Length and midpoint · Longueur et milieu
| English | Français |
|---|---|
| line segment/laɪn ˈseɡmənt/ | segment de droite |
| hypotenuse/haɪˈpɒtənjuːs/ | hypoténuse |
| Pythagoras/paɪˈθæɡərəs/ | Pythagore |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | point milieu |
How far, really?
- Your phone says the café is 1.2 km away — but that's the straight-line distance, not the zigzag walk along streets.
- In coordinate geometry we often need the exact straight-line distance between two points.
- The tool? A 2500-year-old theorem.
À quelle distance, vraiment ?
- Votre téléphone indique que le café est à 1.2 km — mais il s'agit de la distance en ligne droite, pas du trajet en zigzag le long des rues.
- En géométrie analytique, nous avons souvent besoin de la distance exacte en ligne droite entre deux points.
- L'outil ? Un théorème vieux de 2500 ans.
Length and midpoint lab · Lab longueur et milieu
midpoint is halfway between endpoints · le milieu est à mi-chemin entre les extrémités
Move along a line segment and see midpoint as halfway. · Bougez le long d'un segment et voyez le milieu comme étant à mi-chemin.
Length of a segment (Extended)
- A line segment 线段 is the straight piece between two points $(x_1, y_1)$ and $(x_2, y_2)$.
- Draw a right triangle with the segment as the hypotenuse 斜边:
- The horizontal gap is $x_2 - x_1$ and the vertical gap is $y_2 - y_1$.
- By Pythagoras 勾股定理, the length is:
The gap across (3) and the gap up (4) give the length by Pythagoras; the midpoint 中点 is the average of the coordinates
Longueur d'un segment (Étendu)
- Un segment de droite 线段 est la partie droite entre deux points $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$.
- Tracez un triangle rectangle avec le segment comme hypoténuse 斜边 :
- L'écart horizontal est $x_2 - x_1$ et l'écart vertical est $y_2 - y_1$.
- D'après le théorème de Pythagore 勾股定理, la longueur est :
L'écart horizontal (3) et l'écart vertical (4) donnent la longueur par Pythagore ; le milieu 中点 est la moyenne des coordonnées
Worked example — length
- Find the length from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
- Horizontal gap $= 4 - 1 = 3$; vertical gap $= 6 - 2 = 4$.
- Length $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- The classic 3-4-5 right triangle makes a clean answer.
Pythagoras finds the length (hypotenuse); averaging finds the midpoint (star).
From the origin. Length from $(0, 0)$ to $(3, 4)$: $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Same triangle, different starting point.
Exemple résolu — longueur
- Trouvez la longueur de $(1, 2)$ à $(4, 6)$.
- Écart horizontal $= 4 - 1 = 3$ ; écart vertical $= 6 - 2 = 4$.
- Longueur $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
- Le classique triangle rectangle 3-4-5 donne une réponse propre.
Pythagore trouve la longueur (hypoténuse) ; la moyenne trouve le milieu (étoile).
Depuis l'origine. Longueur de $(0, 0)$ à $(3, 4)$ : $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Même triangle, point de départ différent.
Find the length of the segment from (1, 2) to (4, 6). · Trouvez la longueur du segment de (1, 2) à (4, 6).
√((4−1)² + (6−2)²) = √(9 + 16) = √25 = 5.
Find the length of the segment from (0, 0) to (3, 4). · Trouvez la longueur du segment de (0, 0) à (3, 4).
√(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. The classic 3-4-5 triangle. · √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Le triangle classique 3-4-5.
Find the length of the segment from (1, 5) to (7, 5). · Trouvez la longueur du segment de (1, 5) à (7, 5).
Both points have y = 5 (horizontal segment). Length = 7 − 1 = 6. · Les deux points ont y = 5 (segment horizontal). Longueur = 7 − 1 = 6.
Midpoint of a segment (Extended)
- The midpoint is the point exactly halfway between the two endpoints.
- Find it by averaging each coordinate:
- It's the "halfway" $x$ paired with the "halfway" $y$.
Milieu d'un segment (Étendu)
- Le milieu est le point exactement à mi-chemin entre les deux extrémités.
- Trouvez-le en moyennant chaque coordonnée :
- C'est le "milieu" $x$ apparié avec le "milieu" $y$.
Worked example — midpoint
- Find the midpoint from $(1, 2)$ to $(4, 6)$.
- Mid-$x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- Mid-$y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- Midpoint $= (2.5,\, 4)$ — exactly halfway along.
Average, don't add. The midpoint of $(1, 2)$ and $(4, 6)$ is $(2.5, 4)$, not $(5, 8)$. You must divide by 2 — averaging, not summing.
Exemple résolu — milieu
- Trouvez le milieu de $(1, 2)$ à $(4, 6)$.
- Mid-$x = \dfrac{1 + 4}{2} = \dfrac{5}{2} = 2.5$.
- Mid-$y = \dfrac{2 + 6}{2} = \dfrac{8}{2} = 4$.
- Milieu $= (2.5,\, 4)$ — exactement à mi-chemin.
Moyenne, ne sommez pas. Le milieu de $(1, 2)$ et $(4, 6)$ est $(2.5, 4)$, pas $(5, 8)$. Vous devez diviser par 2 — moyenner, pas additionner.
The midpoint of (1, 2) and (4, 6) is (a, 4). What is a? · Le milieu de (1, 2) et (4, 6) est (a, 4). Quelle est a ?
Average the x-values: (1 + 4)/2 = 2.5. · Moyennez les valeurs x : (1 + 4)/2 = 2.5.
The midpoint of (2, 3) and (8, 9) is (5, b). What is b? · Le milieu de (2, 3) et (8, 9) est (5, b). Quelle est b ?
Average the y-values: (3 + 9)/2 = 6. · Moyennez les valeurs y : (3 + 9)/2 = 6.
The x-coordinate of the midpoint of (x₁, y₁) and (x₂, y₂) is: · La coordonnée x du milieu de (x₁, y₁) et (x₂, y₂) est :
The midpoint is the average of each coordinate: (x₁ + x₂)/2. Choice 2 forgets to divide; choice 3 gives half the gap, not the position. · Le milieu est la moyenne de chaque coordonnée : (x₁ + x₂)/2. Le choix 2 oublie de diviser ; le choix 3 donne la moitié de l'écart, pas la position.
Complete: the midpoint x-coordinate = (x₁ + ______) / 2. · Complétez : la coordonnée x du milieu = (x₁ + ______) / 2.
The midpoint x-coordinate is the average of the two x-values: (x₁ + x₂)/2. · La coordonnée x du milieu est la moyenne des deux valeurs x : (x₁ + x₂)/2.
The 3-4-5 triangle family
- The triangle with sides $3, 4, 5$ is the smallest right triangle with whole-number sides.
- Multiples work too: $6, 8, 10$ and $9, 12, 15$ are also right triangles.
- You'll see this family a lot in exam questions — recognise it and save time.
La famille du triangle 3-4-5
- Le triangle aux côtés $3, 4, 5$ est le plus petit triangle rectangle à côtés entiers.
- Les multiples fonctionnent aussi : $6, 8, 10$ et $9, 12, 15$ sont aussi des triangles rectangles.
- Vous verrez cette famille souvent dans les questions d'examen — repérez-la et gagnez du temps.
For a horizontal segment (both y-values the same), the length is simply the difference of the x-values. · Pour un segment horizontal (les deux valeurs y sont identiques), la longueur est simplement la différence des valeurs x.
When y₁ = y₂, the formula simplifies to √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|. · Quand y₁ = y₂, la formule se simplifie en √((x₂−x₁)²) = |x₂ − x₁|.
Match each segment to its length. · Reliez chaque segment à sa longueur.
(0,0)–(5,0) is horizontal, length 5. (1,1)–(1,4) is vertical, length 3. (0,0)–(6,8): √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7): √(9+16) = √25 = 5. · (0,0)–(5,0) est horizontal, longueur 5. (1,1)–(1,4) est vertical, longueur 3. (0,0)–(6,8) : √(36+64) = √100 = 10. (2,3)–(5,7) : √(9+16) = √25 = 5.
You've got it
- length $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (Pythagoras on the horizontal and vertical gaps)
- midpoint $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (average each coordinate)
- $(1,2)$ to $(4,6)$: length $5$, midpoint $(2.5,\, 4)$
- the 3-4-5 right triangle appears often — spot it early
Vous avez compris
- longueur $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (Pythagore sur les écarts horizontal et vertical)
- milieu $= \left( \dfrac{x_1 + x_2}{2}, \; \dfrac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (moyenne de chaque coordonnée)
- De $(1,2)$ à $(4,6)$ : longueur $5$, milieu $(2.5,\, 4)$
- le triangle rectangle 3-4-5 apparaît souvent — repérez-le tôt