שדות חשמליים

שדה חשמלי הוא אזור בו מטען חושש כוח ממטענים אחרים. חוזק השדה החשמלי $E$ בנקודה נתונה הוא הכוח ליחידת מטען חיובי על מטען בדיקה חיובי קטן הממוקם שם:

יחידה: $\text{N C}^{-1}$ (אותה כמו $\text{V m}^{-1}$, כפי שנראה). $E$ הוא וקטורי, מופנה לכיוון הפעולה של הכוח על מטען חיובי. הכוח על מטען $q$ הוא

ניגוד לשדה אם $q$ שלילי.

ההגדרה בעלת שתי הנקודות. חוזק השדה החשמלי בנקודה הוא הכוח ליחידת מטען חיובי הפועל על מטען בדיקה קטן הממוקם בנקודה זו. שלושה מילים נושאות את הנקודות: כוח ליחידת מטען (לא "כוח על מטען"), חיובי (שהוא קובע את הכיוון), ו-קטן או בדיקה (כדי שהמטען לא יהרוש את השדה שהואמד). בגרסת הבחירה הרב-בחירית מוצעים "כוח ליחידת מטען הפועל על מסה קטנה" ו"כוח ליחידת מסה" כמפגרים: שדה מוגדר על ידי מטען, לעולם לא על ידי מסה.

דוגמה מפורטת. פרוטון מאיץ ב-$2.00\ \text{m s}^{-2}$ בשדה חשמלי, ללא כוח אחר הפועל עליו. מצאו את חוזק השדה. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

$qE = ma$, לכן

אותה סידור מחדש הפוך נותן את התאוצה של אלקטרון בשדה של $1500\ \text{V m}^{-1}$: $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, עצום מכיוון שמסת האלקטרון כל כך קטנה. כבידה ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) זניחה מולה, ולכן שאלות מבחן על אלקטרונים בין לוחות מתעלמות משקלו.

קווי שדה

• קווי שדה מופנים לכיוון הפעולה של הכוח על מטען בדיקה חיובי.

• קווים מתחילים על מטענים חיוביים ונגמרים על מטענים שליליים (או הולכים לאינסוף).

• קווים לעולם אינם נחתכים; קווים קרובים יותר מצביעים על שדה חזק יותר.

• כל קו נושא חץ; קווים פוגשים את פני המוליך בזווית ישרה.

מה שמייצג קו שדה. בעת שנתון "פרט מה שמייצג קו שדה חשמלי", יש לתת את שתי החלקים: ה-כיוון שלו מראה את כיוון הכוח על מטען חיובי שהונח שם, וה-רווח בין הקווים מראה את עוצמת השדה (קווים קרובים יותר, שדה חזק יותר). סקיצה מסומנת בדיוק בנקודות אלו: חצים מצוירים, קווים לא נחתכים, רווח אחיד לשדה אחיד, וקווים רדיאליים למטען נקודתי או לכדור.

דוגמאות: מטען נקודתי חיובי בעל קווים רדיאליים הפונים החוצה; מטען שלילי בעל קווים הפונים פנים; שני מטענים מנוגדים (דפול) בעל קווים המתעקמים מ-+ ל-−; שני פלטות מטעונות מקבילות נותנות שדה אחיד של קווים מקבילים ומרווחים באופן שווה.

כדור מוליך מטעון

המטען על מוליך מבודד יושב על משטחו החיצוני, מפוזר באופן שווה כאשר הכדור לבדו. מחוץ לכדור קווי השדה הם רדיאליים, מרווחים באופן שווה ופונים החוצה (למטען חיובי), בדיוק הדפוס של מטען נקודתי במרכז. בתוך מוליך חלול (או מוצק) השדה הוא אפס: השדות של כל מטעני המשטח מבטלים זה את זה בכל מקום בתוך המוליך, כך שאין קו שדה הנכנס. שני גרפים נמצאים לאחר מכן, ושניהם אהובים בבחינות. עוצמת השדה $E$ היא אפס עד הרדיוס $R$, זוקפת לערכה במשטח $E_0$ ולאחר מכן יורדת כ$1/r^{2}$; הפוטנציאל $V$ הוא קבוע בפנים (שדה אפס פירושו שיפוע פוטנציאל אפס) ולאחר מכן יורד כ$1/r$.

קריאת הגרפים. נתון גרף $E$–$x$ לכדור מטעון, ה-רדיוס הוא המרחק שבו $E$ זוקפת מאפס, וה-מטען נובע מכל נקודה על העקומה: $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. נתון "$E_0$ במשטח", הערך ב-$2R$ הוא $E_0/4$ וב-$3R$ הוא $E_0/9$: סקיצו את העקומה דרך נקודות אלו, מתחיל ב-$E_0$ על קו המשטח, לעולם לא מהראשית.

בין שתי פלטות מקבילות במרחק $d$ זה מזה עם הפרש פוטנציאלים $V$ ביניהן, השדה הוא אחיד (מעבר להשפעות קצה) בגודל

היא מצביעה מהפלט עם הפוטנציאל הגבוה יותר אל הפלט עם הפוטנציאל הנמוך יותר. היחידה $\text{V m}^{-1}$ נובעת ישירות מכך וערכה הוא $\text{N C}^{-1}$.

דוגמא מופת. שני פלטים מקבילים $5.0\ \text{mm}$ זה מזה, והפרש הפוטנציאלים ביניהם הוא $200\ \text{V}$. חשב את עוצמת השדה ואת הכוח על אלקטרון ברווח. ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

מה משנה את השדה? רק שתי דברים: $E = V/d$ עולה אם הפרש הפוטנציאלים גדל או אם הפלטים מוזזים קרוב יותר זה לזה. נגן בסדרה עם המקור אינו משנה דבר: זרם לא זורם לאחר שהפלטים טעונים, ולכן אין הפרש פוטנציאלים על הנגן והפלטות נמצאות במלוא מתח המקור. בין פלטים ב$+800\ \text{V}$ וב$+1300\ \text{V}$ השדה מצביע מפוטנציאל גבוה לנמוך; שני פוטנציאלים חיוביים אינם משנים את כלל הכיוון.

חלק טעון בשדה אחיד

מטען $q$ בשדה אחיד מרגיש בכוח קבוע $F = qE$, ולכן יש לו תאוצה קבועה $a = qE/m$ — בדיוק כמו מסה בשדה כבידה אחיד.

• כאשר משוחרר ממצב רגיע, הוא מאיץ לאורך השדה (מטען חיובי) או נגדו (מטען שלילי), תוך רכישת אנרגיה קינטית.
• כאשר נכנס בזווית ישרה לשדה, הוא עוקף מסלול פרבולי — כמו פרסציל בכבידה. כך פעלה צינור קרני הקתודה בעבר כדי לכוון את הקרן שלו.

שני כוחות, ולא אחד. טיפת שמן טעונה "המוחזקת במצב רגוע" בין פלטות אופקיות היא איזון מועדף בבחינות: שני כוחות פועלים עליה — כוח חשמלי ומשקלה (המפנה לבחירה מרובה הוא "רק כוח חשמלי"), והם שווים ונגדיים. עבור טיפה שלילית, הכוח החשמלי נגד לשדה, ולכן הפלטה העליונה חייבת להיות חיובית כדי להחזיק אותה למעלה.

דוגמה פותרת. טיפת שמן המסה שלה $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ נושאת מטען של $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ והיא מוחזקת במצב רגוע בוואקום בין פלטות אופקיות המרוחקות $2.0\ \text{cm}$. מצאו את ההפרש הפוטנציאלים בין הפלטות, ואמרו איזו פלטה חיובית.

הירידה שלילית, ולכן הכוח עליה נגד השדה; כדי שהכוח יהיה כלפי מעלה השדה חייב להצביע למטה, ולכן הפלט העליון הוא חיובי. שימו לב שהמטען הוא $3e$, שלושה אלקטרונים עודפים, וזוהי הדרך שבה מיליקן הראה שמטען מגיע בכפילויות של $e$.

דוגמה פותרת. שתי פלטות מקבילות בוואקום מרוחקות $0.041\ \text{m}$ זה מזה עם הפרש פוטנציאלים של $250\ \text{V}$ ביניהן. אלקטרון משוחרר ממצב רגיע בפלטה השלילית. מצאו (א) את עוצמת השדה, (ב) את הכוח על האלקטרון ואת התאוצה שלו, (ג) את הזמן שדרוש לו כדי להגיע לפלטה החיובית, (ד) את אנרגייתו הקינטית בעת הגעתו. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

(a) $E = V/d = 250/0.041 = 6.1 \times 10^{3}\ \text{V m}^{-1}$. (ב) $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(6.1 \times 10^{3}) = 9.8 \times 10^{-16}\ \text{N}$; $a = F/m_{\text{e}} = 1.07 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, כלפי הפלטה החיובית. (ג) ממצב רגיע עם תאוצה קבועה, $d = \tfrac{1}{2} a t^{2}$, ולכן $t = \sqrt{2d/a} = \sqrt{2 \times 0.041 / (1.07 \times 10^{15})} = 8.8 \times 10^{-9}\ \text{s}$. (ד) שיטת אנרגיות, אין צורך בתנומטיקה: $E_{\text{k}} = qV = (1.60 \times 10^{-19})(250) = 4.0 \times 10^{-17}\ \text{J}$, ולכן $v = \sqrt{2E_{\text{k}}/m_{\text{e}}} = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. (בדיקה: $v = at = (1.07 \times 10^{15})(8.8 \times 10^{-9}) = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.)

דוגמה פותרת (הטיה). אלקטרון הנעים אופקית במהירות $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ נכנס לשדה בין שתי פלטות אופקיות המרוחקות $18\ \text{mm}$ זה מזה עם הפרש פוטנציאלים של $400\ \text{V}$. הפלטות הן $30\ \text{mm}$ באורך. מצאו את ההטיה של האלקטרון עד לשעת יציאתו מהשדה.

התנועה האופקית אינה מושפעת: הזמן בשדה $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. בציר אנכי, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, ולכן ההטיה היא $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, קטנה מחצי המרווח של $9\ \text{mm}$, ולכן האלקטרון אכן יוצא מהשדה. מהירותו האנכית ביציאה היא $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, ולכן הוא יוצא בזווית $\tan\theta = 5.9/20$, בערך $16°$; המסלול הוא פרבולה, ובלאחר הפלטות (ללא שדה) הוא ממשיך בקו ישר לכיוון שייצר ביציאה.

לשני מטעני נקודה $Q_{1}$ ו$Q_{2}$ המרוחקים מרחק $r$ בחלל ריק, כל אחד מרגיש בכוח בגודל

זהו חוק קולון. כאן $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ הוא המתאמת של הרווח, ו$1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. הכוח פועל לאורך הקו המחבר את המטענים: דוחה עבור מטענים זהים, מושך עבור מטענים מנוגדים.

ניסוח החוק במילים. "הבא את חוק קולון" דורש משפט, ולא נוסחה: הכוח (החשמלי) בין שני מטענים נקודתיים פרופורציונלי ישירות למכפלת המטענים והופך לריבוע המרחק ביניהם. שתי הפרופורציונליות נדרשות, והמטענים חייבים להיות נקודתיים (או כדורים שמטופלים כמטענים נקודתיים במרכזיהם) בוואקום.

דוגמה מפורטת. מצאו את הכוח האלקטרוסטטי בין מטענים נקודתיים של $+2.0\ \text{nC}$ ו$+3.0\ \text{nC}$ הנמצאים במרחק $4.0\ \text{cm}$ זה מזה. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

דוגמה מפורטת. באטום מימן ניתן להתייחס לגרעין ולאלקטרון כמטענים נקודתיים במרחק $120\ \text{pm}$ זה מזה. מצאו את הכוח החשמלי ביניהם, והשוו אותו למשיכה הכבידתית שלהם. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

כבידה: $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, כ-$10^{39}$ פעמים קטנה יותר. בתוך אטומים, הכבידה היא לא רלוונטית.

דוגמה מפורטת. שני טיפות שמן זהות בוואקום מרוחקות מרכזיהם $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$ זה מזה. כל טיפה נושאת מטען זהה, והן דוחות זו את זו בכוח של $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$. מצאו את המטען על כל טיפה, ואת מספר האלקטרונים העודפים שהיא נושאת.

כלומר $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ אלקטרונים. עצמים זהים עם אותה סימת מטען תמיד דוחים; אל תכתבו "מושכים" לכיוון.

דוגמה מפורטת. כדור טעון X מוצב על מעמד מבודד. כדור שני Y, בעל מסת $2.0\ \text{g}$, תלוי לידו על חוט מבודד ושקוע באיזון כאשר החוט יוצר זווית של $12°$ אנכי, ומרכזו נמצא במרחק $5.0\ \text{cm}$ ממרכז X באותו גובה אופקי. מצאו את הכוח החשמלי הפועל על Y, ואם לשני הכדורים מטען שווה, מצאו את המטען על כל כדור.

שלושה כוחות פועלים על Y: משקלו $mg$ (למטה), המתח $T$ (לאורך החוט) והכוח החשמלי $F$ (אופקי, הרחוק מ-X כי מטענים זהים דוחים). בפירוק, $T\cos\theta = mg$ ו$T\sin\theta = F$, ולכן

אז $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ נותן $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. משולש וקטורי סגור של שלושת הכוחות הוא שיטה טובה באותה מידה; הבחינה מקבלת שניהם, אך יש להראות את כל שלושת הכוחות.

דוגמה מפורטת (הליום). ניתן לדגמן אטום הליום כגרעין עם מטען $+2e$ ושני אלקטרונים במסלולים עגוליים מוליים בקוטר של $170\ \text{pm}$. מצאו את הכוח השקול הפועל על אלקטרון אחד, ומכאן את מהירותו במסלול.

שני כוחות פועלים על האלקטרון: משיכה לגרעין, במרחק $r$, ודחייה מהאלקטרון השני, במרחק $2r$ בצד הרחוק:

לעבר הגרעין. שוקול זה הוא הכוח המרכזי, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, ולכן $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. הפח הוא לשכוח את האלקטרון השני, או להניח שהוא במרחק $r$ במקום $2r$.

כדורים המטופלים כמטענים נקודתיים

מוליך כדורי עם מטען כולל $Q$ נותן, בכל נקודה חוץ, אותו שדה כמו מטען נקודתי $Q$ במרכזו (מדדו $r$ ממרכז). בתוך מוליך מחוספס טעון השדה הוא אפס, ולכן המוליך הוא איזו-פוטנציאל.

חוק קולומן נותן את הכוח בין שני מטענים. חלקו במטען המבחנה ($E = F/q$) ויתר לך שדה של מטען המקור $Q$ לבד. השדה במרחק $r$ ממטען נקודתי $Q$ הוא

הוא מצביע החוצה ממטען חיובי $Q$, פנימה למטען שלילי $Q$, ומתמתם כ$1/r^{2}$ — בדיוק כמו גודל שדה כבידה, למעט שהכבידה תמיד מושכת. עבור מספר מטענים, סכמו את השדות כסכום וקטורי.

דוגמא פותרת. כדור הארץ ניתן להתייחס אליו ככדור מוליך אחיד ברדיוס $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ נושא מטען כולל של $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$ המפוזר על פני שטחו. מצאו את גודל השדה החשמלי על הפני השטח, והשוו אותו לגודל שדה הכבידה שם. ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)

מכוון פנימה למרכז (המטען שלילי). כבידה: $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, ולכן $E/g \approx 11$; בסימון $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, מה שמראה שהיחס תלוי רק ביחס המטען-מסה של הכדור. כדור טעון במסה $m$ ומטען $q$ יזדקק ל$qE = mg$ כדי לצוף בשדה זה: $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.

דוגמא פותרת. מטענים נקודתיים של $+4.0\ \text{nC}$ ו$+1.0\ \text{nC}$ נמצאים במרחק $30\ \text{cm}$ זה מזה. היכן בקו המחבר ביניהם השדה הנתון הוא אפס?

בין המטענים שני השדות מצביעים בכיוונים מנוגדים; נתבונן במרחק מהמטען $4.0\ \text{nC}$ כ$x$. שדה נתון אפס דורש גודלים שווים:

פי שני המרחק מהמטען הגדול יותר. עבור מטענים נגדיים, השדות ביניהם מצביעים באותו כיוון לעולם לא מבטלים זה את זה: הנקודה שבה השדה אפס נמצאת חוצה, מעבר למטען הקטן יותר.

פוטנציאל חשמלי $V$ בנקודה כלשהי הוא העבודה שנעשתה ליחידת מטען חיובי בהכנסת מטען מבחנה חיובי קטן מאינסוף לנקודה זו:

יחידה: $\text{V}$. הפוטנציאל הוא אפס באינסוף. עבור מטען מקור חיובי $V > 0$ בכל מקום מחוץ לו; עבור מטען מקור שלילי $V < 0$.

ההגדרה לשתי נקודות. פוטנציאל חשמלי בנקודה היא העבודה שנעשתה ליחידת מטען חיובי בהכנסת מטען מבחנה קטן מאינסוף לנקודה. הנקודות הן עבור עבודה ליחידת (חיובי) מטען ועבור מאינסוף לנקודה. הפוטנציאל של מטען חיובי הוא חיובי כי יש לבצע עבודה על מטען מבחנה חיובי כדי לדחוף אותו פנימה נגד הדחייה; קרוב למטען שלילי השדה עושה את העבודה, ולכן הפוטנציאל הוא שלילי. "הסבר מדוע הפוטנציאל קרוב לפרוטון בודד הוא חיובי" עונה בדיוק במילים אלו.

פוטנציאל ממטען נקודתי

שים לב ל$1/r$ כאן (לעומת $1/r^{2}$ בשדה). $V$ הוא סקלארי; עבור מספר מטענים, סכמו את הפוטנציאלים (עם הסימן).

דוגמא פותרת. מצאו את הפוטנציאל החשמלי $4.0\ \text{cm}$ ממטען נקודתי של $+3.0\ \text{nC}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

מכיוון שפוטנציאל הוא סקלארי, הפוטנציאל ממספר מטענים הוא פשוט הסכמתם (כל אחד עם הסימן שלו) – אין צורך לפרק כיוונים.

שני כדורים טעונים על קו

השאלה המבנית האהובה במבחן מציבה שני כדורים טעונים X ו-Y במרחק מסוים זה מזה ומשרטטת את הפוטנציאל $V$ לאורך הקו המחבר בין מרכזיהם (או דורשת ממך לנתח אותו). כל המסקנות נובעות משתי עובדות: הפוטנציאל הוא סכום סקלרי עם סימן, והשדה הוא ה-גרדיאנט השלילי של הגרף.

• סימן הטעונים. אם $V$ חיובי לאורך כל הקו, שני הטעונים חיוביים; אם $V$ משנה סימן, הטעונים נגודיים (חיובי קרוב לכדור החיובי).
• איפה השדה אפס. איפה לעקומה יש מינימום (גרדיאנט אפס). עבור טעונים זהים הנקודה נמצאת ביניהם, קרובה יותר לטעון הקטן: $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. עבור טעונים נגודיים אין נקודה כזו ביניהם: העקומה חוצה אפס שם, אך הגרדיאנט אינו אפס, ולכן השדה אינו אפס.
• יחס הטעונים. איפה $V = 0$ בין טעונים נגודיים, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$: המרחקים נותנים את היחס ישירות. עבור טעונים זהים השתמש במינימום במקום זאת (שורש תנאי השדה).
• כוח על טעון שהונח ב-P. קרא את ה-גרדיאנט ב-P על ידי ציור משיק; אז $E$ הוא מינוס הגרדיאנט, ו-$F = qE$.

דוגמה מפורטת. שני כדורי מתכת טעונים מבודדים X ו-Y מרוחקים $1.2\ \text{m}$ זה מזה במרכזיהם בוואקום. הפוטנציאל לאורך הקו ביניהם חיובי בכל מקום ויש לו מינימום ב-$x = 0.50\ \text{m}$ ממרכז X. נסח שלושה מסקנות, ולאחר מכן מצא את הכוח על פרוטון שמוחזק ב-$x = 0.60\ \text{m}$, שבו גרדיאנט הגרף הוא $+180\ \text{V m}^{-1}$.

מסקנות: (1) לשני הכדורים מטען חיובי, כי הפוטנציאל חיובי בכל מקום; (2) השדה החשמלי אינו קיים (אפס) ב$x = 0.50\ \text{m}$, שם הנטייה היא אפס; (3) המטען על Y גדול יותר, כי נקודת השדה האפס נמצאת קרוב יותר ל-X; למעשה $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. ב$x = 0.60\ \text{m}$: $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (מצביע לכיוון X, מכיוון ש$V$ עולה לכיוון Y), ולכן $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ לכיוון X. כאשר משחררים אותו, הפרוטון מאיץ לעבר X, והאיצה שלו גדלה ככל שהנטייה הופכת לתלולה יותר; נדרש כוח חיצוני כדי להחזיק אותו במקום.

תיאור התנועה. "חלקיק טעון בחיוב מונח בנקודה P ומשוחרר. תאר והסבר את תנועתו." המבוקש מהבוחן: הכיוון (לכיוון פוטנציאל נמוך, מטה על השיפוע של גרף ה$V$); כך שהכוח, ולכן גם האיצה, אינם קבועים (הם עוקבים אחרי הנטייה, שנשתנה לאורך הקו); וכך שהחלקיק מאיץ לאורך כל העת, שכן הכוח נשאר בכיוון התנועה. אם P היא נקודת השדה האפס החלקיק נשאר במקום, באיזון לא יציב: הדחפה קלה כלפי צד אחד תשלח אותו.

קשר בין שדה לפוטנציאל

השדה שווה ל-גרדיאנט הפוטנציאל השלילי:

בין לוחות מקבילים $V$ משתנה באופן אחיד עם המיקום, ונותן $E = V/d$ כמו לפני כן. הסימן השלילי אומר שהשדה מצביע לכיוון פוטנציאל נמוך. עבור טעון נקודתי, $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.

היחס בקו אחד. "נסח את הקשר בין השדה החשמלי לפוטנציאל החשמלי": גודל השדה שווה למינוס גרדיאנט הפוטנציאל, $E = -\Delta V/\Delta x$. בגרף $V$–$x$ $E$ הוא מינוס ה-גרדיאנט של משיק; בגרף $V$–$r$ עבור טעון נקודתי הגרדיאנט הוא התלול ביותר בסמוך לטעון, שם השדה חזק ביותר, וסימן ה-$E$ קבוע על ידי "השדה מצביע לכיוון פוטנציאל נמוך". הגרסה לשדה אחיד $E = V/d$ היא אותה אמירה עם גרדיאנט קבוע.

משטחים שווה פוטנציאל. משטח שווה פוטנציאל מחבר נקודות בעלות פוטנציאל שווה; אין עבודה המבוצעת בהזזת טעון לאורכו, ולכן השדה תמיד ניצב ב-זווית ישרה אליו. סביב טעון נקודתי המשטחים שווה פוטנציאל הם כדורים מרוכזים, המתרחקים זה מזה ככל ש-$V$ יורד; בין לוחות מקבילים הם מישורים מקבילים ללוחות. פני המוליך הם משטח שווה פוטנציאל, ולכן קווי השדה נפגשים איתם בזווית ישרה.

אנרגיה פוטנציאלית חשמלית

לטעון $q$ בנקודה בעלת פוטנציאל $V$ יש אנרגיה פוטנציאלית חשמלית $E_{\text{P}} = qV$. עבור שני טעונים נקודתיים $Q$ ו-$q$ המרוחקים $r$ זה מזה:

• מטענים זהים: $E_{\text{P}} > 0$ — אנרגיה מאוגרת שתשתחרר אם הם יתרחקו זה מזה.
• מטענים נגדים: $E_{\text{P}} < 0$ — מערכת קשורה; יש לספק אנרגיה כדי להפריד ביניהם.

בשני המקרים $E_{\text{P}} \to 0$ כ$r \to \infty$.

דוגמה מופיעה. הפרוטון והאלקטרון באטום מימן נמצאים ב$5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$ זה מזה. חשב את האנרגיה החשמית של הזוג.

הסימן השלילי הוא חלק מהתשובה: המטענים נגדים, ולכן יש לספק אנרגיה ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) כדי למשוך אותם למרחק אינסופי. (לאלקטרון יש גם אנרגיה קינטית בגודל מחצית, ולכן האנרגיה הנדרשת ליון האטום היא $13.6\ \text{eV}$; הדוגמה המופיעה למטה מדגימה מדוע.)

מטען דרך פ.ח. מטען $q$ שנע דרך פ.ח. $V$ משנה את אנרגית הפוטנציאל שלו ב-$qV$, ומכאן שאלקטרון שהוצעל מנקודת הרוגע דרך $250\ \text{V}$ יגיע עם $250\ \text{eV}$ של אנרגיה קינטית, ללא תלות בצורת השדה. בשאלת בחירה רב-ברירה על "הזזת P במרחק $x$ לאורך קווי השדה", העבודה המבוצעת היא $qEx$, ואנרגיית הפוטנציאל שלו יורדת אם הוא זז בכיוון שבו הכוח דוחף אותו.

דוגמת דוגמה מופיעה

אלקטרון מקיף גרעין בטעון $+Ze$ במרחק $r$. המשיכה הקולונית מספקת את כוח המרכז:

האנרגיה הכוללת היא קינטית בתוספת פוטנציאל:

שהיא שלילית (מצב קשור).

כבידה מול חשמל

שתי תיאוריות השדות נראות דומות:

הסימן המינוס בפוטנציאל כבידתי משקף את העובדה שכוח הכבידה הוא תמיד מושך; הפוטנציאל החשמלי לוקח את הסימן של המטען המקור.

דמיון והבדל (שאלת ערכים סטנדרטית). לשני הפוטנציאלים ישנה פרופורציונליות ל-$1/r$, לשניהם הערך אפס באינסוף, ושניהם גדלים סקלריים; אך הפוטנציאל הכבידתי הוא תמיד שלילי (כיוון שהכוח תמיד מושך), בעוד שהפוטנציאל החשמלי לוקח את הסימן של המטען ועשוי להיות חיובי. לגבי השדות: שניהם חייבים בחוק הריבוע ההפוך ושניהם מתוארים בקווי שדה רדיאליים סביב מקור נקודתי, אך קווי השדה הכבידתיים מצביעים תמיד פנימה (מושך), בעוד שקווי השדה החשמליים מצביעים החוצה ממטען חיובי ופנימה למטען שלילי.

שאלת הגדרה מוקדמת לפי טקסט קבוע. לימודן במדויק, ותן תשובה אחת בלבד.

• ארבעה נוסחאות, שתי מהן עם $r^{2}$ ושתי מהן עם $r$: $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ ו-$E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (ריבוע הפוך), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ ו-$E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. יש לקבוע איזה מהן מתאים לפני הכתיבה.
• להבחין בין שדה אחיד ($E = V/d$, בין פלטות) לבין שדה רדיאלי ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, מחוץ למטען נקודתי או לכדור); עבור כדור, $r$ נמדד מהמרכז, לא מפני השטח.
• השדה מצביע מפוטנציאל גבוה לנמוך ו$E$ הוא המינוס של מדרגת הפוטנציאל: צייר מגע בגרף $V$–$x$ כדי למצוא אותו.
• השדה הוא וקטורי (מכפלים רכיבים, חוסמים נגדיים); הפוטנציאל הוא סקלרי (מכפלים עם סימן). בין מטענים זהים יש נקודת שדה אפס; בין מטענים נגדיים יש נקודת פוטנציאל אפס.
• חלקיק טעון בשדה אחיד: $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$; לאורך השדה מדובר בחצי האנכי של תנועת פרוג'קטייל, ותנועה מאונכת לשדה אינה מושפעת.
• הדף הטכני מציין גם $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ וגם $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$; ניתן להשתמש באחד מהם, אך אל תערבבו ביניהם.

טעויות נפוצות

• הגדרת עוצמת השדה כ"הכוח על מטען" או "כוח ליחידת מסה". מדובר בכוח ליחידת מטען חיובי הפועל על מטען חיובי קטן.
• שוכחים לעלות לריבוע את $r$ בחוק קולון ובשדה החשמלי, או מעלים לריבוע אותו בפוטנציאל ($V \propto 1/r$).
• שימוש בקוטר, או במרחק מפני כדור, במקום במרחק מרכז-למרכז.
• ציור $E$ לכדור מהראשית. הוא אפס בתוך הכדור ומתחיל בערך $E_0$ על פני השטח; ה$V$ הוא קבוע בתוך הכדור ולא אפס.
• קווי שדה ללא חצים, נחתכים, או מרווחים לא באופן אחיד בשדה אחיד; קווים שאינם מאונכים למוליך.
• מחיקת הסימן השלילי באנרגיה הפוטנציאלית של מטענים נגודיים, או קביעת כיוון ה$E$ מתוך סימן ה$V$ במקום מתוך הנטייה שלו.
• שוכחים את האלקטרון השני באתום הליום, או ממוקמים אותו במרחק $r$ במקום במרחק $2r$.
• שימוש ב$E = V/d$ עבור מטען נקודתי, או ב$E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ בין לוחות.
• הענקת משקל לאלקטרון, או שימוש במסת הפרוטון עבור אלקטרון; בשאלות אלקטרונים בין לוחות המשקל זניח.
• השארת משקל מחוץ לשאלה "טיפת שמן נתונה במנוחה", או סירוס הקוטבות של הלוח העליון.