Exponential growth and decay · Croissance et décroissance exponentielles
| English | Français |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | croissance exponentielle |
| compound/ˈkɒmpaʊnd/ | composé |
| decay/dɪˈkeɪ/ | décomposition |
| depreciation/dɪˌpriːʃɪˈeɪʃn/ | l'amortissement |
| half-life/hɑːf laɪf/ | demi-vie |
One bacterium becomes a billion
- A bacterium divides every 20 minutes. After 10 hours (30 divisions), one cell becomes $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — over a billion.
- That's exponential growth 指数增长: the same percentage increase every period, compounding 复利.
- Linear growth adds a fixed amount; exponential growth multiplies — and it always wins in the end.
Une bactérie devient un milliard
- Une bactérie se divise toutes les 20 minutes. Après 10 heures (30 divisions), une cellule devient $2^{30} \approx 1\,073\,741\,824$ — plus d'un milliard.
- C'est la croissance exponentielle 指数增长 : la même augmentation en pourcentage à chaque période, qui s'accumule 复利.
- La croissance linéaire ajoute un montant fixe ; la croissance exponentielle multiplie — et elle l'emporte toujours à la fin.
The compound formula
- When a quantity changes by the same percentage each period:
- $P$ = starting value, $r$ = percentage rate per period, $t$ = number of periods.
- Growth: $r > 0$; decay 衰减: $r < 0$ (or use a multiplier below 1).
Exponential growth (curve) starts slowly but eventually pulls far ahead of linear growth (straight line).
La formule du taux composé
- Lorsqu'une quantité change de la même pourcentage à chaque période :
- $P$ = valeur initiale, $r$ = taux de pourcentage par période, $t$ = nombre de périodes.
- Croissance : $r > 0$ ; décroissance 衰减 : $r < 0$ (ou utiliser un multiplicateur inférieur à 1).
La croissance exponentielle (courbe) commence lentement mais finit par devancer largement la croissance linéaire (droite).
Compound interest
Money grows by (1 + r) every year, so compound interest curves above simple interest. Drag the rate and the number of years. · L'argent croît de (1 + r) chaque année, donc les courbes d'intérêt composés se situent au-dessus de l'intérêt simple. Faites glisser le taux et le nombre d'années.
Exponential growth & decay · Croissance & décroissance exponentielles
y = a·bˣ
Change the base b: b > 1 grows, 0 < b < 1 decays · décroît — useful for interest and populations. · Changez la base b : b > 1 croît, 0 < b < 1 décroît — utile pour les intérêts et les populations.
A car loses 15% of its value each year. What yearly multiplier do you use? · Une voiture perd 15% de sa valeur chaque année. Quel multiplicateur annuel utilisez-vous ?
Losing 15% leaves 85%, so the multiplier is 0.85. · Perdre 15% laisse 85%, donc le multiplicateur est 0.85.
Depreciation of a car's value each year is an example of: · La dépréciation de la valeur d'une voiture chaque année est un exemple de :
Losing a fixed percentage each year is exponential decay (multiplier < 1, applied repeatedly). · Perdre un pourcentage fixe chaque année est une décroissance exponentielle (multiplicateur < 1, appliqué répétitivement).
The compound growth formula is: final = P × (1 + ______)^t, where r is the percentage rate. · La formule de croissance composée est : final = P × (1 + ______)^t, où r est le taux en pourcentage.
The rate r% must be converted to a decimal: r/100. So the multiplier is (1 + r/100). · Le taux r% doit être converti en décimal : r/100. Donc le multiplicateur est (1 + r/100).
Exponential decay and depreciation 折旧
- Decay works the same way with a multiplier below 1.
- A car worth 20 000 loses 15% each year → multiplier $0.85$.
- After 4 years: $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Half-life 半衰期. A radioactive isotope decays 10% per year. Its "half-life" (time to halve) is $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ years — you can find it by solving $0.9^t = 0.5$.
Décroissance exponentielle et dépréciation 折旧
- La décroissance fonctionne de la même manière avec un multiplicateur inférieur à 1.
- Une voiture valant 20 000 perd 15 % chaque année → multiplicateur $0.85$.
- Après 4 ans : $20\,000 \times 0.85^4 = 20\,000 \times 0.5220 \approx 10\,440$.
Demi-vie 半衰期. Un isotope radioactif se désintègre de 10 % par an. Sa « demi-vie » (temps pour être divisé par deux) est $\dfrac{\ln 2}{\ln(1/0.9)} \approx 6.6$ ans — vous pouvez la trouver en résolvant $0.9^t = 0.5$.
A car worth 20000 depreciates 15% per year. Its value after 4 years (to the nearest 10) is: · Une voiture d'une valeur de 20000 subit une dépréciation de 15 % par an. Sa valeur après 4 ans (arrondie au plus proche 10) est :
20000 × 0.85⁴ = 20000 × 0.5220 ≈ 10440.
Worked example
- Population of 5000 grows 8% per year. After 6 years:
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Compound ≠ simple. 8% per year for 6 years is not $8 \times 6 = 48\%$ total (that would give $5000 \times 1.48 = 7400$). Compounding gives $58.7\%$ total — almost 11% more, because each year's growth earns growth too.
Exemple résolu
- Population de 5000 augmentant de 8 % par an. Après 6 ans :
- $5000 \times 1.08^6 = 5000 \times 1.5869 \approx 7934$.
Composé ≠ simple. 8 % par an pendant 6 ans n'est pas $8 \times 6 = 48\%$ total (cela donnerait $5000 \times 1.48 = 7400$). L'intérêt composé donne $58.7\%$ total — presque 11 % de plus, car la croissance de chaque année génère aussi de la croissance.
A population of 5000 grows 8% per year. What is the population after 6 years (nearest whole number)? · Une population de 5000 augmente de 8% par an. Quelle est la population après 6 ans (arrondi à l'entier le plus proche) ?
5000 × 1.08⁶ = 5000 × 1.5869 ≈ 7934.
8% growth per year for 6 years gives a total increase of exactly 48%. · Une croissance de 8% par an pendant 6 ans donne une augmentation totale exacte de 48%.
Compounding gives 1.08⁶ ≈ 1.587, a 58.7% increase — more than 48% because growth earns growth. · L'intérêt composé donne 1.08⁶ ≈ 1.587, soit une augmentation de 58.7% — plus que 48% car la croissance génère de la croissance.
Where exponential growth shows up
- Epidemics: early spread is often exponential (each infected person infects others).
- Investments: compound interest is exponential growth of your money.
- Technology: Moore's Law predicted computing power doubling every ~2 years for decades.
Où apparaît la croissance exponentielle
- Épidémies : la propagation précoce est souvent exponentielle (chaque personne infectée en infecte d'autres).
- Investissements : l'intérêt composé est une croissance exponentielle de votre argent.
- Technologie : la loi de Moore a prédit le doublement de la puissance de calcul tous les ~2 ans pendant des décennies.
You've got it
- exponential change uses the compound formula $P(1 + r/100)^t$
- growth = multiplier $> 1$; decay/depreciation = multiplier $< 1$
- a 15% yearly loss → multiplier $0.85$; after 4 years: $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- exponential always beats linear eventually — compounding earns growth on growth
Vous avez compris
- le changement exponentiel utilise la formule composée $P(1 + r/100)^t$
- croissance = multiplicateur $> 1$ ; décroissance/dépréciation = multiplicateur $< 1$
- perte annuelle de 15 % → multiplicateur $0.85$ ; après 4 ans : $20\,000 \times 0.85^4 \approx 10\,440$
- l'exponentiel bat toujours le linéaire à la fin — l'intérêt composé rapporte de la croissance sur de la croissance