Powers, roots and indices · Puissances, racines et indices
| English | Français |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | puissance |
| index/ˈɪndeks/ | index |
| base/beɪs/ | fondamentales |
| square root/skweə ruːt/ | racine carrée |
| cube root/kjuːb ruːt/ | racine cubique |
| laws of indices/lɔːz ɒv ˈɪndɪsiːz/ | lois des indices |
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | réciproque |
The chessboard grain problem
- A king offered a reward for the invention of chess. The inventor asked for 1 grain of rice on the first square, 2 on the second, 4 on the third, doubling each time.
- By the 64th square: $2^{63}$ grains — more rice than has ever existed on Earth.
- That's the power 幂 of indices — repeated multiplication grows astonishingly fast.
Le problème des grains d'échecs
- Un roi offrit une récompense pour l'invention des échecs. L'inventeur demanda 1 grain de riz sur la première case, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, en doublant à chaque fois.
- À la 64ème case : $2^{63}$ grains — plus de riz qu'il n'en a jamais existé sur Terre.
- C'est la puissance des indices — une multiplication répétitive croît de façon étonnamment rapide.
Powers and roots lab · Labo puissances et racines
square = x^2 · carré = x^2
Change the base and see powers grow while roots undo powers. · Changez la base et voyez les puissances croître tandis que les racines annulent les puissances.
Powers
- A power (or index 指数) shows repeated multiplication: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- The base 底数 is the number being multiplied ($2$); the index (or exponent) tells you how many times ($5$).
- Know your squares up to $15^2 = 225$ and cubes up to $5^3 = 125$.
Puissances
- Une puissance (ou indice) indique une multiplication répétée : $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.
- La base est le nombre multiplié ($2$) ; l'indice (ou exposant) précise combien de fois ($5$).
- Connaître vos carrés jusqu'à $15^2 = 225$ et vos cubes jusqu'à $5^3 = 125$.
Roots
- A square root 平方根 reverses squaring: $\sqrt{169} = 13$ (because $13^2 = 169$).
- A cube root 立方根 reverses cubing: $\sqrt[3]{8} = 2$ (because $2^3 = 8$).
- Roots and powers are inverse operations.
The diagonal of a square is the square root of twice the side squared — geometry gives us roots.
$5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$. Evaluate the power and root first, then multiply.
Racines
- Une racine carrée inverse l'élévation au carré : $\sqrt{169} = 13$ (car $13^2 = 169$).
- Une racine cubique inverse l'élévation au cube : $\sqrt[3]{8} = 2$ (car $2^3 = 8$).
- Les racines et les puissances sont des opérations inverse.
La diagonale d'un carré est la racine carrée du double du côté au carré — la géométrie nous donne les racines.
$5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$. Évaluez d'abord la puissance et la racine, puis multipliez.
Work out 5² × ∛8. · Calculez 5² × ∛8.
5² = 25 and ∛8 = 2, so 25 × 2 = 50. · 5² = 25 et ∛8 = 2, donc 25 × 2 = 50.
The laws of indices 指数定律
- These three rules let you simplify any power expression:
Same base only. You can only add/subtract indices when the bases match. $2^3 \times 3^2$ does not simplify to $6^5$ — the bases are different.
Les lois des indices
- Ces trois règles vous permettent de simplifier toute expression de puissance :
Même base uniquement. Vous ne pouvez ajouter/soustraire les indices que lorsque les bases correspondent. $2^3 \times 3^2$ ne se simplifie pas en $6^5$ — les bases sont différentes.
Using the index laws, what is 2³ × 2⁴ as a single number? · En utilisant les lois des indices, quel est 2³ × 2⁴ sous forme de nombre unique ?
2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128.
Zero, negative and fractional powers
- $a^0 = 1$ for any non-zero $a$ (even $7^0 = 1$).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — a negative index means a reciprocal 倒数 ($3^{-2} = \dfrac{1}{9}$).
- Extended: $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — fractional powers are roots ($8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$).
Puissances zéro, négatives et fractionnaires
- $a^0 = 1$ pour tout non-zéro $a$ (même $7^0 = 1$).
- $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ — un indice négatif signifie l'inverse ($3^{-2} = \dfrac{1}{9}$).
- Étendu : $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ — les puissances fractionnaires correspondent aux racines ($8^{1/3} = \sqrt[3]{8} = 2$).
Evaluate 81^(1/2). · Évaluez 81^(1/2).
81^(1/2) = √81 = 9.
What does 3⁻² equal? · Que vaut 3⁻² ?
3⁻² = 1/3² = 1/9. A negative index means reciprocal, not negative. · 3⁻² = 1/3² = 1/9. Un indice négatif signifie l'inverse, pas la négativité.
For any non-zero number a, a⁰ = 1. · Pour tout nombre non nul a, a⁰ = 1.
The zero-index rule gives a⁰ = 1 for all a ≠ 0. · La règle de l'indice zéro donne a⁰ = 1 pour tout a ≠ 0.
Complete: 4⁻¹ = ______. · Complétez : 4⁻¹ = ______.
4⁻¹ = 1/4 = 0.25. A power of −1 gives the reciprocal. · 4⁻¹ = 1/4 = 0.25. Une puissance de −1 donne l'inverse.
You've got it
- multiply same-base powers → add indices; divide → subtract; power of a power → multiply
- $a^0 = 1$, $\;a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\;a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
- $5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$; $\;2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$
Vous avez compris
- multiplier puissances même-base → additionner les indices ; diviser → soustraire ; puissance d'une puissance → multiplier
- $a^0 = 1$, $\;a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, $\;a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$
- $5^2 \times \sqrt[3]{8} = 25 \times 2 = 50$; $\;2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$