אסטרונומיה וקוסמוגוניה

הזוהר $L$ של כוכב הוא הסך הכל הספק הקרינה שהוא משחרר — אנרגיה הנפלטת לשנייה בכל הכיוונים. יחידה: ואט (W).

ההגדרה לערך יחיד. הזוהר של כוכב הוא הסך הכל הספק הקרינה הפולט על ידי הכוכב (או הסך הכל אנרגיה הנפלטת ליחידת זמן). זהו מאפיין של הכוכב בלבד; איך הוא נראה מברק מהארץ תלוי גם במרחק שלו. כאשר נשאלים על שתי סיבות לכך שכוכבים נראים בהירים יותר מאחרים, תן בדיוק את שתי אלו: זוהר גדול יותר, ומרחק קטן יותר (השטף יורד כ$1/d^{2}$).

במרחק $d$, הספק זה התפשט על פני כדור בשטח $4\pi d^{2}$. שטף הרדיואקטיבי ועוצמה $F$ (הספק ליחידת שטח) במרחק $d$ הוא

דוגמה מפורשת. זוהר השמש הוא $L = 3.8 \times 10^{26}\ \text{W}$. מצא את שטף הרדיואקטיבי ועוצמה באדמה, במרחק $d = 1.5 \times 10^{11}\ \text{m}$.

יחידה: $\text{W m}^{-2}$. זוהו חוק הריבוע ההפוך לשטף: הכפלת המרחק מפחיתה את השטף לרבע. טלסקופ מודד $F$; אם $L$ ידוע, המרחק נובע:

קריאת הגרף. גרף של $F$ נגד $1/d^{2}$ עבור כוכב בודד הוא קו ישר העובר דרך הראשית עם שיפוע $L/4\pi$, ולכן $L = 4\pi \times \text{gradient}$; כוכב בהיר יותר נותן קו תלול יותר. כוכב whose galaxy is receding still obeys the inverse-square law, but the light we receive is redshifted, so the flux at each wavelength is shifted along the spectrum, and a detector sensitive to one band may see a different fraction of it.

דוגמה פועלת. השמש בעלת רדיוס $6.96 \times 10^{8}\ \text{m}$ וטמפרטורת פני שטח $5780\ \text{K}$. חללית נושאת פאנל סולארי ב◊$2.0\ \text{m}^{2}$ נמצאת ב◊$4.5 \times 10^{10}\ \text{m}$ ממרכז השמש. חשב את ההספק הפועל על הפאנל כאשר הוא פונה לשמש.

הספק נפליט: $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4} = 4\pi(5.67 \times 10^{-8})(6.96 \times 10^{8})^{2}(5780)^{4} = 3.85 \times 10^{26}\ \text{W}$. זרימה בחללית: $F = L/(4\pi d^{2}) = 3.85 \times 10^{26}/[4\pi(4.5 \times 10^{10})^{2}] = 1.5 \times 10^{4}\ \text{W m}^{-2}$, אחת עשרה מהזרימה בכדור הארץ. ההספק על הפאנל: $P = FA = 1.5 \times 10^{4} \times 2.0 = 3.0 \times 10^{4}\ \text{W}$. הזרימה היא הספק ליחידת שטח אנכית לקרינה; פאנל מוטה מקבל $FA\cos\theta$.

נר סטנדרטי הוא עצם ש-הלומינוזיטי שלו ידוע מתוך סוגו. ברגע שמצאתם אותו בגלקסיה רחוקה ומדדדת את הפלוקס $F$ ממנו, תקבלו את המרחק ממנו מתוך $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$.

דוגמאות:

• צ'פאידים משתנים (כוכבים פולסים) — התקופה של הפולס קשורה בחוזקה ללומינוזיטי, ולכן התקופה נותנת $L$.
• סופרנובה מסוג Ia — כוכב ננוח לב המגיע למסה קריטית ופוצץ תמיד יש לו בערך אותו לומינוזיטי שיא.

נר סטנדרטי נותן $L$ מבלי לדעת מראש את המרחק, ולכן הוא מגיע לגלקסיות רחוקות מ beyond parallax.

ההגדרה. נר סטנדרטי הוא עצם (כוכב או סופרנובה) בעל לומינוזיטי ידוע. הלומינוזיטי ידוע כי הוא קבוע על ידי מאפיין שיכול להילמד מכל מרחק: תקופת הפולס של צ'פאיד משתנה, או סוג הסופרנובה.

"הסבירו כיצד משתמשים בנר סטנדרטי כדי לקבוע את המרחק של גלקסיה (שלוש נקודות). (1) מזהים נר סטנדרטי בגלקסיה (צ'פאיד משתנה, ש-תקופתו נותנת את הלומינוזיטי שלו, או סופרנובה מסוג Ia) כך ש-הלומינוזיטי $L$ שלו ידוע. (2) אינטנסיביות הפלוקס הקרני $F$ של האור המגיע אל כדור הארץ נמדדת. (3) המרחק נובע מחוק הריבוע ההופכי, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$. הסדר חשוב: הלומינוזיטי מגיע מסוג הנר, לא מהמרחק, שהוא הדבר שנחפש.

דוגמה מופתרת. סופרנובה מסוג Ia, לומינוזיטי $1.0 \times 10^{36}\ \text{W}$ בשיאה, נצפתה עם פלוקס שיא של $2.0 \times 10^{-14}\ \text{W m}^{-2}$. כמה היא רחוקה?

$d = \sqrt{L/(4\pi F)} = \sqrt{1.0 \times 10^{36}/(4\pi \times 2.0 \times 10^{-14})} = 6.3 \times 10^{24}\ \text{m}$, בערך $670$ מיליון שנות אור ($1\ \text{ly} = 9.5 \times 10^{15}\ \text{m}$). צ'פאיד, עם לומינוזיטי בסדר גודל $10^{30}\ \text{W}$, לא היה ניתן לצפייה במרחק זה; סופרנובות הן הנרות עבור היקום הרחוק.

חוק ההזזה של ויין

גוף חם פולט ספקטר רציף (שחור-גוף) עם שיא באורך גל $\lambda_{\text{max}}$ הקבוע על ידי הטמפרטורה שלו. חוק ההזזה של ויין:

דוגמה מופרדת. ספקטר השחור-גוף של כוכב מגיע לשיא ב$\lambda_{\text{max}} = 500\ \text{nm}$. מצאו את טמפרטורת פניו. ($b = 2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$.)

כוכבים חמים יותר מגיעים לשיע באורכי גל קצרים יותר: כוכד אדום קר ($\sim 3000\ \text{K}$) מגיע לשיא באינפרא-אדום; השמש ($\sim 5800\ \text{K}$) מגיעה לשיא בקרבת $500\ \text{nm}$; כוכב כחול-לבן חם ($\sim 20{,}000\ \text{K}$) מגיע לשיא באולטרה-סגול. מדידת $\lambda_{\text{max}}$ מספקת את טמפרטורת פני הכוכב.

"ציינו את חוק ההזזה של ויין (שתי נקודות). אורך הגל שבו עוצמת הקרינה משחור-גוף היא מקסימלית, פרופורציוני הפוך לטמפרטורה התרמודינמית שלו: $\lambda_{\text{max}} \propto 1/T$, או $\lambda_{\text{max}} T = \text{constant}$ ($2.90 \times 10^{-3}\ \text{m K}$). יש לומר "אורך גל של עוצמה מקסימלית", ולא רק "אורך הגל", והטמפרטורה חייבת להיות בקלווינים. החוק מתאר את השיא של העקומה הרציפה של שחור-גוף, ולא את קווי הספקטר.

חוק סטפן-בולצמן

כוכב, המטופל ככדור שחור-גוף ברדיוס $r$ ובטמפרטורת פנים $T$, בעל בהירות

כאשר $\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$ הוא קבוע סטפן-בולצמן- (ה-חוק סטפן-בולצמן-). שתי תלות חזקות:

• $L \propto r^{2}$ — פי שניים ברדיוס, פי ארבע בבהירות (אותה $T$).
• $L \propto T^{4}$ — פי שניים בטמפרטורה, פי שש עשרה בבהירות (אותה $r$).

דוגמה מופרדת. כוכב בעל רדיוס $r = 7.0 \times 10^{8}\ \text{m}$ וטמפרטורת פנים $T = 5800\ \text{K}$. מצאו את בהירותו. ($\sigma = 5.67 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}\ \text{K}^{-4}$.)

הערכת רדיוס של כוכב

שלב את שתי החוקים:

1. מדדו $\lambda_{\text{max}}$ → קבלו $T$ מחוק וין.
2. מצאו $L$ (למשל משיעור זרימה ⟨$F$⟩ ומרחק ⟨$d$⟩: ⟨$L = 4\pi d^{2} F$⟩).
3. פתרו את חוק סטפן-בולצמן עבור $r$: ⟨$r = \sqrt{L/(4\pi \sigma T^{4})}$⟩.

כך מאמרים אסטרונומים רדיוס של כוכבי לכת שאינם נראים כדיסק.

דוגמה מודגמת (רדיוס השמש). עוצמת שיעור הזרימה של אור השמש על פני כדור הארץ היא $1370\ \text{W m}^{-2}$ במרחק של $1.50 \times 10^{11}\ \text{m}$, וספקטרום השמש מגיע לשיא ב$500\ \text{nm}$. העריכו את רדיוס השמש.

בהירות: ⟨$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(1.50 \times 10^{11})^{2}(1370) = 3.87 \times 10^{26}\ \text{W}$⟩. טמפרטורה: ⟨$T = b/\lambda_{\text{max}} = 2.90 \times 10^{-3}/(500 \times 10^{-9}) = 5800\ \text{K}$⟩. רדיוס: ⟨$r = \sqrt{L/(4\pi\sigma T^{4})} = \sqrt{3.87 \times 10^{26}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(5800)^{4}]} = 6.9 \times 10^{8}\ \text{m}$⟩. שלושה שלבים, כל אחד בנוסחה בשורה אחת; שמרו על הדיוק המלא של ⟨$L$⟩ ו$T$⟩ עד הסוף, מכיוון ש$T$ מועלה לחזקה הרביעית.

דוגמה מודגמת. כוכב בגלקסיה רחוקה יש לו שיעור זרימה של $2.52 \times 10^{-8}\ \text{W m}^{-2}$ בכדור הארץ, במרחק של $4.16 \times 10^{17}\ \text{m}$, וטמפרטורת משטח של $9500\ \text{K}$. מצאו את רדיוסו.

$L = 4\pi d^{2}F = 4\pi(4.16 \times 10^{17})^{2}(2.52 \times 10^{-8}) = 5.48 \times 10^{28}\ \text{W}$. אזי $r = \sqrt{5.48 \times 10^{28}/[4\pi(5.67 \times 10^{-8})(9500)^{4}]} = 3.1 \times 10^{9}\ \text{m}$, כעבור ארבע פעמים מקירן השמש. בדוק את ההגיון: כוכב שמספק $140$ פעמים יותר ספיקות מהשמש אך חם רק $1.6$ פעמים פחות חייב להיות גדול משמעותית, מכיוון ש$L \propto r^{2}T^{4}$.

למה $T^{4}$ כל כך חשוב. כוכבים בעלי אותו רדיוס ב$3000\ \text{K}$ וב$6000\ \text{K}$ נבדלים זה מזה ברדיאנטיה פי $2^{4} = 16$; שגיאה קטנה בטמפרטורה היא שגיאה גדולה ברדיאנטיה, ולכן אורך הגל המקסימלי חייב לקרוא בקפידה, ובעבור גלקסיה הנשקפת יש ל correcting את ההשחקה האדומית (להלן).

עיבור אדום קוסמולוגי

קווים ספקטרליים של אור מגלקסיות רחוקות נראים בערכי אורך גל ארוכים מהערכים המעבירתיים הידועים שלהם — כל הספקטרום נמתח לכיוון האדום. זהו עיבור אדום.

קריאת זאת כתזוזת דופלר, הגלקסיה נעה רחוק. עבור ⟨$v \ll c$⟩:

כאן $\Delta\lambda = \lambda_{\text{observed}} - \lambda_{\text{emitted}}$ ו-$v$ היא מהירות התרחקות. דוגמה: אור שנפלט ב-$4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$ אך נראה ב-$4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$ נותן $\Delta\lambda = 0.29 \times 10^{-7}\ \text{m}$ ו

מדוע הזזה לאדום מעידה על היקום הנפוח

כמעט כל גלקסיה רחוקה מוזזת לאדום (מספר קרובות בודדות מוזזות לכחול עקב תנועה מקומית). לכן, בגלל הממוצע, הגלקסיות מתרחקות אחת מהשנייה — לא רק מאיתנו אלא גם זו מזו. היקום מתרחב, כאשר המרחק בין הגלקסיות נמתח. ככל שהגלקסיה רחוקה יותר, כך ההזזה לאדום גדולה יותר.

"צין מה משמעות ההזזה לאדום." האורך הגלי הנצפה של הקרינה (קווי הספקטרל) ממקור הוא ארוך מאורך הגלי שנופלו, מכיוון שהמקור מתרחק מהצופה. מדובר באפקט דופלר עבור אור: השינוי השברירי באורך הגלי שווה לשינוי השברירי בתדר, ולעבור $v \ll c$, היחס $v/c$.

דוגמה מופתרת. קו הידרוגן שנמדד במעבדה ב-$656.3\ \text{nm}$ נצפה באור של גלקסיה ב-$660.9\ \text{nm}$. מצאו את מהירות ההתרחקות של הגלקסיה, ובאמצעות $H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$, את מרחקה.

$\Delta\lambda = 660.9 - 656.3 = 4.6\ \text{nm}$, ולכן $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(4.6/656.3) = 2.1 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. מרחק: $d = v/H_{0} = 2.1 \times 10^{6}/2.3 \times 10^{-18} = 9.1 \times 10^{23}\ \text{m}$ (כ-$100$ מיליון שנות אור). חלק באורך הגלי הנופל (מעבדה), ושמור על יחידות הננומטר תואמות ביחס.

דוגמה פותרת (הדרך הפוכה). גלקסיה בקונורה בוראליס מתרחקת ב$21\,400\ \text{km s}^{-1}$. באיזה אורך גלי נצפה קו ההידרוגן שלה $656.3\ \text{nm}$?

$\Delta\lambda = \lambda v/c = 656.3 \times (2.14 \times 10^{7}/3.00 \times 10^{8}) = 46.8\ \text{nm}$, ולכן הקו נצפה ב$703\ \text{nm}$, שהוזז מהאדום כמעט לתחום האינפרא-אדום. כל קו וכל ספקטר רציף נמתחים באותו גורם $(1 + v/c) = 1.071$.

לכידה בבחינה. אם אורך הגל הפיקסלי של ספקטרום של גלקסיה נסתרת מוזן ישירות לנוסחת ויין, הטמפרטורה תוצא נמוכה מדי, משום שה-$\lambda_{\text{max}}$ הנצפה הוא ארוך יותר מהמשודר. יש לתקן את הפיקסל תחילה: $\lambda_{\text{emitted}} = \lambda_{\text{observed}}/(1 + v/c)$. כאשר מבקשים לשרטט את הספקטרום הנצפה על אותם צירים כמו המשודר, שרטטו את אותו צורה המוזזת לאורכי גל ארוכים יותר, כולל הפיקסל.

"הסבר כיצד ההזזה לאדום מובילה למסקנה שהיקום מתרחב" (שלוש נקודות). (1) קווי הספקטר מ-(כמעט) כל הגלקסיות הרחוקות מוזזים לאורכי גלי ארוכים יותר, ולכן (2) לפי אפקט דופלר הגלקסיות מתרחקות מאיתנו, ו(3) ככל שהגלקסיה רחוקה יותר, כך גדולה יותר ההזזה לאדום שלה ואילו המהירות שלה: זה מה שראו מכל גלקסיה אחרת אם המרחק בין כל הגלקסיות מתרחב, ולכן היקום כולו מתרחב, ולא רק מתרחק מהארץ.

חוק האבל

הקשר בין מהירות ההתרחקות $v$ לבין המרחק $d$ הוא חוק האבל:

כאן $H_{0}$ הוא קבוע האבל ($\approx 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$). תמיד השתמש ביחידות SI. דוגמה: גלקסיה המתרחקת ב$1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ נמצאת ב$d = v/H_{0} \approx 8.3 \times 10^{24}\ \text{m}$.

"צין את חוק האבל" (שתי נקודות). מהירות ההתרחקות של גלקסיה פרופורציונלית (באופן ישיר) למרחק שלה מארץ (הצופה): $v = H_{0}d$, כאשר $v$ היא מהירות ההתרחקות, $d$ המרחק ו$H_{0}$ קבוע האבל. זיהה כל סמל כאשר מבקשים. ערך ה$H_{0}$ מצוין בבחינה ביחידות SI ($\text{s}^{-1}$), ולכן $v$ חייבת להיות ב$\text{m s}^{-1}$ ו$d$ במטרים, לעולם לא בקילומטר לשנייה למגאפארסק.

דוגמה מופתרת. כוכב בגלקסיה רחוק פולט קריעה שבה עוצמת הפיקסל היא ב-$4.62 \times 10^{-7}\ \text{m}$; הפיקסל באור שהתקבל בכדור הארץ הוא ב-$4.91 \times 10^{-7}\ \text{m}$. מצאו את טמפרטורת פני השטח של הכוכב, את מהירות ההתרחקות של הגלקסיה, ואת מרחקה ($H_{0} = 2.3 \times 10^{-18}\ \text{s}^{-1}$).

טמפרטורה מהפיקסל המשודר: $T = 2.90 \times 10^{-3}/4.62 \times 10^{-7} = 6300\ \text{K}$. מהירות: $v = c\,\Delta\lambda/\lambda = (3.00 \times 10^{8})(0.29/4.62) = 1.9 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$, כ-$6\%$ של $c$. מרחק: $d = v/H_{0} = 1.9 \times 10^{7}/2.3 \times 10^{-18} = 8.2 \times 10^{24}\ \text{m}$ (כ-$870$ מיליון שנות אור). שימוש בפיקסל הנצפה לחישוב הטמפרטורה היה יוביל ל-$5900\ \text{K}$, נמוך ב-$400\ \text{K}$.

מחוק האבל לתאוריית המהודד הגדול

חוק האבל מעיד שגלקסיות היו פעם יחד. אם נחזור את ההתפשטות לאחור, כל המרחקים מתכווצים לאפס ב-$t = -1/H_{0}$ — היקום היה פעם נקודה קטנה, צפופה וחמה מאוד. זהו המהודד הגדול. גיל היקום (בהתפשטות יציבה) הוא כ-

ההתפשטות, הסטייה האדומה של גלקסיות, רקע הקרינה המיקרוגלי הכוונמי, ואחוזי מימן/הליום הם העדויות המרכזיות למהודד הגדול.

"הסבר כיצד חוק האבל מוביל לתאוריית המהודד הגדול" (שלוש נקודות). (1) גלקסיות מתרחקות במהירויות פרופורציונליות למרחקן, ולכן (2) אם זמן מושבת לאחור, כל גלקסיה, בכל מרחק, מגיעה ל-אותו נקודה באותו זמן, $t = d/v = 1/H_{0}$ לפני עת; (3) ולכן היקום חייב שהתחיל כנקודה אחת בעלת צפיפות וטמפרטורה אדירות, שנמשכת להתפשט מאז. הערכת הגיל: $1/H_{0} = 1/(2.3 \times 10^{-18}) = 4.3 \times 10^{17}\ \text{s}$, וחלוקה ב-$3.16 \times 10^{7}\ \text{s}$ לשנה נותנת $1.4 \times 10^{10}$ שנים. הנחה זו היא שהקצב לא השתנה; זוהי הערכה ולא מדידה מדויקת.

סולם המרחקים

אסטרונומים משלבים שיטות, כל אחת מקולבנת על ידי הבאה:

1. פראלקס — לכוכבים קרובים.
2. נרות תקניים (צפאידים, סופרנובות מסוג Ia) — לגלקסיות.
3. חוק האבל ($d = v/H_{0}$, עם $v$ מהסטייה האדומה) — לגלקסיות רחוקות מאוד.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• שתי נוסחאות: מרחק = נרות $L$, נמדד $F$, $d = \sqrt{L/(4\pi F)}$; רדיוס = $T$ מ $\lambda_{\text{max}}$, $L$ מ $F$ ו $d$, $r$ מ $L = 4\pi\sigma r^{2}T^{4}$. כתוב כל שלב כנוסחה משלה.
• $F$ הוא פלוקס (למטר רבוע), $L$ הספק; $L = 4\pi d^{2}F$ מקשר ביניהם ו $4\pi$ חלק משני החוקים.
• ויין: $\lambda_{\text{max}}$ במטרים, $T$ בקלווין. סטפן-בולצמן: $r^{2}$ ו $T^{4}$; טעות של $10\%$ ב $T$ היא טעות של $46\%$ ב $L$.
• הזזה אדומה: $\Delta\lambda/\lambda_{\text{emitted}} = v/c$; לאחר מכן $d = v/H_{0}$ ביחידות SI. תקן את אורך הגל המקסימלי של גלאקסיה הנורדת לפני השימוש בחוק ויין.
• שלושת התשובות "הסבר" (נר סטנדרטי למרחק, הזזה אדומה להתפשטות, חוק האובל למהודק הגדול) מסומנות נקודה על נקודה: שלוש טענות כל אחת, בסדר.
• גיל היקום הוא $1/H_{0}$, כ-$14$ מיליארד שנים; ציין את ההנחה של קצב התפשטות קבוע.

טעויות נפוצות

• הגדרת הבהירות כבהירות או כהספק ליחידת שטח; זהו הפלוקס.
• מציאת הבהירות של נר סטנדרטי מהמרחק שלו, שזהו עיגול לוגי; הבהירות נובעת מסוגו.
• שימוש בדרגות צלזיוס בחוק ויין או בסטפן, או השכחת העוצמה הרביעית.
• חלוקת $\Delta\lambda$ באורך הגל הנצפה במקום בזה המשודר, או ערבוב ננומטרים ומטרים באחוז אחד.
• שימוש ב $H_{0}$ עם $v$ ב $\text{km s}^{-1}$; המרה ל $\text{m s}^{-1}$.
• הזנת אורך גל מקסימלי מוזז לאדום לחוק ויין ודיווח בטמפרטורה נמוכה מדי.
• ניסוח חוק האובל ללא "יחסיות" או ללא ציון מה הם $v$ ו $d$.
• הסבר המהודק הגדול ללא הטיעון ההיסטורי שאכל הגלאקסיות היו יחד ב $t = 1/H_{0}$ לפני זמן.