Alternating currents

교류(a.c.)는 방향이 계속 반전됩니다. 상전원 공급은 사인파 교류로, $I$ 또는 $V$은 시간에 따라 사인파를 따릅니다:

(순수 저항 부하의 경우 전압과 전류는 위상이 일치하며, 이는 해당 교육과정의 경우입니다.)

주요 용어

• 주기 $T$ — 한 주기의 완전한 사이클이 완료되는 데 걸리는 시간. 단위: s.
• 주파수 $f$ — 초당 사이클 수; $f = 1/T$. 상전원은 보통 $50\ \text{Hz}$ 또는 $60\ \text{Hz}$입니다.
• 각주파수 $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$.
• 최대값 $I_{0}$ 또는 $V_{0}$ — 한 사이클 내의 가장 큰 값(진폭이라고도 함).
• 최대-최대 값 $2 I_{0}$ — $+I_{0}$에서 $-I_{0}$까지. 오실로스코프를 읽을 때 유용함.

2점 문제 정의. 교류의 주파수는 단위 시간당 완전한 사이클의 수来说("초당" 또는 "단위 시간당", "완전한 사이클" 또는 "진동")라고 말해야 합니다. 주기는 한 완전한 사이클이 완료되는 데 걸리는 시간이며, 최대값은 한 사이클 동안 전류 또는 전압의 최대값입니다. 사인파 전류의 한 사이클에 대한 평균 값은 영임을 유의하십시오. 이것이 바로 r.m.s. 값을 사용하여 전류를 묘사해야 하는 이유입니다.

식 읽기. $V = V_{0} \sin(\omega t)$에서 앞의 숫자는 최대값이며, $t$을 곱하는 숫자는 $\omega = 2\pi f$입니다. 각도 $\omega t$는 라디안이므로 계산하기 전에 계산기를 라디안 모드로 설정해야 합니다. $\cos$ 대신 $\sin$로 표시된 공급은 영이 아닌 최대값에서 시작하는 동일한 파형입니다.

해설 예제. 공급의 출력은 $V = 320 \sin(100\pi t)$(볼트, 초)입니다. 최대값, 주파수, 주기 및 r.m.s. 값을 구하고, $t = 0$ 이후에 $V = 160\ \text{V}$가 되는 첫 번째 시간을 구하십시오.

최대 $V_{0} = 320\ \text{V}$. $\omega = 100\pi\ \text{rad s}^{-1}$, 따라서 $f = \omega/2\pi = 50\ \text{Hz}$ 및 $T = 1/f = 0.020\ \text{s}$. $V_{\text{r.m.s.}} = 320/\sqrt{2} = 226\ \text{V}$. $V = 160\ \text{V}$의 경우: $\sin(100\pi t) = 0.5$, 따라서 $100\pi t = \pi/6$ 및 $t = 1/600 = 1.7 \times 10^{-3}\ \text{s}$. ($V = 18\cos(40\pi t)$의 경우 같은 판독은 $V_{0} = 18\ \text{V}$, $f = 20\ \text{Hz}$, $T = 50\ \text{ms}$를给出하며, $+18\ \text{V}$에서 시작하는 스케치입니다.)

CRO 트레이스 읽기

모든 파형(주제 7)과 동일하게 크리트 레이 오실로스코프를 사용하여:

• 수평 눈금 × 시간 베이스 → 주기 $T$, 따라서 $f = 1/T$.
• 수직 눈금 × $y$-게인 → 최대 전압 $V_{0}$(중심에서 최대까지 측정하거나 최대-최대 값을 측정한 후 반으로 나옴).

저항 부하 $R$에 대해 전력의 순간값은 $P(t) = I(t)^{2} R$입니다. $I = I_{0}\sin(\omega t)$가 있을 때:

이 값은 항상 양수이며, 최대값 $I_{0}^{2} R$과 최소값 0을 가지며, $I$의 두 배 주파수로 진동합니다. $\sin^{2}(\omega t)$의 한 주기당 평균은 $\tfrac{1}{2}$이므로, 평균 전력은

저항기의 평균 교류 전력은 최대 전력의 절반입니다.

"계산을 통해 평균 전력이 최대 전력의 절반임을 보여라." 최대값이 $12\ \text{V}$인 전원으로부터 $680\ \Omega$ 저항기에 전류가 흐릅니다. 최대 전력: $P_{0} = V_{0}^{2}/R = 12^{2}/680 = 0.212\ \text{W}$ (전압이 최대일 때의 순간 전력). 평균 전력: r.m.s. 값을 사용하면, $V_{\text{r.m.s.}} = 12/\sqrt{2} = 8.49\ \text{V}$이므로 $\langle P \rangle = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 8.49^{2}/680 = 0.106\ \text{W}$로 정확히 절반이 됩니다. 두 계산은 반드시 별도로 보여야 합니다; "$\tfrac{1}{2}$ of $0.212$"이라고 쓰면 점수가 없으며, 왜냐하면 그것이 증명해야 할 내용이기 때문입니다. $\tfrac{1}{2}$는 $(1/\sqrt{2})^{2}$입니다: r.m.s. 인자의 제곱.

r.m.s. 전류 $I_{\text{r.m.s.}}$은 동일한 저항 $R$에서 동일한 평균 전력을 줄 것으로 예상되는 일정한 직류입니다. $\langle P \rangle = I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$로부터:

해설 예제. a.c. 공급의 최대 전압은 $12\ \text{V}$입니다. 이 r.m.s. 전압을 구하십시오.

$\sqrt{2}$이라는 명칭은 **루트-미안-스크웨어(root-mean-square)**에서 유래했습니다: $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{\langle I^{2} \rangle}$과 $\langle \sin^{2}\rangle = \tfrac{1}{2}$. (사인파 경우만 필요함.)

2점 문제 정의. 교류(r.m.s.) 값이란 동일한 저항기에서 동일한(평균) 전력을 소모할 수 있는 직류(정상)의 값이다. "열 효과에 근거하여"라는 표현은 이 문장을 정확히 의미합니다: 동일한 저항기, 동일한 전력(또는 동일한 열), 직류. 단순히 "$I_{0}/\sqrt{2}$"만 언급하는 정의는 점수가 없습니다. 왜냐하면 이 공식은 사인파에 대해만 성립하기 때문입니다.

해설 예제 (비사인파). 한 저항을 통과하는 전류가 각 사이클의 첫 번째 절반에는 $+2.0\ \text{A}$이고 두 번째 절반에는 $-1.0\ \text{A}$일 때, 이는 **정사각파(square wave)**이다. 이 r.m.s. 값을 구하고 $10\ \Omega$ 저항에서의 평균 전력을 구하시오.

전류를 제곱한다: 반段时间 동안 $4.0\ \text{A}^{2}$이고 나머지 반段时间 동안 $1.0\ \text{A}^{2}$이므로, 평균 제곱은 $(4.0 + 1.0)/2 = 2.5\ \text{A}^{2}$이 되어 $I_{\text{r.m.s.}} = \sqrt{2.5} = 1.6\ \text{A}$이 된다. 평균 전력 $= I_{\text{r.m.s.}}^{2} R = 2.5 \times 10 = 25\ \text{W}$. 전류의 부호는 발열에는 영향을 주지 않는다(제곱되어 사라짐), 만약 $I_{0}/\sqrt{2}$을 사용했다면 틀린 답을 구했을 것이며, 그 이유는 $1.4\ \text{A}$이다: 해당 단축 공법은 사인파에만 적용된다.

r.m.s.의 중요성

인용되는 교류(a.c.) 값은 r.m.s. 값이다. "$230\ \text{V}$ mains"는 $V_{\text{r.m.s.}} = 230\ \text{V}$을 의미하며, 피크 값은 $V_{0} = 230\sqrt{2} \approx 325\ \text{V}$이다. 부품은 r.m.s.가 아닌 피크 값으로 등급을 지정해야 한다. 그러면 평균 전력은 직류(d.c.) 형태를 따른다:

해설 예제. 저항이 $50\ \Omega$인 히터가 $230\ \text{V}$ r.m.s. mains에 연결되었다. r.m.s. 전류와 소모되는 평균 전력을 구하시오.

해설 예제. r.m.s. 값이 $4.2\ \text{V}$이고 주파수가 $50\ \text{kHz}$인 사인파 공급 전원이 $150\ \Omega$ 저항에 연결되었다. 최대 전류, 평균 전력을 구하고 전류에 대한 식을 쓰시오.

$V_{0} = 4.2\sqrt{2} = 5.9\ \text{V}$, 따라서 $I_{0} = V_{0}/R = 5.9/150 = 0.040\ \text{A}$ (또는 $I_{\text{r.m.s.}} = 4.2/150 = 0.028\ \text{A}$를 먼저 구한 후 $\times\sqrt{2}$). 평균 전력 P = $= V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = 4.2^{2}/150 = 0.12\ \text{W}$. ⟨$\omega = 2\pi f = 2\pi \times 5.0 \times 10^{4} = 3.1 \times 10^{5}\ \text{rad s}^{-1}$⟩를 사용하면: P = $I = 0.040 \sin(3.1 \times 10^{5} t)$ (암페어, 초). 두 가지를 명확히 구분하라: 피크 값은 식과 부품 등급에 사용하고, r.m.s. 값은 전력 계산에 사용한다.

정류는 다이오드(단방향 도체)를 사용하여 교 lưu 전압을 일방향(직류-like) 전압으로 변환하는 과정이다.

"정류의 의미를 설명하시오." 교류(또는 전압)를 직류(또는 전압)로 변환하는 것: 얼마나 변하더라도 한 방향으로만 흐르는 것을 말한다. 다이오드는 양방향 편향(forward-biased) 상태일 때만 도통하는데, 이는 기호의 삼각형 끝(애노드)이 바(캐소드)보다 더 양전하일 때를 뜻한다. 그렇지 않으면 역방향 편향(reverse-biased) 상태가 되어 열려 있는 스위치처럼 동작한다. 이상적(diode)으로 가정한다: 한 방향은 0저항, 다른 방향은 무한대 저항.

반정류(half-wave rectification)

부하에 단일 다이오드가 직렬로 연결되면 각 사이클의 양의 반만 통과하고, 음의 반에서는 다이오드가 역방향 편향되어 전류가 흐르지 않는다. 이를 반정류라고 한다.

출력: 양의 반파와 평평한 영구 간극. 평균 출력은 $V_{0}/\pi \approx 0.32 V_{0}$이다. 단점: 입력의 절반이 낭비되며 출력이 매우 불규칙하다.

회로 완성하기. "반정류가 이루어지도록 다음 도식을 완성하시오"는 전원과 부하 사이에 직렬로 다이오드를 하나 넣어야 함을 의미하며, 삼각형은 출력 전류가 흐를 방향을 향해야 하고, $V_{\text{OUT}}$은 부하에 걸린다. 커패시터가 출력을 평활화한다면 부하에 병렬로 연결되어야 하며, 직렬로 연결하면 직류를 완전히 차단하게 된다.

전정류(full-wave rectification, 브리지 정류기)

브리지 정류기는 네 개의 다이오드를 배치하여 어떤 a.c. 단자가 양전하든 부하를 통한 전류가 항상 같은 방향으로 흐르도록 하여 전정류를 실현한다. 각 반 사이클마다 다른 쌍의 다이오드가 도통하지만, 부하는 항상 같은 방향을 본다.

브리지 정류기의 원리 설명 (표준 4점 문제). 단자 P가 양전하일 때, 전류는 P에서 빠져나와 P로부터 뻗어 나가는 방향의 다이오드를 거쳐 부하의 상단으로 들어간다. 그리고 부하를 통해 아래로 흐른 뒤, Q로 향하는 다이오드를 통해 Q로 돌아온다. 나머지 두 다이오드는 역방향 편향되어 전류가 흐르지 않는다. Q가 양전하일 때는 다른 쌍의 다이오드가 도통하지만, 이들이 배치된 방식은 여전히 상단에서 부하로 유입되게 하므로, 두 반 사이클 모두 부하 전류는 같은 방향이다. 각 반 사이클에서 도통하는 다이오드의 번호를 밝히고 부하의 어느 쪽 끝이 양전하인지 말하시오.

교정 회로 완성하기. 다이오드가 누락된 교정 회로를 고려할 때, 모든 다이오드에 대한 규칙을 기억하십시오: 정전류는 삼각형 방향(화살표 방향)으로 흐릅니다. 양(-) 출력 단자에 연결된 두 다이오드는 모두 그 단자를 향해야 하며, 음(-) 출력 단자에 연결된 두 다이오드는 모두 그 단자에서 멀어져야 합니다. 방향이 잘못된 다이오드를 가진 회로는 한 반주기 동안 전원 단락을 일으키거나无任何 전류를 통과시킵니다.

출력: 간격 없이 연속된 양의 반주기 파형이며, 입력 주파수의 두 배입니다. 평균 출력은 $2V_{0}/\pi \approx 0.64 V_{0}$ — 반주파 값의 두 배입니다. 입력을 모두 사용하며, 파형이 매끄럽고 필터링이 용이합니다.

회로도 그리기

• 반주파 정류: 교류 전원 — 단일 다이오드 — 부하 $R$, 직렬로 연결.
• 전주파 교정 회로: 네 개의 다이오드를 '마름모' 모양의 팔로 배치; 교류 입력은 대각선 쌍 중 하나에, 부하 $R$는 다른 대각선 쌍 사이에 연결합니다. 다이오드의 방향은 입력 극성이 바뀌어도 부하 단자의 극성을 일정하게 유지하도록 합니다.

"반주파와 전주파 정류의 차이를 설명하시오." 반주파 정류에서는 입력 주기 중 한쪽만 출력되며, 다른 쪽은 차단됩니다(출력의 절반 시간은 0); 전주파 정류에서는 두 쪽이 모두 출력되며, 그중 하나는 위상이 반대가 되어 간격이 없고, 출력 주파수는 입력의 두 배가 됩니다. 스킷 그림에서는 반주파가 동일한 길이의 평평한 0 구간으로 분리된 양의 봉우리를 보여주고, 전주파는 0 선에서 이어진 양의 봉우리를 보여줘야 합니다.

정류기의 출력이 여전히 거칠게 변합니다. 이를 평활화하려면 커패시터 $C$를 부하 $R$ 병렬로 연결합니다.

작동 원리

• 각 펄스의 상승 구간에서 커패시터가 피크 값 근처까지 충전됩니다.
• 하강 구간(간격 포함)에서 다이오드는 역편향 상태이므로, 커패시터는 부하를 통해 방전되어 전류 흐름을 유지합니다. 전압은 시간 상수 $RC$ (Topic 19)에 따라 감소합니다.
• 다음 피크에서 커패시터가 다시 충전되고 이 과정이 반복됩니다.

출력은 이제 피크 근처에 위치하며 작은 물결 ripple이 생깁니다. 이 물결의 크기를 ** ripple**이라고 하며(이 전체 과정을 평활화 smoothing이라 함), 피크와의 차이입니다.

해설 예제. $50\ \text{Hz}$ 전원 공급 장치에서 전원을 공급받는 반파 정류기에 $470\ \mu\text{F}$ 커패시터가 $1.2\ \text{k}\Omega$ 부하에 병렬로 연결되어 있습니다. 피크 간 출력의 분율적 감소를 추정하고, 브리지 정류기에서는 어떻게 달라지는지 설명하십시오.

피크 간의 간격은 $T = 1/50 = 20\ \text{ms}$입니다(반파 정류: 1주기당 한 개의 피크). 시간 상수는 $RC = (1.2 \times 10^{3})(470 \times 10^{-6}) = 0.56\ \text{s}$입니다. 피크 사이 커패시터가 $V_{0} e^{-t/RC} = V_{0} e^{-0.020/0.56} = 0.965\,V_{0}$까지 방전되므로, 약 $3.5\%$만큼 감소합니다. 전파 정류에서는 피크 간 간격이 $10\ \text{ms}$이므로, 감소량은 단 $1.8\%$에 불과하며, 커패시턴스를 두 배로 하면 다시 절반으로 줄어듭니다. $t \ll RC$ 때문에 감소량은 대략 $V_{0}\, t/(RC)$입니다: 리플은 피크 사이의 시간 비례적이고, $R$ 및 $C$의 역비례합니다. (출력에 병렬로 연결된 커패시터 네트워크는 Topic 19의 규칙에 따라 합성된 후 여기에 사용됩니다.)

ripple을 줄이는 방법

• 더 큰 $C$ → 저장된 전하 증가 → 피크 사이의 물결 감소 →ripple 감소.
• 더 큰 $R$ → 부하 전류 감소 → 방전 속도 감소 → ripple 감소.
• 높은 정류 주파수(전주파는 입력의 두 배) → 피크 사이 방전 시간 감소 → ripple 감소.

요약하자면, 피크 사이 간격에 비해 큰 $RC$을 사용하면 출력이 더 매끄러워집니다.

평활화된 출력 스케치하기. 먼저 평활화되지 않은 봉우리 파형을 옅게 그립니다. 평활화된 곡선은 각 피크를 만지고, 완만한 곡선을 따라 하강합니다(피크 직후가 가장 가파름). 다음 봉우리가 올라와 meeting할 때까지 내려갔다가,那里에서 급격히 위로 꺾여 봉우리를 따라 피크까지 이동합니다. 0으로 떨어지지 않으며, 피크보다 높게 오르지 않습니다. 반주파 정류에서는 없는 반주기도 지나가야 하므로, 같은 $RC$ 조건에서 ripple은 전주파의 약 두 배가 됩니다. 문제가 $C$이나 $R$를 변경한다면, 같은 축에 다시 그려보십시오: 더 큰 $RC$은 피크 선에 더 밀착하고, 더 작은 $RC$은 더 많이 아래로 쳐집니다.

요약 목적

평활화 커패시터는 ripple을 줄여 민감한 전자 기기에 적합한 안정적인 직류(d.c.) 전압을 제공합니다.

정의 문제는 고정된 문구로 채점합니다. 이 내용들을 정확히 외우고, 답은 하나만 제시하십시오.

• $V = V_{0} \sin\omega t$과 $\omega = 2\pi f$은 라디안/초 단위로; 식에서 $V_{0}$과 $\omega$을 그대로 읽으세요. 모든 시간 계산에는 라디안 모드를 사용하십시오.
• $I_{\text{r.m.s.}} = I_{0}/\sqrt{2}$과 $V_{\text{r.m.s.}} = V_{0}/\sqrt{2}$은 正弦波에만 적용됩니다. 그렇지 않으면 사각파, 평균값, 근사제곱평균값(RMS) 등을 고려해야 합니다.quoted mains values are r.m.s.; components are rated for the peak. quoted mains values are r.m.s.; components are rated for the peak.
• 저항기의 평균 전력은 $I_{\text{r.m.s.}}^{2}R = V_{\text{r.m.s.}}^{2}/R = \tfrac{1}{2} I_{0}^{2} R$이며, 최대 전력의 절반입니다. 평균 전류는 제로이지만, 평균 전력은 제로가 아닙니다.
• 직렬로 연결된 하나의 다이오드는 반파 정류를 제공하며, 네 개의 다이오드로 구성된 브릿지는 전파 정류를 제공합니다. 이때 부하 전류는 항상 같은 방향이며, 출력 주파수는 입력 주파수의 두 배가 됩니다.
• 평활화: 커패시터는 부하에 병렬로 연결됩니다. 리플은 더 큰 $C$, 더 큰 $R$(더 작은 부하 전류), 그리고 높은 정류 주파수일수록 감소합니다. 이는 피크 사이의 감쇠가 $V_{0}e^{-t/RC}$하기 때문입니다.
• 스케치에서는 파형에 표시가 붙습니다: 최대 값 선에 닿는 볼록한 부분, 0이 되지 않는 감쇠, 반파용则是平坦的零间隙，全波则没有。

흔한 실수

• 전력 계산에 최대 값을 사용하거나, $V = V_{0}\sin\omega t$에서 진폭作为RMS值使用。
• $\omega = f$ 또는 $\omega = 2\pi/f$를 작성할 때; 그것은 $2\pi f = 2\pi/T$입니다。
• RMS 값을 "최대 값을 $\sqrt{2}$으로 나눈 것"으로 정의하거나, "같은 전력" 및 "같은 저항"이라는 표현을 생략하는 경우。
• 사각파 또는 삼각파에 $I_{0}/\sqrt{2}$을 적용하는 경우。
• 다이오드를 역방향으로 그리거나,同一个输出终端上连接的两个二极管方向相反的桥接电路。
• 평활화 커패시터를 부하와 직렬로 연결하는 경우。
• 평활화된 출력이 피크 사이에서 0으로 떨어지거나 최대 값을 초과하여 상승하도록 그려진 경우。
• 더 큰 부하 저항이 더 큰 리플을 생성한다고 설명하거나, 더 큰 $R$은 더 작은 전류, 더 느린 방전을 의미하므로 더 작은 리플을 산다고 설명하는 경우（错误理解）。
• 전파 정류가 안정적인 DC를 제공한다고 설명하거나, 커패시터가 없으면 큰 리플을 가진 볼록한 파형의 연속이라고 설명하는 경우。