Variabel acak diskrit
| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| discrete random variable/dɪˈskriːt ˈrændəm ˈveərɪəbl/ | variabel acak diskrit |
| expectation/ekspɪkˈteɪʃn/ | ekspektasi |
| variance/ˈveərɪəns/ | variansi |
| probability distribution/ˌprɒbəˈbɪlɪti ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribusi probabilitas |
| binomial distribution/baɪˈnəʊmɪəl ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | taburan binomial |
| trial/ˈtraɪəl/ | percobaan |
| geometric distribution/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ | distribusi geometrik |
Dadu yang dimuat
- Dadu adil memberikan setiap sisi probabilitas $\dfrac{1}{6}$. Namun bagaimana jika dadunya dimuat? Setiap hasil tetap memiliki probabilitas, tetapi tidak lagi sama.
- Variabel acak diskrit menetapkan probabilitas untuk setiap kemungkinan hasil — fondasi pemodelan statistik.
Variabel acak diskrit
- Variabel acak diskrit $X$ mengambil nilai terpisah, masing-masing dengan probabilitas (jumlahnya 1).
- Ekspektasi (rata-rata): $E(X) = \sum x\,P(X = x)$.
- Varians: $\text{Var}(X) = \sum x^2\,P(X = x) - \big(E(X)\big)^2$.
Contoh terpecahkan. Variabel $X$ memiliki nilai 1, 2, 3 dengan probabilitas 0.2, 0.5, 0.3. $E(X) = 1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1$. $E(X^2) = 1(0.2) + 4(0.5) + 9(0.3) = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9$. $\text{Var}(X) = 4.9 - 2.1^2 = 4.9 - 4.41 = 0.49$.
Probabilitas harus berjumlah 1. Sebelum menghitung ekspektasi atau varians, selalu periksa bahwa $\sum P(X = x) = 1$. Jika tidak, distribusi probabilitasnya tidak valid.
Distribusi binomial
X ~ B(n, p)
Setiap batang adalah peluang k keberhasilan. Ubah n dan p dan lihat rata-rata np bergeser.
Dalam tabel distribusi probabilitas, probabilitas harus berjumlah 1.
Distribusi valid memiliki semua probabilitas yang menjumlahkan 1.
X mengambil nilai 1, 2, 3 dengan peluang P = 0.2, 0.5, 0.3. E(X) = ΣxP(X=x). Temukan nilainya.
1(0.2) + 2(0.5) + 3(0.3) = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1.
Jika E(X) = 2.1 dan E(X²) = 4.9, Var(X) = E(X²) − (E(X))². Temukan nilainya.
Var(X) = 4.9 − 2.1² = 4.9 − 4.41 = 0.49.
Cocokkan setiap ide binomial dengan hasilnya.
Binomial memiliki n percobaan tetap dengan p konstan; rata-ratanya adalah np dan variansinya np(1−p).
Distribusi binomial
- Binomial $X \sim B(n, p)$ — jumlah keberhasilan dalam $n$ percobaan independen:
- $P(X = r) = \dbinom{n}{r}p^r(1-p)^{n-r}$
- $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$.
Setiap batang merepresentasikan P(X = r) untuk B(10, 0.3); distribusi mencapai puncaknya pada rata-rata np = 3.
Untuk X ~ B(10, 0.3), berapakah E(X) = np?
E(X) = np = 10 × 0.3 = 3.
Untuk X ~ B(10, 0.3), berapakah Var(X) = np(1−p)?
Var(X) = np(1−p) = 10 × 0.3 × 0.7 = 2.1.
Distribusi geometrik
- Geometrik — nomor percobaan keberhasilan pertama:
- $P(X = r) = (1-p)^{r-1}p$
- $E(X) = \dfrac{1}{p}$.
Untuk distribusi geometrik dengan p = 0.2, E(X) = 1/p. Temukan nilainya.
E(X) = 1/p = 1/0.2 = 5. Rata-rata, keberhasilan pertama terjadi pada percobaan ke-5.
Contoh terpecahkan — binomial
- $X \sim B(10, 0.3)$. Temukan $P(X = 2)$ dan $E(X)$.
- $P(X = 2) = \dbinom{10}{2}(0.3)^2(0.7)^8 = 45 \times 0.09 \times 0.0576 = 0.233$.
- $E(X) = np = 10 \times 0.3 = 3$.
Anda telah memahaminya
- $E(X) = \sum x\,P(X=x)$; $\text{Var}(X) = \sum x^2 P(X=x) - (E(X))^2$
- binomial $B(n,p)$: $E = np$, $\text{Var} = np(1-p)$
- geometrik: keberhasilan pertama pada percobaan $r$, $E = \dfrac1p$