que", a nota é dada pelo raciocínio, então escreva a equação, a reorganização e a substituição, e deixe o número sair.
A planet has surface field strength $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ and radius $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. What is its mass, as a multiple of $10^{27}\ \text{kg}$? · Um planeta tem intensidade de campo superficial $25\ \dfrac{\text{N}}{\text{kg}}$ e raio $7.0 \times 10^{7}\ \text{m}$. Qual é sua massa, como múltiplo de $10^{27}\ \text{kg}$?
$M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — close to Jupiter. · $M = \dfrac{gR^{2}}{G} = \dfrac{25 \times (7.0 \times 10^{7})^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} = 1.84 \times 10^{27}\ \text{kg}$ — próximo à de Júpiter.
$r$ is the distance between the centres — never the gap between the surfaces, and never a height above the ground on its own. $G$ is tiny, which is why gravity between everyday objects is negligible; only a planet-sized mass makes it noticeable. And the two forces in the pair are equal, however different the masses — the apple pulls the Earth as hard as the Earth pulls the apple.
$r$ é a distância entre os centros — nunca o espaço entre as superfícies, e nem uma altura acima do chão isoladamente. $G$ é minúsculo, é por isso que a gravidade entre objetos cotidianos é desprezível; apenas uma massa do tamanho de um planeta a torna notável. E as duas forças no par são iguais, independentemente de quão diferentes sejam as massas — a maçã puxa a Terra com a mesma intensidade que a Terra puxa a maçã.
In $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, the distance $r$ is measured between the ____ of the two masses. · Na $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$, a distância $r$ é medida entre as ____ das duas massas.
A uniform sphere acts as a point mass at its centre, so for a satellite $r$ is the planet's radius plus the height above the surface. · Uma esfera uniforme age como uma massa pontual em seu centro, logo para um satélite $r$ é o raio do planeta mais a altura acima da superfície.
You've got it
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — always attractive, along the joining line, equal on both masses
- it is an inverse-square law: double $r$ → quarter the force
- a uniform sphere acts as a point mass at its centre, so $r$ is centre-to-centre; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ weighs a planet
Entendeu?
- $F = \dfrac{G m_1 m_2}{r^{2}}$ — sempre atrativa, ao longo da linha de união, igual em ambas as massas
- é uma lei inverso-quadrática: dobre $r$ → reduza a força a um quarto
- uma esfera uniforme age como uma massa pontual em seu centro, então $r$ é de centro a centro; $M = \dfrac{gR^{2}}{G}$ pesa um planeta