Derivatives and stationary points · Dérivées et points stationnaires
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| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | dérivée |
What is the slope at one point?
- A curved road has different slopes at different positions. An average gradient cannot describe every point.
- This lesson studies derivative 导数: The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent.
Quelle est la pente en un point donné ?
- Une route courbe a différentes pentes à différents endroits. Une pente moyenne ne peut décrire chaque point.
- Cette leçon étudie la dérivée : le taux de changement instantané, également appelé pente de la tangente.
Choose the mathematical structure
- For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). A stationary point satisfies dy/dx=0. Check the sign change of the derivative, or the second derivative when it is nonzero, to classify it.
- State the allowed inputs and units before calculating. An equation should express the relationship, not just record a calculator entry.
Choisissez la structure mathématique
- Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). Un point stationnaire satisfait dy/dx=0. Vérifiez le changement de signe de la dérivée ou la dérivée seconde lorsqu'elle est non nulle pour la classifier.
- Énoncez les entrées autorisées et les unités avant de calculer. Une équation doit exprimer la relation, et non simplement enregistrer une saisie de calculatrice.
Which description correctly defines derivative? · Quelle description définit correctement la dérivée ?
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. · Le taux de variation instantané, également la pente d'une tangente.
Work through a checked case
- Check the result against the starting quantities. Substitute into the original relation, or compare the graph and numerical answer where appropriate.
For y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. At x=1, the gradient is 0 and y=-2. The second derivative is 6x, positive at x=1, so this is a local minimum. At x=-1, y=2 and the second derivative is negative, giving a local maximum.
Travaillez à travers un cas vérifié
- Vérifiez le résultat par rapport aux quantités de départ. Substituez dans la relation originale, ou comparez le graphique et la réponse numérique là où c'est approprié.
Pour y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. En x=1, la pente est 0 et y=-2. La dérivée seconde est 6x, positive en x=1, c'est donc un minimum local. En x=-1, y=2 et la dérivée seconde est négative, ce qui donne un maximum local.
Derivatives and stationary points · Dérivées et points stationnaires
For y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1) · Pour y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
Compare the model with the worked case and explain one change. · Compare le modèle avec l'exemple résolu et explique un changement.
For y=x³-3x, find dy/dx at x=2. · Pour y=x³-3x, trouvez dy/dx en x=2.
dy/dx=3x²-3. At x=2 it is 12-3=9. · dy/dx=3x²-3. En x=2, c'est 12-3=9.
Test a tempting shortcut
- A zero derivative does not always mean a maximum or minimum: y=x³ is stationary at 0 but continues increasing. An endpoint can also produce an extreme value on a restricted domain.
- When a shortcut fails, identify the assumption it breaks. Keep an exact value until the requested final rounding.
Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. This claim is false. Explain which definition or assumption it violates.
Testez un raccourci tentant
- Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
- Lorsqu'un raccourci échoue, identifiez l'hypothèse qu'il viole. Conservez une valeur exacte jusqu'au dernier arrondi demandé.
Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local. Cette affirmation est fausse. Expliquez quelle définition ou hypothèse elle viole.
Find the y-coordinate of the stationary point at x=1. · Trouvez la coordonnée y du point stationnaire en x=1.
Substitute into the original curve: y(1)=1-3=-2. · Substituez dans la courbe d'origine : y(1)=1-3=-2.
Every point with zero derivative is a local maximum or minimum. · Chaque point avec une dérivée nulle est un maximum ou un minimum local.
A zero derivative does not always mean a maximum or minimum: y=x³ is stationary at 0 but continues increasing. An endpoint can also produce an extreme value on a restricted domain. · Une dérivée nulle ne signifie pas toujours un maximum ou un minimum : y=x³ est stationnaire en 0 mais continue d'augmenter. Une extrémité peut également produire une valeur extrême sur un domaine restreint.
Interpret a new situation
- At GCSE/IGCSE use only the polynomial scope allowed by the tier; do not add chain, product or quotient rules there. At advanced level, connect the derivative to rates and optimization with a valid domain.
- A complete solution gives the mathematical result and explains what it means. Check that it is possible in the stated context.
Interprétez une nouvelle situation
- Au niveau GCSE/IGCSE, utilisez uniquement la portée des polynômes autorisée par le niveau ; n'ajoutez pas les règles de chaîne, produit ou quotient à ce stade. Au niveau avancé, reliez la dérivée aux taux de variation et à l'optimisation avec un domaine valide.
- Une solution complète fournit le résultat mathématique et explique sa signification. Vérifiez qu'elle est réalisable dans le contexte indiqué.
For y=4x³, find dy/dx at x=2. · Pour y=4x³, trouvez dy/dx en x=2.
The derivative is 12x²; at 2 it is 12×4=48. · La dérivée est 12x² ; en 2, c'est 12×4=48.
Match each part of a complete solution to its purpose. · Associer chaque partie d'une solution complète à son but.
An assumption justifies the model; a check tests the result; interpretation connects it to the question. · Une hypothèse justifie le modèle ; une vérification teste le résultat ; l'interprétation le relie à la question.
Use this in your course
- 7357 · A-level · G. Match the target tier and specification before assigning extensions.
- Give the method before the final answer, and use the paper's calculator and formula rules. Review a wrong answer by locating the first invalid step.
The instantaneous rate of change, also the gradient of a tangent. Choose the relationship, show the method, check its assumptions and interpret the result.
Utilisez ceci dans votre cursus
- 7357 · A-level · G. Assortissez le niveau cible et la spécification avant d'attribuer les extensions.
- Présentez la méthode avant la réponse finale, et respectez les règles de calculatrice et de formules du sujet. Revoir une réponse erronée consiste à localiser la première étape invalide.
Le taux de variation instantané, aussi appelé la pente d'une tangente. Choisissez la relation, montrez la méthode, vérifiez ses hypothèses et interprétez le résultat.