Kuadrat
Diperkenalkan| English | Bahasa Indonesia |
|---|---|
| parabola/pəˈræbələ/ | Parabola |
| quadratic/kwɒˈdrætɪk/ | Kuadrat |
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | Melengkapkan kuadrat sempurna |
| vertex/ˈvɜːteks/ | Titik puncak |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | Diskriminan |
Jalur bola yang dilempar
- Lemparkan sebuah bola dan ia akan melintasi parabola — kurva yang sama yang dijelaskan oleh setiap persamaan kuadrat.
- Galileo membuktikan hal ini pada tahun 1638. Saat ini, persamaan kuadrat muncul dalam fisika, ekonomi, teknik, dan optimasi.
- Menguasainya berarti Anda dapat menemukan puncak, akar-akar, dan bentuk parabola mana pun.
Melengkapkan kuadrat sempurna
- Sebuah kuadrat adalah $ax^2 + bx + c$ (dengan $a \neq 0$).
- Melengkapi kuadrat menuliskannya ulang sebagai $a(x+p)^2 + q$.
- Ini mengungkapkan titik puncak (titik belok) di $(-p,\ q)$.
- Contoh: $x^2 - 6x + 5 = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$ → titik puncak $(3, -4)$.
Melengkapkan kuadrat sempurna mengungkapkan titik puncak secara langsung: $y = (x-3)^2 - 4$ memiliki nilai minimum di $(3, -4)$.
Contoh terpecahkan. Lengkapkan kuadrat sempurna untuk $2x^2 + 8x + 3$: faktorkan keluar $2$: $2(x^2 + 4x) + 3 = 2(x+2)^2 - 8 + 3 = 2(x+2)^2 - 5$. Titik puncak: $(-2, -5)$.
Melengkapi kuadrat sempurna, x² − 6x + 5 = (x − 3)² + q. Berapa nilai minimum q?
(x − 3)² − 9 + 5 = (x − 3)² − 4, sehingga q = −4 (nilai minimum).
Lengkapi kuadrat sempurna: 2x² + 8x + 3 = 2(x + p)² + q. Berapa p?
2(x² + 4x) + 3 = 2(x + 2)² − 8 + 3 = 2(x + 2)² − 5, sehingga p = 2.
Diskriminan
- Diskriminan adalah $\Delta = b^2 - 4ac$. Ini menghitung akar-akar real:
- $b^2 - 4ac > 0$ → dua akar real berbeda,
- $b^2 - 4ac = 0$ → satu akar kembar,
- $b^2 - 4ac < 0$ → tidak ada akar real.
- Rumus kuadrat: $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
Tanda diskriminan menentukan berapa kali parabola bertemu sumbu-x: dua akar, satu, atau tidak sama sekali
Diskriminan berada di bawah tanda akar. Jika $b^2 - 4ac < 0$, Anda akan membutuhkan $\sqrt{\text{negative}}$, yang tidak memiliki nilai real — sehingga parabola tidak pernah memotong sumbu $x$.
Jembatan gantung: kabel utama tergantung dalam bentuk parabola
Jelajahi parabola
y = ax² + bx + c
Ubah a, b dan c untuk mengubah bentuk kurva — dan perhatikan titik puncak, akar dan potong sumbu bergerak.
Untuk x² + 4x + 1 = 0, berapa diskriminan b² − 4ac?
b² − 4ac = 4² − 4(1)(1) = 16 − 4 = 12 (> 0, sehingga dua akar real berbeda).
Jika b² − 4ac < 0, persamaan kuadrat memiliki:
Diskriminan negatif berarti parabola tidak pernah memotong sumbu x — tidak ada akar real.
Persamaan x² + 2x + 5 = 0 memiliki dua akar real berbeda.
Diskriminan = 2² − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 < 0, sehingga tidak ada akar real.
Menyelesaikan persamaan kuadrat
- Faktorisasi: tercepat jika berhasil. $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ atau $x = 3$.
- Melengkapi kuadrat sempurna: selalu berhasil, mengungkapkan titik puncak.
- Rumus kuadrat: selalu berhasil, gunakan ketika faktorisasi sulit.
Selesaikan x² − 5x + 6 = 0. Berapa akar yang lebih kecil?
x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) = 0, sehingga x = 2 atau x = 3; yang lebih kecil adalah 2.
Persamaan terkait dan pemodelan
- Kuadrat memodelkan: lintasan proyektil, kurva keuntungan, lengkungan jembatan, piring satelit.
- Titik puncak memberikan nilai maksimum (jika $a < 0$) atau minimum (jika $a > 0$).
- Contoh: fungsi keuntungan $P = -2x^2 + 40x - 150$. Maksimum pada $x = \dfrac{-40}{2(-2)} = 10$.
- Anda harus menyelesaikan persamaan kuadrat dan ketaksamaan kuadrat, serta sepasang persamaan simultan (satu linear, satu kuadrat).
Anda telah memahaminya
- melengkapi kuadrat sempurna: $a(x+p)^2 + q$, titik puncak di $(-p, q)$
- diskriminan $b^2 - 4ac$ menghitung akar real (+ dua, 0 satu, − tidak ada)
- selesaikan dengan faktorisasi, melengkapi kuadrat sempurna, atau rumus kuadrat
- titik puncak memberikan nilai maksimum atau minimum dari kuadrat tersebut